江苏省南通市2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含解析

南通市2018-2019学年高一下学期期末调研测试
数学
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M＝｛x｜x＜0｝，N＝｛x｜x≤0｝，则( )
A. M∩N＝ B. MUN＝R C. MN D. NM
2.函数定义域为( )
A. （一∞，0］ B. ［0，＋∞） C. （0，＋∞） D. （－∞，＋∞）
3.在△ABC中，M是BC的中点．若＝，＝，则＝( )
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系xoy中，已知直线l上的一点向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率为( )
A. －2 B. － C. D. 2
5.已知函数＝sinx与的图象的一个交点的横坐标为，则＝( )
A. － B. － C. D.
6.下列说法正确的为
①如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行；
②如果两条直线同时垂直于第三条直线，那么这两条直线平行；
③如果两条直线同时平行于一个平面，那么这两条直线平行；
④如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．( )
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
7.从两个班级各随机抽取5名学生测量身高（单位：cm)，甲班的数据为169，162，150，160，159，乙班的数据为180，160，150，150，165．据此估计甲、乙两班学生的平均身高,及方差,的关系为( )
A. , B. , C. , D. ,
8.函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，b＝10，则结合a的值解三角形有两解的为( )
A. a＝8 B. a＝9 C. a＝10 D. a＝11
10.己知函数定义在R上的周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，，函数，则方程的解的个数为( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.已知角α终边上一点P（-3，4），则sinα＝____
12.已知平面向量的夹角为，，则____
13.某校共有学生1600人，其中高一年级400人．为了解各年级学生的兴趣爱好情况，用分层抽样的方法从中抽取容量为80的样本，则应抽取高一学生____人．
14.在棱长为1的正方体ABCD–A1B1C1D1中，点E是棱B1B的中点，则三棱锥D1－DEC1的体积为____.
15.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，如左下图．假定在水流量稳定的情况下，半径为3m的筒车上的每一个盛水桶都按逆时针方向作角速度为rad/min的匀速圆周运动，平面示意图如右下图，己知筒车中心O到水面BC的距离为2m，初始时刻其中一个盛水筒位于点P0处，且∠P0OA＝（OA//BC)，则8min后该盛水筒到水面的距离为____m．
16.过点P(t，t）作圆C：（x一2)2＋y2＝1的两条切线，切点为A，B，若直线AB过点（2，），则t＝____.
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知点O（0，0），A（2，一1），B（一4，8）．
（1）若点C满足，求点C的坐标；
（2）若与垂直，求k．
18.如图，在三棱柱ABC–A1B1C1中，AB＝BC，D为AC的中点，O为四边形B1C1CB的对角线的交点，AC⊥BC1．求证：
（1）OD∥平面A1ABB1；
（2）平面A1C1CA⊥平面BC1D．
19.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，△ABC是边长为3的等边三角形．
（1）求AD；
（2）求sin∠DAB．
20.己知点，直线l与圆C：（x一1)2＋（y一2）2＝4相交于A，B两点，且OA⊥OB．
（1）若直线OA方程为y＝一3x，求直线OB被圆C截得的弦长；
（2）若直线l过点（0，2），求l的方程．
21.已知某观光海域AB段的长度为3百公里，一超级快艇在AB段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q（单位：万元）与速度v（单位：百公里／小时）（0≤v≤3）的以下数据：
0
1
2
3
0
0.7
1.6
3.3
为描述该超级快艇每小时航行费用Q与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：Q＝av3＋bv2＋cv，Q＝0．5v＋a，Q＝klogav＋b．
（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少？并求出最少航行费用．
22.已知函数.
（1）若f(－1）＝f(1)，求a，并直接写出函数的单调增区间；
（2）当a≥时，是否存在实数x，使得＝一？若存在，试确定这样的实数x的个数；若不存在，请说明理由．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M＝｛x｜x＜0｝，N＝｛x｜x≤0｝，则( )
A. M∩N＝ B. MUN＝R C. MN D. NM
【答案】C
【解析】
【分析】
根据具有包含关系的两个集合的交集与并集的性质求得结果.
【详解】因为，
所以有，
所以有，，
所以只有C是正确的，
故选C.
【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有判断两集合的关系，具备包含关系的两集合的交并运算的性质，属于简单题目.
2.函数定义域为( )
A. （一∞，0］ B. ［0，＋∞） C. （0，＋∞） D. （－∞，＋∞）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据偶次根式的条件，借助于指数函数的单调性求得结果.
【详解】由题意得，解得，
所以函数的定义域是，
故选A.
【点睛】该题考查的是有关函数定义域的求解问题，属于简单题目.
3.在△ABC中，M是BC的中点．若＝，＝，则＝( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量的加法的几何意义即可求得结果.
【详解】在中，M是BC的中点，
又，
所以，
故选D.
【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目.
4.在平面直角坐标系xoy中，已知直线l上的一点向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率为( )
A. －2 B. － C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
首先设出直线l上的一点，进而求得移动变换之后点，根据点在直线上，利用两点斜率坐标公式求得斜率，从而求得结果.
【详解】根据题意，设点是直线l上的一点，
将点向右平移2个单位后再向下平移4个单位得到点，
由已知有：点仍在该直线上，
所以直线的斜率，
所以直线l的斜率为，
故选A.
【点睛】该题考查的是有关直线的斜率问题，涉及到的知识点有平移变换，两点斜率坐标公式，属于简单题目.
5.已知函数＝sinx与的图象的一个交点的横坐标为，则＝( )
A. － B. － C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据题中的条件，得到，从而求得，根据题中所给的，进而求得结果.
【详解】由题意得，所以，
所以，因为，
所以，
故选B.
【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有诱导公式，已知三角函数值求角，属于简单题目.
6.下列说法正确的为
①如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行；
②如果两条直线同时垂直于第三条直线，那么这两条直线平行；
③如果两条直线同时平行于一个平面，那么这两条直线平行；
④如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．( )
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
【答案】D
【解析】
【分析】
①由平行线的传递性，根据公里四得到其正确性；
②如果两条直线同时垂直于第三条直线，则两直线可以平行，可以相交，也可以异面，从而得到其错误；
③如果两条直线同时平行于一个平面，则两直线可以平行，可以相交，也可以异面从而得到其错误；
④根据线面垂直的性质得到其正确性；
从而得到正确结果.
【详解】①由平行线的传递性：平行于同一直线的两直线平行，所以正确；
②如果两条直线同时垂直于第三条直线，则两直线可以平行，可以相交，也可以异面，所以不正确；
③如果两条直线同时平行于一个平面，则两直线可以平行，可以相交，也可以异面，所以不正确；
④垂直于同一平面的两直线平行，所以正确；
所以正确的说法是①④，
故选D.
【点睛】该题考查的是有关空间立体几何的问题，涉及到的知识点有直线平行的传递性，直线的垂直关系，线面平行，线面垂直，属于简单题目.
7.从两个班级各随机抽取5名学生测量身高（单位：cm)，甲班的数据为169，162，150，160，159，乙班的数据为180，160，150，150，165．据此估计甲、乙两班学生的平均身高,及方差,的关系为( )
A. , B. , C. , D. ,
【答案】C
【解析】
【分析】
利用公式求得和，从而得到和的大小，观察两组数据的波动程度，可以得到与的大小，从而求得结果.
【详解】甲班平均身高，
乙班平均身高，
所以，
方差表示数据的波动，当波动越大时，方差越大，
甲班的身高都差不多，波动比较小，而乙班身高差距则比加大，波动比较大，
所以，
故选C.
【点睛】该题考查的是有关所给数据的平均数与方差的比较大小的问题，涉及到的知识点有平均数的公式，观察数据波动程度来衡量方差的大小，属于简单题目.
8.函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先判断函数的定义域，结合，从而得到为奇函数，得到函数图象关于原点对称，利用相应的自变量对应的函数值的变化趋势，从而将不满足条件的项排除，从而求得结果.
【详解】函数定义域关于原点对称，，
所以为奇函数，图象关于原点对称，所以先排除B，
当时，，排除A，
当时，，排除C，
故选D.
【点睛】该题考查的是有关函数图象的识别问题，关于图象的选择问题，可以通过函数的定义域，函数图象的对称性，函数的单调性，函数值的符号，函数图象所过的特殊点，将正确选项选出来，属于中档题目.
9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，b＝10，则结合a的值解三角形有两解的为( )
A. a＝8 B. a＝9 C. a＝10 D. a＝11
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正弦定理得到，分情况讨论，得到正确的结果.
【详解】由正弦定理知，
由题意知，若，则，只有一解；若，则A＞B，只有一解；
从而要使的值解三角形有两解，
则必有，且，即，
解得，即，因此只有B选项符合条件，
故选B.
【点睛】该题考查的是有关根据三角形的解的个数选择边长的可取值的问题，涉及到的知识点有正弦定理，属于简单题目.
10.己知函数定义在R上的周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，，函数，则方程的解的个数为( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据题中所给的条件，画出函数在区间上的图象，利用对称性画出区间上的图象，利用函数的周期画出函数在区间上的图象，之后在同一坐标系中画出的图象，利用两图象交点的个数求得结果.
【详解】因为函数定义在R上的周期为4的奇函数，
且当0≤x≤2时，，
所以画出函数的图象，在同一坐标系中画出的图象，如图所示：
观察图象可知两个函数图象有8个交点，其中右边3个交点，左边5个交点，所以方程有8个解，
故选C.
【点睛】该题考查的是有关方程解的个数问题，在解题的过程中，将方程解 个数转化为函数图象交点的个数，涉及到的知识点有奇函数图象的对称性，函数的周期性，属于中档题目.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.已知角α终边上一点P（-3，4），则sinα＝____
【答案】
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义即可求解.
【详解】解：已知角a的终边经过点，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，熟记定义，即可求解，属于基础题型.
12.已知平面向量的夹角为，，则____
【答案】1
【解析】
【分析】
利用向量数量积的定义式求解即可.
【详解】根据题意可得，
故答案是1.
【点睛】该题考查的是有关平面向量数量积的求解问题，涉及到的知识点有平面向量数量积的定义式，属于简单题目.
13.某校共有学生1600人，其中高一年级400人．为了解各年级学生的兴趣爱好情况，用分层抽样的方法从中抽取容量为80的样本，则应抽取高一学生____人．
【答案】20
【解析】
【分析】
利用分层抽样方法直接求解.
【详解】由题意，应抽取高一学生（人），
故答案是20.
【点睛】该题考查的是有关分层抽样中某层所抽个体数的问题，涉及到的知识点有分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，列式求得结果，属于简单题目.
14.在棱长为1的正方体ABCD–A1B1C1D1中，点E是棱B1B的中点，则三棱锥D1－DEC1的体积为____.
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意，画出几何图形，之后将三棱锥的顶点和底面转换，利用等积法求得结果.
【详解】根据题意，画出图形，如图所示：
结合正方体的性质，以及椎体的体积公式，可以求得：
，
故答案是：.
【点睛】该题考查的是有关椎体体积的计算问题，涉及到的知识点有等级法求三棱锥的体积，椎体体积公式，属于简单题目.
15.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，如左下图．假定在水流量稳定的情况下，半径为3m的筒车上的每一个盛水桶都按逆时针方向作角速度为rad/min的匀速圆周运动，平面示意图如右下图，己知筒车中心O到水面BC的距离为2m，初始时刻其中一个盛水筒位于点P0处，且∠P0OA＝（OA//BC)，则8min后该盛水筒到水面的距离为____m．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得转动8分钟之后盛水桶所转过的角度，从而确定出其所在的位置，结合三角函数的有关知识，求得点P到水面的距离.
【详解】根据题意可得，8分钟后盛水桶所转过的角为，
而除去一圈，，
所以转8分钟之后P0所转到的位置P满足 ，
所以点P到水面距离，
故答案是：.
【点睛】该题考查的是有关三角函数的应用问题，涉及到的知识点有角速度的应用，三角函数的定义式，属于简单题目.
16.过点P(t，t）作圆C：（x一2)2＋y2＝1的两条切线，切点为A，B，若直线AB过点（2，），则t＝____.
【答案】8
【解析】
【分析】
根据圆的方程得到圆C的圆心坐标和圆的半径，从而求得以为直径的圆的方程，将两圆方程相减，求得两圆公共弦所在直线的方程，根据直线过点的条件，得到关于的等量关系式，最后求得结果.
【详解】因为圆C：的圆心为，，
所以以为直径的圆的方程为，
即，
可得：，
即直线的方程为，
因为直线过点，
所以，解得，
故答案是：8.
【点睛】该题考查的是有关圆的问题，涉及到的知识点有以某条线段为直径的圆的方程，两圆的公共弦所在直线的方程，点在直线上的条件，属于中档题目.
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知点O（0，0），A（2，一1），B（一4，8）．
（1）若点C满足，求点C的坐标；
（2）若与垂直，求k．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设出C点的坐标，利用终点减起点坐标求得和的坐标，利用向量运算坐标公式，得到满足的条件求得结果；
（2）利用向量坐标运算公式求得，，利用向量垂直的条件，得到等量关系式，求得结果.
【详解】（1）因为，，所以．
设点C的坐标为，则．
由，得
解得，，
所以点C的坐标为．
（2），，
因为与垂直，
所以，解得.
【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量坐标运算公式及法则，向量垂直的条件，数量积坐标公式，属于简单题目.
18.如图，在三棱柱ABC–A1B1C1中，AB＝BC，D为AC的中点，O为四边形B1C1CB的对角线的交点，AC⊥BC1．求证：
（1）OD∥平面A1ABB1；
（2）平面A1C1CA⊥平面BC1D．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）连结，根据三棱柱的性质，得到四边形为平行四边形，从而得到O为的中点，结合题的条件，得到，利用线面平行的判定定理证得结果；
（2）利用等腰三角形，得到，又因为，之后应用线面垂直的判定定理证得平面，再应用面面垂直的判定定理证得平面平面．
【详解】证明：（1）连结，在三棱柱中，
四边形为平行四边形，
从而O为平行四边形对角线的交点，所以O为的中点．
又D是AC的中点，从而在，中，有，
又平面，平面，
所以平面．
（2）在中，因为，D为AC的中点，
所以．
又因为，
，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，面面垂直的判定，属于简单题目.
19.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，△ABC是边长为3的等边三角形．
（1）求AD；
（2）求sin∠DAB．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用平行线的性质以及题的条件，得到，，利用余弦定理求得的长度；
（2）法1：在中，应用正弦定理求得的值，利用同旁内角互补以及诱导公式求得sin∠DAB的值；法2：利用余弦定理求得的值，利用同角三角函数关系求得，利用正弦和角公式求得sin∠DAB的值.
【详解】（1）在梯形ABCD中，因为，是边长为3的等边三角形，
所以，．
在中，由余弦定理，得
，
所以．
（2）法1：在中，由正弦定理，得，
结合（1）知，．
因为，所以．
从而．
法2：在中，由余弦定理，得
结合（1）知，．
从而．
所以
．
【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有平行线的性质，余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，属于简单题目.
20.己知点，直线l与圆C：（x一1)2＋（y一2）2＝4相交于A，B两点，且OA⊥OB．
（1）若直线OA方程为y＝一3x，求直线OB被圆C截得的弦长；
（2）若直线l过点（0，2），求l的方程．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，求得直线OB的方程，利用点到直线的距离公式求得圆心到直线OB的距离，之后应用圆中的特殊三角形，求得弦长；
（2）根据题意，可判断直线的斜率是存在的，设出其方程，与圆的方程联立，得到两根和与两根积，根据OA⊥OB，利用向量数量积等于零得到所满足的等量关系式，求得结果.
【详解】（1）因为直线OA的方程为，，
所以直线OB的方程．
从而圆心到直线OB的距离为：
所以直线OB被团C截得的弦长为：．
（2）依题意，直线l斜率必存在，不妨设其为k，则l的方程为，
又设，．
由得，
所以，．
从而．
所以．
因为，所以，即，解得．
所以l的方程为．
【点睛】该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有两直线垂直的条件，直线被圆截得的弦长，直线方程的求解，属于简单题目.
21.已知某观光海域AB段的长度为3百公里，一超级快艇在AB段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q（单位：万元）与速度v（单位：百公里／小时）（0≤v≤3）的以下数据：
0
1
2
3
0
0.7
1.6
3.3
为描述该超级快艇每小时航行费用Q与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：Q＝av3＋bv2＋cv，Q＝0．5v＋a，Q＝klogav＋b．
（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少？并求出最少航行费用．
【答案】（1）选择函数模型，函数解析式为；（2）以1百公里/小时航行时可使AB段的航行费用最少，且最少航行费用为2.1万元.
【解析】
【分析】
（1）对题中所给的三个函数解析式进行分析，对应其性质，结合题中所给的条件，作出正确的选择，之后利用待定系数法求得解析式，得出结果；
（2）根据题意，列出函数解析式，之后应用配方法求得最值，得到结果.
【详解】（1）若选择函数模型，则该函数在上为单调减函数，
这与试验数据相矛盾，所以不选择该函数模型．
若选择函数模型，须，这与试验数据在时有意义矛盾，
所以不选择该函数模型．
从而只能选择函数模型，由试验数据得，
，即，解得
故所求函数解析式为：．
（2）设超级快艇在AB段的航行费用为y（万元），
则所需时间为（小时），其中，
结合（1）知，
所以当时，．
答：当该超级快艇以1百公里/小时航行时可使AB段的航行费用最少，且最少航行费用为2．1万元．
【点睛】该题考查的是有关函数的应用题，涉及到的知识点有函数模型的正确选择，等量关系式的建立，配方法求二次式的最值，属于简单题目.
22.已知函数.
（1）若f(－1）＝f(1)，求a，并直接写出函数的单调增区间；
（2）当a≥时，是否存在实数x，使得＝一？若存在，试确定这样的实数x的个数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），单调增区间为，；（2）2个.
【解析】
【分析】
（1）首先根据题中所给的函数解析式，利用，得到所满足的等量关系式，求得的值，从而得到函数的解析式，进而求得函数的单调增区间；
（2）根据条件，结合函数解析式，分类讨论，分析性质，
【详解】（1）由，得，解得．
此时，函数
所以函数的单调增区间为，．
（2）显然，不满足；
若，则，由，得，
化简，得，无解：
若，则，由，得，
化简，得．
令，．
当时，；
下面证明函数在上是单调增函数．
任取，且，
则
由于
，
所以，即，故在上是单调增函数。
因为，，
所以，又函数的图象不间断，所以函数在上有且只有一个零点．
即当时，有且只有一个实数x满足．
因为当满足时，实数也一定满足，即满足的根成对出现（互为相反数）；
所以，所有满足的实数x的个数为2．
【点睛】该题考查的是有关函数解析式中参数的确定，分段函数的单调区间的求解，是否存在类问题的求解思路，分类讨论思想的应用，属于较难题目.