江苏省无锡市2018-2019学年高二下学期期末质量数学（文）试题 Word版含解析

无锡市普通高中2019年春学期期末质量卷
高二数学（文）
一.填空题（本大题共14题，每题5分，共70分.请将答案填写在答题卡（卷）相应的位置上.）
1.已知集合，，则__________.
2.已知复数（是虚数单位），则的值为__________.
3.函数定义域为__________.
4.用反证法证明命题“如果，那么”时，应假设__________.
5.已知函数若，则实数的值为__________.
6.若指数函数的图象过点，则__________.
7.设向量，，若，则实数__________.
8.已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数的值为__________.
9.已知函数，图象上一个最高点的横坐标为，与相邻的两个最低点分别为，.若是面积为的等边三角形，则函数解析式为__________.
10.对正整数的三次方运算有如下分解方式：，，，，根据上述分解规律，的分解式中最小的正整数是__________.
11.已知，则的值为__________.
12.在中，，，，.若，则实数的值为__________.
13.已知函数，若，则实数的取值范围__________.
14.函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围__________.
二.解答题（本大题共6题，计90分.请在答题卡（卷）指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.已知复数，为虚数单位，.
（1）若，求；
（2）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围.
16.已知，，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
17.如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，且，设.
（1）当时，求证：；
（2）求的最大值.
18.某企业加工生产一批珠宝，要求每件珠宝都按统一规格加工，每件珠宝的原材料成本为3.5万元，每件珠宝售价（万元）与加工时间（单位：天）之间的关系满足图1，珠宝的预计销量（件）与加工时间（天）之间的关系满足图2.原则上，单件珠宝的加工时间不能超过55天，企业支付的工人报酬为这批珠宝销售毛利润的三分之一，其他成本忽略不计算.
（1）如果每件珠宝加工天数分别为6，12，预计销量分别会有多少件？
（2）设工厂生产这批珠宝产生的纯利润为（万元），请写出纯利润（万元）关于加工时间（天）之间的函数关系式，并求纯利润（万元）最大时的预计销量.
注：毛利润=总销售额-原材料成本,纯利润=毛利润-工人报酬
19.已知函数的图象是由函数的图象经如下变换得到：先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向左平移个单位长度.
（1）求函数在上的单调递增区间；
（2）已知关于的方程在内有两个不同的解，.求的值.
20.如果函数满足：对定义域内的所有，存在常数，，都有，那么称是“中心对称函数”，对称中心是点.
（1）判断函数是否为“中心对称函数”，若是“中心对称函数”求出对称中心，若不是“中心对称函数”请说明理由；
（2）已知函数（且，）的对称中心是点.
①求实数的值；
②若存在，使得在上的值域为，求实数的取值范围.

答案与解析
一.填空题（本大题共14题，每题5分，共70分.请将答案填写在答题卡（卷）相应的位置上.）
1.已知集合，，则__________.
【答案】
【解析】
分析：直接利用交集的定义求解即可.
详解：因为集合，，
所以由交集的定义可得，
故答案为
点睛：本题考查集合的交集的定义，意在考查对基本运算的掌握情况，属于简单题.
2.已知复数（是虚数单位），则的值为__________.
【答案】5
【解析】
试题分析：.
考点：复数的运算，复数的模．
3.函数定义域为__________.
【答案】且
【解析】
【分析】
解不等式即得函数的定义域.
【详解】由题得，解之得且x≠3.
故答案为：且
【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4.用反证法证明命题“如果，那么”时，应假设__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由反证法的定义得应假设：
【详解】由反证法的定义得应假设：
故答案为：
【点睛】本题主要考查反证法的证明过程，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5.已知函数若，则实数的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先计算，再求，最后解方程得解.
【详解】由题得，
所以，
所以
故答案为：
【点睛】本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6.若指数函数的图象过点，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
设指数函数为，代入点的坐标求出的值，再求的值.
【详解】设指数函数为，
所以.
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查指数函数的解析式的求法和指数函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7.设向量，，若，则实数__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先计算出，再利用向量共线的坐标表示得到方程，解方程即得解.
【详解】由题得
因为，
所以,即.
故答案为：
【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和向量共线的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8.已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数的值为__________.
【答案】.
【解析】
【分析】
直接利用向量数量积公式化简即得解.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以=-7.
故答案为：-7
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
9.已知函数，图象上一个最高点的横坐标为，与相邻的两个最低点分别为，.若是面积为的等边三角形，则函数解析式为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
作出三角函数的图象，结合三角形的面积求出三角函数的周期和，即可得到结论．
【详解】不妨设是距离原点最近的最高点，
由题意知，
是面积为4的等边三角形，
，即，
则周期，即，则，
三角形的高，则，
则，
由题得，所以
又
所以，
即，
故答案为：
【点睛】本题主要考查三角函数解析式求解，根据条件求出三角函数的周期和振幅是解决本题的关键．
10.对正整数的三次方运算有如下分解方式：，，，，根据上述分解规律，的分解式中最小的正整数是__________.
【答案】91
【解析】
【分析】
由,，，，按以上规律分解，第个式子的
第一项为，即得解.
【详解】由,，，，按以上规律分解，第个式子的
第一项为，所以的分解式中最小的正整数是.
故答案为：91
【点睛】本题主要考查归纳推理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
11.已知，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据已知求出，最后化简,代入的值得解.
【详解】由题得.
由题得
=.
故答案为：
【点睛】本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
12.在中，，，，.若，则实数的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的运算法则用表示出和，利用，列方程可求出的值.
【详解】如图所示，
中，，
，
，
解得，故答案为.
【点睛】向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．
13.已知函数，若，则实数的取值范围__________.
【答案】
【解析】
【分析】
设，再求函数的奇偶性和单调性，再利用函数的奇偶性和单调性解不等式得解.
【详解】设，
因为，所以函数是奇函数，其函数图像为
函数在R上单调递增，
由题得，
所以,
所以,
所以，
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性及其应用，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
14.函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围__________.
【答案】
【解析】
【分析】
把函数解析式化为分段函数的形式，在每一段上研究函数的零点情况，从而求出的取值范
围．
【详解】函数，
①函数在，，各一个解：由于，
．
②两零点都在上时，显然不符合根与系数的关系．
综上，的取值范围是：．
故答案为：，．
【点睛】本题考查函数零点的求法，以及函数零点存在的条件，考查了分类讨论的数学思想，属于中
档题．
二.解答题（本大题共6题，计90分.请在答题卡（卷）指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.已知复数，为虚数单位，.
（1）若，求；
（2）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）先化简复数z,再利用复数为实数的概念求出的值；（2）由题得且，
解不等式即得解.
【详解】（1），
若，则，∴，
∴.
（2）若在复平面内对应的点位于第四象限，
则且，
解得，
即的取值范围为.
【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
16.已知，，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据求的值；（2）先求出再利用
求出的值，即得的值.
【详解】（1）∵
∴，
又∵，∴.
（2）由（1）知：，
由，得，
，
，
.
【点睛】本题主要考查三角恒等变换和求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
17.如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，且，设.
（1）当时，求证：；
（2）求的最大值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
分析】
（1）以为坐标原点建立平面直角坐标系，求出各点坐标，即得，得证；（2）由三角函数的定义可设，，再利用三角函数的图像和性质求解.
【详解】
以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，，，.
当时，，则，，
∴.
∴.
（2）由三角函数的定义可设，
则，，，
从而，
所以，
因为，故当时，取得最大值2.
【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和运算，考查向量垂直的坐标表示，考查平面向量的数量积运算和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18.某企业加工生产一批珠宝，要求每件珠宝都按统一规格加工，每件珠宝的原材料成本为3.5万元，每件珠宝售价（万元）与加工时间（单位：天）之间的关系满足图1，珠宝的预计销量（件）与加工时间（天）之间的关系满足图2.原则上，单件珠宝的加工时间不能超过55天，企业支付的工人报酬为这批珠宝销售毛利润的三分之一，其他成本忽略不计算.
（1）如果每件珠宝加工天数分别为6，12，预计销量分别会有多少件？
（2）设工厂生产这批珠宝产生的纯利润为（万元），请写出纯利润（万元）关于加工时间（天）之间的函数关系式，并求纯利润（万元）最大时的预计销量.
注：毛利润=总销售额-原材料成本,纯利润=毛利润-工人报酬
【答案】（1）预计订单数分别为29件，43件（2），利润最大时，预计的订单数为28件.
【解析】
【分析】
（1）先求出预计订单函数为再求解；（2）先求出利润函数为再分段求函数的最大值即得解.
【详解】（1）预计订单函数
.
所以每件珠宝加工天数分别为6，12，预计订单数分别为29件，43件.
（2）售价函数为（万元）.
∴利润函数为
当时，的最大值为（万元）
当时，的最大值为（万元）
故利润最大时，，此时预计的订单数为28件.
【点睛】本题主要考查函数的应用，考查函数的解析式的求法和函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19.已知函数的图象是由函数的图象经如下变换得到：先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向左平移个单位长度.
（1）求函数在上的单调递增区间；
（2）已知关于的方程在内有两个不同的解，.求的值.
【答案】（1）在上的单调递增区间，（2）
【解析】
【分析】
（1）先求出，再利用三角函数的图像和性质求函数在上的单调递增区间；（2）先化简得，再利用三角函数的性质求出的值得解.
【详解】（1）将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，
再将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，
故.
，令，
，,又
所以在上的单调递增区间，.
（2）
.
因为在内有两个不同的解，，
所以在内有两个不同的解，，且，
所以或.
于是或.
当时，
.
当时，
，
因此，
.
【点睛】本题主要考查三角函数图像的变换和三角函数的单调区间的求法，考查三角函数图像的零点问题，考查三角恒等变换和求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20.如果函数满足：对定义域内的所有，存在常数，，都有，那么称是“中心对称函数”，对称中心是点.
（1）判断函数是否为“中心对称函数”，若是“中心对称函数”求出对称中心，若不是“中心对称函数”请说明理由；
（2）已知函数（且，）的对称中心是点.
①求实数的值；
②若存在，使得在上的值域为，求实数的取值范围.
【答案】（1）不是“中心对称函数”.详见解析（2）①②
【解析】
【分析】
（1）证明所以不是“中心对称函数”；（2）①由题得求出k=1；②分析得到在上单调递减，即，是方程的两个实根.转化为在有两个不等实根求出m的范围.
【详解】（1）不是“中心对称函数”，
若函数是“中心对称函数”，对称中心是点，
则对任意实数都成立，
化简得，对任意实数都成立.
这显然不可能.
故函数不是“中心对称函数”.
（2）①因为函数的对称中心是点，
所以，
即.
解得（负值舍去）.
②因为，所以.
又因为.
所以.
所以在上单调递减，
于是
所以，，是方程的两个实根.
即，
整理得，在有两个不等实根.
令，
所以，
即，
又，
解得.
【点睛】本题主要考查新定义的理解和解题，考查方程的根和零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.