江苏省无锡市普通高中2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题 Word版含解析

无锡市普通高中2019年春学期期末质量调研卷
高二数学（理）
2019.6
一、填空题（本大题共14题，每题5分，共70分.请将答案填写在答题卡（卷）相应的位置上.）
1.已知复数，其中是虚数单位，则复数的实部为__________.
2.矩阵的逆矩阵为__________.
3.某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量，其概率分布如表，数学期望.则__________.
0
3
6
4.已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是，，，，这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有__________个不同的编号（用数字作答）.
5.在极坐标系中，已知两点，，则线段的长度为__________.
6.已知复数，其中是虚数单位，复数满足，则复数的模等于__________.
7.若的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是__________.
8.引入随机变量后，下列说法正确的有：__________（填写出所有正确的序号）.
①随机事件个数与随机变量一一对应；
②随机变量与自然数一一对应；
③随机变量的取值是实数.
9.在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两垂直，，则四面体的外接球半径______________．
10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是_______.
11.观察下列等式，，，，，从中可以归纳出一个一般性的等式是：__________.
12.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程是，（为参数），直线与圆交于两个不同的点、，当点在圆上运动时，面积的最大值为__________.
13.已知直线（，是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有__________条（用数字作答）.
14.在如图三角形数阵中，从第3行开始，每一行除1以外，其它每一个数字是它上一行的左右两个数字之和.已知这个三角形数阵开头几行如图所示，若在此数阵中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为，则这一行是第__________行（填行数）.
二、解答题（本大题共6题，计90分.请在答题卡（卷）指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.已知复数，其中是虚数单位，根据下列条件分别求实数的值.
（Ⅰ）复数是纯虚数；
（Ⅱ）复数在复平面内对应的点在直线上.
16.在平面直角坐标系中，直线，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.设直线与曲线交于，两点，点在点的下方.
（Ⅰ）当时，求，两点的直角坐标；
（Ⅱ）当变化时，求线段中点的轨迹的极坐标方程.
17.已如变换对应的变换矩阵是，变换对应的变换矩阵是.
（Ⅰ）若直线先经过变换，再经过变换后所得曲线为，求曲线的方程；
（Ⅱ）求矩阵的特征值与特征向量.
18.新高考方案的考试科目简称“”，“3”是指统考科目语数外，“1”指在首选科目“物理、历史”中任选1门，“2”指在再选科目“化学、生物、政治和地理”中任选2门组成每位同学的6门高考科目.假设学生在选科中，选修每门首选科目的机会均等，选择每门再选科目的机会相等.
（Ⅰ）求某同学选修“物理、化学和生物”的概率；
（Ⅱ）若选科完毕后的某次“会考”中，甲同学通过首选科目的概率是，通过每门再选科目的概率都是，且各门课程通过与否相互独立.用表示该同学所选的3门课程在这次“会考”中通过的门数，求随机变量的概率分布和数学期望.
19.已知数列满足，且.
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）是否存在实数，，使得，对任意正整数恒成立？若存在，求出实数、的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
20.已知.
（Ⅰ）计算的值；
（Ⅱ）若，求中含项的系数；
（Ⅲ）证明：.
答案与解析
一、填空题（本大题共14题，每题5分，共70分.请将答案填写在答题卡（卷）相应的位置上.）
1.已知复数，其中是虚数单位，则复数的实部为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
通过分子分母同时乘以分母的共轭复数化简，从而得到答案.
【详解】由题意复数，因此复数的实部为.
【点睛】本题主要考查复数的四则运算，实部的相关概念，难度不大.
2.矩阵的逆矩阵为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
通过逆矩阵的定义构建方程组即可得到答案.
【详解】由逆矩阵的定义知：,设，由题意可得：
，即解得，因此.
【点睛】本题主要考查逆矩阵的相关计算，难度不大.
3.某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量，其概率分布如表，数学期望.则__________.
0
3
6
【答案】
【解析】
【分析】
通过概率和为1建立方程，再通过得到方程，从而得到答案.
【详解】根据题意可得方程组：，解得，从而.
【点睛】本题主要考查分布列与期望相关概念，难度不大.
4.已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是，，，，这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有__________个不同的编号（用数字作答）.
【答案】45
【解析】
【分析】
通过分步乘法原理即可得到答案.
【详解】对于英文字母来说，共有5种可能，对于数字来说，共有9种可能，按照分步乘法原理，即可知道共有个不同的编号.
【点睛】本题主要考查分步乘法原理的相关计算，难度很小.
5.在极坐标系中，已知两点，，则线段的长度为__________.
【答案】4
【解析】
【分析】
可将点P和点Q先化为直角坐标系下的点，从而利用距离公式求解.
【详解】根据，可将化为直角坐标点为，将化为直角坐标点为，从而.
【点睛】本题主要考查极坐标点和直角坐标点的互化，距离公式，难度不大.
6.已知复数，其中是虚数单位，复数满足，则复数的模等于__________.
【答案】
【解析】
【分析】
可设出复数z，通过复数相等建立方程组，从而求得复数的模.
【详解】由题意可设，由于，所以
，因此，解得，因此复数的模为：.
【点睛】本题主要考查复数的四则运算，相等的条件，比较基础.
7.若的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是__________.
【答案】240
【解析】
分析：利用二项式系数的性质求得n的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．
详解：的展开式中所有二项式系数和为，，则 ；则展开式的通项公式为
令，求得，可得展开式中的常数项是
故答案为：240．
点睛：本题主要考查二项式定理应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
8.引入随机变量后，下列说法正确的有：__________（填写出所有正确的序号）.
①随机事件个数与随机变量一一对应；
②随机变量与自然数一一对应；
③随机变量的取值是实数.
【答案】③
【解析】
【分析】
要判断各项中对随机变量描述的正误，需要牢记随机变量的定义.
【详解】引入随机变量,使我们可以研究一个随机实验中的所有可能结果，所以随机变量的取值是实数，故③正确.
【点睛】本题主要考查随机变量的相关定义，难度不大.
9.在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两垂直，，则四面体的外接球半径______________．
【答案】
【解析】
【分析】
通过条件三条棱两两垂直，可将其补为长方体，从而求得半径.
【详解】若两两垂直,可将四面体补成一长方体，从而长方体外接球即为四面体的外接球，于是半径，故答案为.
【点睛】本题主要考查外接球的半径，将四面体转化为长方体求解是解决本题的关键.
10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可．
【详解】在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，
从中选2个不同的数有45种，
和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，
则对应的概率P，
故答案为：
【点睛】本题主要考查古典概型的概率和组合数的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
11.观察下列等式，，，，，从中可以归纳出一个一般性的等式是：__________.
【答案】
【解析】
【分析】
通过观察前几个式子的变化规律，总结规律即可得到答案.
【详解】根据题意，第一个式子从1开始，左边按顺序加有1项；第二个式子从2开始，有3项；第三个式子从3开始，有5项，于是可归纳出，第n个式子从n开始，有项，于是答案为：.
【点睛】本题主要考查归纳法，意在考查学生的逻辑推理能力和数感，难度不大.
12.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程是，（为参数），直线与圆交于两个不同的点、，当点在圆上运动时，面积的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
通过将面积转化为以AB为底，P到AB的距离为高即可求解.
【详解】直线的直角坐标方程为：，圆的直角坐标方程为：，即圆心为坐标原点，半径为1.因此圆心到直线的距离为，因此，设P到线段AB的高为h，则，因此.
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，面积最值问题.意在考查学生的转化能力，计算能力，难度中等.
13.已知直线（，是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有__________条（用数字作答）.
【答案】60
【解析】
【分析】
直线是截距式方程，因而不平行坐标轴，不过原点，考查圆上横坐标和纵坐标均为整数的点的个数，结合排列组合知识分类解答即可得到答案.
【详解】可知直线的截距存在且不为0，即与坐标轴不垂直，不经过坐标原点，而圆上的公共点共有12个点，分别为：，，，，,,前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点中过任意两点，构成条直线，其中有4条直线垂直x轴，有4条垂直于y轴，还有6条过原点（圆上点的对称性），满足题设的直线有52条，综上可知满足题设的直线共有52+8=60条，故答案为60.
【点睛】本题主要考查排列组合知识，解决此类问题一定要做到不重不漏，意在考查学生的分析能力及分类讨论的数学思想，难度较大.
14.在如图三角形数阵中，从第3行开始，每一行除1以外，其它每一个数字是它上一行的左右两个数字之和.已知这个三角形数阵开头几行如图所示，若在此数阵中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为，则这一行是第__________行（填行数）.
【答案】98
【解析】
【分析】
通过杨辉三角可知每一行由二项式系数构成，于是可得方程组，求出行数.
【详解】三角形数阵中，每一行的数由二项式系数，组成.如多第行中有，，那么，解得，因此答案为98.
【点睛】本题主要考查杨辉三角，二项式定理，意在考查学生数感的建立，计算能力及分析能力，难度中等.
二、解答题（本大题共6题，计90分.请在答题卡（卷）指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.已知复数，其中是虚数单位，根据下列条件分别求实数的值.
（Ⅰ）复数是纯虚数；
（Ⅱ）复数在复平面内对应的点在直线上.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据纯虚数为实部为0，虚部不为0即可得到方程，于是求得答案；
（Ⅱ）将复数在复平面内对应的点表示出来，代入直线上，即可得到答案.
【详解】解：因为，复数可表示为
，
（Ⅰ）因为为纯虚数，所以
解得；
（Ⅱ）复数在复平面内对应的点坐标为
因为复数在复平面内对应的点在直线上
所以
即
解得或.
【点睛】本题主要考查纯虚数，复数的几何意义等相关概念，难度较小.
16.在平面直角坐标系中，直线，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.设直线与曲线交于，两点，点在点的下方.
（Ⅰ）当时，求，两点的直角坐标；
（Ⅱ）当变化时，求线段中点的轨迹的极坐标方程.
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据题意，可将直线与曲线C联立求得，两点的直角坐标；
（II）（解法一）当变化时，，于是可知点的轨迹为圆，从而得到其轨迹方程；
（解法二）设，可用相关点法表示出的坐标，代入，于是得到轨迹方程.
【详解】解：（Ⅰ）当时，直线，
曲线的普通方程为：，
由解得或，
∵点在点的下方，
所以，两点的直角坐标为：，.
（II）（解法一）当变化时，，
所以点的轨迹是以为直径的圆（点除外），
因为曲线是圆心为的圆，
则以为直径的圆的圆心坐标，半径为2.
所以点轨迹的直角坐标方程为，
所以点轨迹的极坐标方程为.
（解法二）设，
因为点是线段中点，是极点，
所以点的坐标为，
代入中，得，
因为，不重合，所以，
所以点轨迹的极坐标方程为.
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程.意在考查学生的转化能力，计算能力，逻辑推理能力，难度中等.
17.已如变换对应的变换矩阵是，变换对应的变换矩阵是.
（Ⅰ）若直线先经过变换，再经过变换后所得曲线为，求曲线的方程；
（Ⅱ）求矩阵的特征值与特征向量.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先求出变换矩阵，然后设曲线上一点，列出方程即可得到方程；
（Ⅱ）先利用多项式求出特征根，然后求出特征向量.
【详解】解：（Ⅰ），
在曲线上任取一点，在变换的作用下得到点，
则即，
整理得，
则即
代入中得.
（Ⅱ）矩阵的特征多项式为，
令得或，
①当时，由，得即
令，则.
所以矩阵的一个特征向量为；
②当时，由，得，即
令，则.所以矩阵的一个特征向量.
【点睛】本题主要考查矩阵变换，特征值和特征向量的相关运算.意在考查学生的分析能力和计算能力，难度中等.
18.新高考方案的考试科目简称“”，“3”是指统考科目语数外，“1”指在首选科目“物理、历史”中任选1门，“2”指在再选科目“化学、生物、政治和地理”中任选2门组成每位同学的6门高考科目.假设学生在选科中，选修每门首选科目的机会均等，选择每门再选科目的机会相等.
（Ⅰ）求某同学选修“物理、化学和生物”的概率；
（Ⅱ）若选科完毕后的某次“会考”中，甲同学通过首选科目的概率是，通过每门再选科目的概率都是，且各门课程通过与否相互独立.用表示该同学所选的3门课程在这次“会考”中通过的门数，求随机变量的概率分布和数学期望.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）显然各类别中，一共有种组合，而选修物理、化学和生物只有一种可能，于是通过古典概率公式即可得到答案；
（Ⅱ）找出的所有可能取值有0，1，2，3，依次求得概率，从而得到分布列和数学期望.
【详解】解：（Ⅰ）记“某同学选修物理、化学和生物”为事件，
因为各类别中，学生选修每门课程的机会均等
则，
答：该同学选修物理、化学和生物的概率为.
（Ⅱ）随机变量的所有可能取值有0，1，2，3.
因为，
，
，
，
所以的分布列为
0
1
2
3
所以数学期望.
【点睛】本题主要考查分布列和数学期望的相关计算，意在考查学生处理实际问题的能力，对学生的分析能力和计算能力要求较高.
19.已知数列满足，且.
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）是否存在实数，，使得，对任意正整数恒成立？若存在，求出实数、的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）存在实数，符合题意.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意可整理为，从而代入，即可求，的值；
（Ⅱ）当时和时，可得到一组、的值，于是假设该式成立，用数学归纳法证明即可.
【详解】（Ⅰ）因为，整理得，
由，代入得，.
（Ⅱ）假设存在实数、，使得对任意正整数恒成立.
当时，，①
当时，，②
由①②解得：，.
下面用数学归纳法证明：
存在实数，，使对任意正整数恒成立.
（1）当时，结论显然成立.
（2）当时，假设存在，，使得成立，
那么，当时，
.
即当时，存在，，使得成立.
由（1）（2）得：
存在实数，，使对任意正整数恒成立.
【点睛】本题主要考查数学归纳法在数列中的应用，意在考查学生的计算能力，分析能力，逻辑推理能力，比较综合，难度较大.
20.已知.
（Ⅰ）计算的值；
（Ⅱ）若，求中含项的系数；
（Ⅲ）证明：.
【答案】（Ⅰ）-2019；（Ⅱ）196；（Ⅲ）详见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由于，代入-1即可求得答案;
（Ⅱ）由于，利用二项式定理即可得到项的系数；
（Ⅲ）可设，找出含项的系数，利用错位相减法数学思想两边同时乘以，再找出含项的系数，于是整理化简即可得证.
【详解】解：（Ⅰ）∵，
∴；
∴；
（Ⅱ）
，
中项的系数为；
（Ⅲ）设（且）①
则函数中含项系数为，
另一方面：由①得：②
①-②得：
，
所以，
所以，
则中含项的系数为，
又因为，
，
所以，
即，
所以.
【点睛】本题主要考查二项式定理的相关应用，意在考查学生对于赋值法的理解，计算能力，分析能力及逻辑推理能力，难度较大.