江苏省盐城市2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含解析

江苏省盐城市2018~2019学年度第二学期高二年级期终考试
数学试题
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）
1.已知复数，（其中为虚数单位），若为实数，则实数的值为_______．
2.已知一组数据，，，，的方差为，则数据2，2，2，2，2的方差为_______．
3.某学校拟从2名男教师和1名女教师中随机选派2名教师去参加一个教师培训活动，则2名男教师去参加培训的概率是_______．
4.若命题“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是_______．
5.执行如图所示的流程图，则输出的值为_______．
6.已知实数满足，则的最大值为____．
7.若双曲线的两条渐近线与抛物线的准线围成的三角形面积为，则双曲线的离心率为_______．
8.已知圆：的面积为，类似的，椭圆：的面积为__．
9.5名学生站成一排拍照片，其中甲乙两名学生不相邻的站法有_______种．（结果用数值表示）
10.已知函数的一条对称轴为，则的值为_______．
11.在的二项展开式中，常数项为________（结果用数值表示）
12.若函数且是偶函数，则函数的值域为_______．
13.已知函数，则“”是“函数有且仅有一个极值点”的_______条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）
14.设分别为椭圆的右顶点和上顶点，已知椭圆过点，当线段长最小时椭圆的离心率为_______．
15.若为正实数，则的最大值为_______．
16.已知函数，的最大值为，则实数的值为_______．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.如图，在四棱锥中，已知底面为菱形，，，为对角线与的交点，底面且
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求平面与平面所成锐二面角余弦值．
18.设命题函数在是减函数；命题，都有成立．
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．
19.某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：一个袋子装有只形状和大小均相同的玻璃球，其中两只是红色，三只是绿色，顾客从袋子中一次摸出两只球，若两只球都是红色，则奖励元；共两只球都是绿色，则奖励元；若两只球颜色不同，则不奖励．
（1）求一名顾客在一次摸奖活动中获得元的概率；
（2）记为两名顾客参与该摸奖活动获得的奖励总数额，求随机变量的分布列和数学期望．
20.设函数．
（1）若函数为奇函数，(0，)，求的值；
（2）若＝，＝，(0，)，求的值．
21.已知数列各项均为正数，满足．
（1）求，，的值；
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．
22.设，．
（1）证明：对任意实数，函数都不是奇函数；
（2）当时，求函数的单调递增区间．
23.如图，一条小河岸边有相距的两个村庄（村庄视为岸边上两点），在小河另一侧有一集镇（集镇视为点），到岸边的距离为，河宽为，通过测量可知，与的正切值之比为．当地政府为方便村民出行，拟在小河上建一座桥（分别为两岸上的点，且垂直河岸，在的左侧），建桥要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已知两村的人口数分别是人、人，假设一年中每人去集镇的次数均为次．设．（小河河岸视为两条平行直线）
（1）记为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用表示；
（2）试确定的余弦值，使得最小，从而符合建桥要求．
24.如图，已知椭圆与椭圆的离心率相同．
（1）求的值；
（2）过椭圆的左顶点作直线，交椭圆于另一点，交椭圆于两点（点在之间）．①求面积的最大值（为坐标原点）；②设的中点为，椭圆的右顶点为，直线与直线的交点为，试探究点是否在某一条定直线上运动，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．
25.已知函数，
（1）当，时，求函数在上的最小值；
（2）若函数在与处的切线互相垂直，求的取值范围；
（3）设，若函数有两个极值点，，且，求的取值范围．

答案与解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）
1.已知复数，（其中为虚数单位），若为实数，则实数的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据复数的运算和实数的定义可求得结果.
【详解】
为实数 ，解得：
本题正确结果：
【点睛】本题考查根据复数的类型求解参数值的问题，属于基础题.
2.已知一组数据，，，，的方差为，则数据2，2，2，2，2的方差为_______．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据方差的性质运算即可.
【详解】由题意知：
本题正确结果：
【点睛】本题考查方差的运算性质，属于基础题.
3.某学校拟从2名男教师和1名女教师中随机选派2名教师去参加一个教师培训活动，则2名男教师去参加培训的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据古典概型概率计算公式求解即可.
【详解】从名教师中选派名共有：种选法
名男教师参加培训有种选法
所求概率：
本题正确结果：
【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.
4.若命题“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据原命题为假，可得，都有；当时可知；当时，通过分离变量可得，通过求解最值得到结果.
【详解】由原命题为假可知：，都有
当时，，则
当时，
又，当且仅当时取等号
综上所述：
本题正确结果：
【点睛】本题考查根据命题的真假性求解参数范围，涉及到恒成立问题的求解.
5.执行如图所示的流程图，则输出的值为_______．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据程序框图运行程序，直到满足，输出结果即可.
【详解】按照程序框图运行程序，输入，
则，，不满足，循环；
，，不满足，循环；
，，不满足，循环；
，，满足，输出结果：
本题正确结果：
【点睛】本题考查根据程序框图中的循环结构计算输出结果，属于常考题型.
6.已知实数满足，则的最大值为____．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据约束条件得到可行域，令，则取最大值时，在轴截距最大；通过平移可知过时即可，代入求得最大值.
【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：
令，则取最大值时，在轴截距最大
通过平移可知当过时，在轴截距最大
本题正确结果：
【点睛】本题考查线性规划求解最值的问题，关键是将问题转化为截距最值的求解问题，属于常考题型.
7.若双曲线的两条渐近线与抛物线的准线围成的三角形面积为，则双曲线的离心率为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
求解出双曲线渐近线和抛物线准线的交点，利用三角形面积构造方程可求得，利用双曲线的关系和即可求得离心率.
【详解】由双曲线方程可得渐近线方程为：
由抛物线方程可得准线方程为：
可解得渐近线和准线的交点坐标为：
，解得：
本题正确结果：
【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，关键是能够利用三角形面积构造方程，得到之间关系，进而得到之间的关系.
8.已知圆：的面积为，类似的，椭圆：的面积为__．
【答案】
【解析】
【分析】
根据类比推理直接写的结论即可.
【详解】圆中存在互相垂直的半径，圆的面积为：
椭圆中存在互相垂直的长半轴和短半轴，则类比可得椭圆的面积为：
本题正确结果：
【点睛】本题考查类比推理的问题，属于基础题.
9.5名学生站成一排拍照片，其中甲乙两名学生不相邻的站法有_______种．（结果用数值表示）
【答案】72
【解析】
【分析】
首先对除甲乙外的三名同学全排列，再加甲乙插空排入，根据分步乘法计数原理可得到结果.
【详解】将除甲乙外的三名同学全排列，共有：种排法
甲、乙插空排入，共有：种排法
根据分步乘法计数原理可得排法共有：种排法
本题正确结果：
【点睛】本题考查排列问题中的不相邻问题的求解，关键是明确解决不相邻的问题可采用插空的方式来进行求解.
10.已知函数的一条对称轴为，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据对称轴为可得，结合的范围可求得结果.
【详解】为函数的对称轴
解得：
又
本题正确结果：
【点睛】本题考查根据三角函数性质求解解析式问题，关键是能够采用整体对应的方式来进行求解.
11.在的二项展开式中，常数项为________（结果用数值表示）
【答案】
【解析】
【分析】
利用二项展开式的通项公式Tr+1中x的幂指数为0即可求得答案．
【详解】 ，令＝0，得：r＝3，
所以常数项为：＝20,
故答案为20.
【点睛】本题考查二项式展开式中的特定项，利用其二项展开式的通项公式求得r＝3是关键，考查运算能力，属于中档题．
12.若函数且是偶函数，则函数的值域为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数为偶函数可构造方程求得，利用基本不等式可求得函数的最小值，从而得到函数值域.
【详解】由偶函数可得：
即，解得：
（当且仅当，即时取等号）
，即的值域为：
本题正确结果：
【点睛】本题考查函数值域的求解，关键是能够通过函数的奇偶性求得函数的解析式.
13.已知函数，则“”是“函数有且仅有一个极值点”的_______条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）
【答案】充分不必要
【解析】
【分析】
首先确定函数定义域和导函数的形式；当时，可得的单调性，从而可知为唯一的极值点，充分条件成立；若有且仅有一个极值点，可求得，必要条件不成立，从而可得结果.
【详解】由题意得：定义域为：
当时，
时，；时，
在上单调递减；在上单调递增
为唯一的极值点，故充分条件成立
若有且仅有一个极值点，则，此时，故必要条件不成立
综上所述：“”是“函数有且仅有一个极值点”的充分不必要条件
本题正确结果：充分不必要
【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定，涉及到利用导数研究函数的极值的问题，主要考查极值点与函数单调性之间的关系.
14.设分别为椭圆的右顶点和上顶点，已知椭圆过点，当线段长最小时椭圆的离心率为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
将代入椭圆方程可得，从而，利用基本不等式可知当时，线段长最小，利用椭圆的关系和可求得结果.
【详解】椭圆过得：
由椭圆方程可知：，
又（当且仅当，即时取等号）
当时，线段长最小

本题正确结果：
【点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是能够利用基本不等式求解和的最小值，根据等号成立条件可得到椭圆之间的关系，从而使问题得以求解.
15.若为正实数，则的最大值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
设恒成立，可知；将不等式整理为，从而可得，解不等式求得的取值范围，从而得到所求的最大值.
【详解】设恒成立，可知
则：恒成立
即：恒成立
，
解得： 的最大值为：
本题正确结果：
【点睛】本题考查最值的求解问题，关键是能够将所求式子转化为不等式恒成立的问题，从而构造出不等式求解出的取值范围，从而求得所求最值，属于较难题.
16.已知函数，的最大值为，则实数的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
求导后，若，则，可验证出不合题意；当时，求解出的单调性，分别在，，三种情况下通过最大值取得的点构造关于最值的方程，解方程求得结果.
【详解】由题意得：
当时，，则在上单调递增
，解得：，不合题意，舍去
当时，令，解得：，
可知在，上单调递减；在上单调递增
①当，即时，
解得：，不合题意，舍去
②当，即时，，解得：
③当，即时
解得：，不合题意，舍去
综上所述：
本题正确结果：
【点睛】本题考查根据函数的最值求解参数值的问题，关键是对于含有参数的函数，通过对极值点位置的讨论确定最值取得的点，从而可利用最值构造出方程，求解出参数的取值范围.
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.如图，在四棱锥中，已知底面为菱形，，，为对角线与的交点，底面且
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求平面与平面所成锐二面角余弦值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
根据底面为菱形得，利用线面垂直的性质可得，，从而以为坐标原点建立空间直角坐标系；（1）利用异面直线所成角的空间向量求法可求得结果；（2）分别得到两个平面的法向量，根据二面角的空间向量求法可求得结果.
【详解】底面为菱形
又底面，底面 ，
以为坐标原点可建立如图所示的空间直角坐标系
则，，，
（1）设为异面直线与所成的角，又，
异面直线与所成的角的余弦值为：
（2）平面 平面的法向量取
设平面的法向量为，又，
则，令，则，
设为两个平面所成的锐二面角的平面角，则：
平面与平面所成锐二面角的余弦值为：
【点睛】本题考查利用空间向量法求解角度问题，涉及到异面直线所成角、平面与平面所成角的求解问题，考查学生的运算和求解能力，属于常规题型.
18.设命题函数在是减函数；命题，都有成立．
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
分析】
（1）将问题转化为在上恒成立；分别在和求得范围，取交集得到结果；（2）由含逻辑连接词命题的真假性可知真假或假真，分别在两种情况下求得范围，取并集得到结果.
【详解】（1）当命题为真命题时，在上恒成立
当时，；当时，，则
综上所述：
即：若命题为真命题，则
（2）当命题为真命题时，等价于，即
由得： ，解得：
若为真命题，为假命题，则真假或假真
当真假时，；当假真时，
综上所述：
【点睛】本题考查根据命题的真假性求解参数范围的问题，涉及到函数单调性与导数的关系、恒成立问题的求解、含逻辑连接词的命题的真假性的性质应用等知识；解题关键是分别求出两个命题为真时参数的取值范围.
19.某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：一个袋子装有只形状和大小均相同的玻璃球，其中两只是红色，三只是绿色，顾客从袋子中一次摸出两只球，若两只球都是红色，则奖励元；共两只球都是绿色，则奖励元；若两只球颜色不同，则不奖励．
（1）求一名顾客在一次摸奖活动中获得元的概率；
（2）记为两名顾客参与该摸奖活动获得的奖励总数额，求随机变量的分布列和数学期望．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据古典概型概率计算公式可求得结果；（2）分别求出一名顾客摸球中奖元和不中奖的概率；确定所有可能的取值为：，，，，，分别计算每个取值对应的概率，从而得到分布列；利用数学期望计算公式求解期望即可.
【详解】（1）记一名顾客摸球中奖元为事件
从袋中摸出两只球共有：种取法；摸出的两只球均是红球共有：种取法
（2）记一名顾客摸球中奖元为事件，不中奖为事件
则：，
由题意可知，所有可能的取值为：，，，，
则；；
；；
随机变量的分布列为：
【点睛】本题考查古典概型概率问题求解、离散型随机变量的分布列和数学期望的求解，关键是能够根据通过积事件的概率公式求解出每个随机变量的取值所对应的概率，从而可得分布列.
20.设函数．
（1）若函数为奇函数，(0，)，求的值；
（2）若＝，＝，(0，)，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据函数为奇函数得，根据的范围即可求得结果；（2）利用已知函数值和可得：，利用同角三角函数可求得；利用二倍角公式求得和，将整理为，利用两角和差余弦公式求得结果.
【详解】（1）为奇函数
又
当时，是奇函数，满足题意

（2），
又
；
【点睛】本题考查根据奇偶性求解函数解析式、三角恒等变换和同角三角函数的求解，涉及到二倍角、两角和差余弦公式的应用，关键是能够通过配凑的方式，将所求函数值转化为两角和差的形式.
21.已知数列各项均为正数，满足．
（1）求，，的值；
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．
【答案】（1），，；（2）猜想：；证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）分别代入，根据，解方程可求得结果；（2）猜想，验证时成立；假设时成立，则时，利用假设可证得结论成立，从而证得结果.
【详解】（1）当时，，又
当时，，解得：
当时，，解得：
(2)猜想：
证明：（1）当时，由（1）可知结论成立；
（2）假设当时，结论成立，即成立，
则当时，
由与得：
又 成立
根据（1）、（2）猜想成立，即：
【点睛】本题考查数列中的项的求解、利用数学归纳法证明问题.利用数学归纳法证明时，要注意在证明时结论成立时，必须要用到时假设成立的结论，属于常规题型.
22.设，．
（1）证明：对任意实数，函数都不是奇函数；
（2）当时，求函数的单调递增区间．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用反证法验证即可证得结论；（2）根据函数解析式求得和，根据可得在上单调递增；根据可求得的解集，从而得到所求单调递增区间.
【详解】（1）假设函数为奇函数且定义域为，则
这与矛盾
对任意实数，函数不可能是奇函数
（2）当时，，则；
在上单调递增
又，则当时，
的单调递增区间为：
【点睛】本题考查利用反证法证明、函数单调区间的求解，涉及到函数奇偶性的应用、导数与函数单调性之间的关系，属于常规题型.
23.如图，一条小河岸边有相距的两个村庄（村庄视为岸边上两点），在小河另一侧有一集镇（集镇视为点），到岸边的距离为，河宽为，通过测量可知，与的正切值之比为．当地政府为方便村民出行，拟在小河上建一座桥（分别为两岸上的点，且垂直河岸，在的左侧），建桥要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已知两村的人口数分别是人、人，假设一年中每人去集镇的次数均为次．设．（小河河岸视为两条平行直线）
（1）记为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用表示；
（2）试确定的余弦值，使得最小，从而符合建桥要求．
【答案】（1），；（2）当时，符合建桥要求.
【解析】
【分析】
（1）利用正切值之比可求得，；根据可表示出和，代入整理可得结果；（2）根据（1）的结论可得，利用导数可求得时，取得最小值，得到结论.
【详解】（1）与的正切值之比为
则，
，
，
，
（2）由（1）知：，
，
令，解得：
令，且
当时，，；当时，，
函数在上单调递减；在上单调递增；
时，函数取最小值，即当时，符合建桥要求
【点睛】本题考查函数解析式和最值的求解问题，关键是能够通过根据题意建立起所求函数和变量之间的关系，利用导数来研究函数的最值.
24.如图，已知椭圆与椭圆的离心率相同．
（1）求的值；
（2）过椭圆的左顶点作直线，交椭圆于另一点，交椭圆于两点（点在之间）．①求面积的最大值（为坐标原点）；②设的中点为，椭圆的右顶点为，直线与直线的交点为，试探究点是否在某一条定直线上运动，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①；②点在定直线上
【解析】
【分析】
（1）利用两个椭圆离心率相同可构造出方程，解方程求得结果；（2）①当与轴重合时，可知不符合题意，则可设直线的方程：且；设，，联立直线与椭圆方程可求得，则可将所求面积表示为：，利用换元的方式将问题转化为二次函数的最值的求解，从而求得所求的最大值；②利用中点坐标公式求得，则可得直线的方程；联立直线与椭圆方程，从而可求解出点坐标，进而得到直线方程，与直线联立解得坐标，从而可得定直线.
【详解】(1) 由椭圆方程知：，
离心率：
又椭圆中，，
，又，解得：
（2）①当直线与轴重合时，三点共线，不符合题意
故设直线的方程为：且
设，
由（1）知椭圆的方程为：
联立方程消去得：
即：
解得：，，
又
令
，此时
面积最大值为：
②由①知：
直线的斜率：
则直线的方程为：
联立方程消去得：，解得：

则直线的方程为：
联立直线和的方程，解得：
点在定直线上运动
【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、椭圆中的三角形面积最值的求解、椭圆中的定直线问题；解决定直线问题的关键是能够通过已知条件求得所求点坐标中的定值，从而确定定直线；本题计算量较大，对于学生的运算与求解能力有较高的要求.
25.已知函数，
（1）当，时，求函数在上的最小值；
（2）若函数在与处的切线互相垂直，求的取值范围；
（3）设，若函数有两个极值点，，且，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）或；（3）
【解析】
【分析】
（1）求导后可得函数的单调性，从而得到；（2）利用切线互相垂直可知，展开整理后可知关于的方程有解，利用可得关于的不等式，解不等式求得结果；（3）根据极值点的定义可得：，，从而得到且，进而得到，令，利用导数可证得，从而得到所求范围.
【详解】（1）当，时，，
则
当时，；当时，
在上单调递减；在上单调递增
（2）由解析式得：
，
函数在与处的切线互相垂直
即：
展开整理得：
则该关于的方程有解
整理得：，解得：或
（3）当时，
是方程的两根 ，
且， ，
令，则
在上单调递增
即：
【点睛】本题考查导数在研究函数中的作用，涉及到函数最值的求解、导数几何意义的应用、导数与极值之间的关系；本题的难点在于根据极值点的定义将转化为关于的函数，从而通过构造函数的方式求得函数的最值，进而得到取值范围.