一、集合
1．集合的含义与表示
(1)集合元素的特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系：属于(∈)，不属于(/)．
(3)自然数集：N；正整数集：N*或N＋；整数集：Z；有理数集：Q；实数集：R.
(4)集合的表示方法：列举法、描述法和区间．
2．集合的基本关系
集合与集合：包含关系（子集），或(A包含于B，B含于A，A>B）
/
(2)子集个数结论：
①含有n个元素的集合有2n个子集；
②含有n个元素的集合有2n－1个真子集；
③含有n个元素的集合有2n－2个非空真子集．
3．集合间的三种运算
(1)并集：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
(2)交集：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
(3)补集：?UA＝{x|x∈U且x/A}．
4．集合的运算性质
(1)并集的性质：A?B?A∪B＝B.
(2)交集的性质：A?B?A∩B＝A.
(3)补集的相关性质：A∪(?UA)＝U，A∩(?UA)＝?.?U(?UA)＝A.
[体系构建]
/
5.子集：
（1）任何一个集合都是它自身的子集，即．
（2）规定：空集是任何集合的子集，即．
（3）如果，同时，那么集合的元素都属于集合A，同时集合A的元素都属于集合，因此集合A与集合的元素完全相同，由集合相等的定义知
（4）如果集合，但存在元素，我们称集合A是集合B的真子集，记作?B。
（5）如果，同时，则 。
（6）空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集.
例1：已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m为( )
A．2 B．3 C．0或3 D．0,2,3均可
例2：已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，若A?B且B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．
变式1.把本例条件“A?B”改为“A＝B”，求实数m的取值范围．
变式2．把本例条件“A?B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}”改为“B?A，B＝{m＋1≤x≤2m－1}”，求实数m的取值范围．
例3：设U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2
(1)分别求A∩B，A∪(?UB)．
(2)若B∩C＝C，求a的取值范围.
一、选择题
1．（2019春?桥东区期中）已知集合M＝{x|－3A．{－2，－1,0,1} B．{－3，－2，－1,0} C．{－2，－1,0} D．{－3，－2，－1}
2．（2019春?牡丹江期末）设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5}，全集U＝A∪B，则集合?U(A∩B)的元素个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知集合/，/，若/，则实数/的值为（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
4．下列命题中正确的是（ ）
A．任何一个集合必有两个以上的子集 B．空集是任何集合的子集
C．空集没有子集 D．空集是任何集合的真子集
5．集合/中的/不能取的值的个数是（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
6．下列集合中，是空集的是（ ）
A．/ B．/
C．/ D．/
7．下列各组集合中表示同一集合的是（ ）
A．/，/ B．/，/
C．/，/ D．/，/
8．已知集合/，/．若/，
则实数/的取值范围为（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
9．（2019春?齐齐哈尔期中）函数f(x)＝＋的定义域是( )
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1] C．[－1,1)∪(1，＋∞) D．R
10．（2019春?池州期末）下列各组函数相等的是( )
A．y＝x－1和y＝ B．y＝x0和y＝1(x∈R)
C．y＝x2和y＝(x＋1)2 D．f(x)＝和g(x)＝
11．（2019春?安徽期末）若函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上为减函数，则a的取值范围为( )
A．0
12．（2019春?昆明模拟）若f(x)满足f(－x)＝f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )
A．fC．f(2)13．（2019春?云南模拟）设函数f(x)＝则f(f(3))＝( )
A. B．5 C. D.
二、填空题
1．（2018?重庆期中）若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为________．
2．设全集/是实数集/，/，/，
则图中阴影部分所表示的集合是 ．
/
三、解答题
1．（2018秋?宁德期中）(本小题满分10分)全集U＝R，若集合A＝{x|3≤x<8}，B＝{x|2(1)求A∩B，A∪B，(?UA)∩(?UB)；
(2)若集合C＝{x|x>a}，A?C，求a的取值范围．
2．已知集合A＝{x|4≤x<8}，B＝{x|5a}．
(1)求A∪B，(?RA)∩B；
(2)若A∩C≠?，求a的取值范围．
3．（2019春?潮阳区期中）(本小题满分12分)设A＝{x|2x2＋ax＋2＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2a＝0}，且A∩B＝{2}．
(1)求a的值及集合A，B；
(2)设全集U＝A∪B，求(?UA)∪(?UB)；
(3)写出(?UA)∪(?UB)的所有子集．
4．（2018秋?金牛区月考）(本小题满分12分)已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)作出函数f(x)的图象(不用列表)，并指出它的增区间.
5．（2019春?宁波期中）(本小题满分12分)设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围.
一、集合
1．集合的含义与表示
(1)集合元素的特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系：属于(∈)，不属于(/)．
(3)自然数集：N；正整数集：N*或N＋；整数集：Z；有理数集：Q；实数集：R.
(4)集合的表示方法：列举法、描述法和区间．
2．集合的基本关系
集合与集合：包含关系（子集），或(A包含于B，B含于A，A>B）
/
(2)子集个数结论：
①含有n个元素的集合有2n个子集；
②含有n个元素的集合有2n－1个真子集；
③含有n个元素的集合有2n－2个非空真子集．
3．集合间的三种运算
(1)并集：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
(2)交集：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
(3)补集：?UA＝{x|x∈U且x/A}．
4．集合的运算性质
(1)并集的性质：A?B?A∪B＝B.
(2)交集的性质：A?B?A∩B＝A.
(3)补集的相关性质：A∪(?UA)＝U，A∩(?UA)＝?.?U(?UA)＝A.
[体系构建]
/
5.子集：
（1）任何一个集合都是它自身的子集，即．
（2）规定：空集是任何集合的子集，即．
（3）如果，同时，那么集合的元素都属于集合A，同时集合A的元素都属于集合，因此集合A与集合的元素完全相同，由集合相等的定义知
（4）如果集合，但存在元素，我们称集合A是集合B的真子集，记作?B。
（5）如果，同时，则 。
（6）空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集.
例1：已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m为( B )
A．2 B．3 C．0或3 D．0,2,3均可
答案：B由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．]
例2：已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，若A?B，且B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．
【答案】若A?B，则由题意可知解得3≤m≤4.即m的取值范围是{m|3≤m≤4}．
变式1.把本例条件“A?B”改为“A＝B”，求实数m的取值范围．
【答案】由A＝B可知无解，即不存在m使得A＝B.
变式2．把本例条件“A?B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}”改为“B?A，B＝{m＋1≤x≤2m－1}”，求实数m的取值范围．
【答案】 ①若B＝?，则m＋1>2m－1，即m<2，此时满足B?A.
②若B≠?，则解得2≤m≤3.由①②得，m的取值范围是{m|m≤3}．
例3：设U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2(1)分别求A∩B，A∪(?UB)．
(2)若B∩C＝C，求a的取值范围.
【答案】 (1)因为A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2(2)因为B∩C＝C，所以C?B，因为B＝{x|2
一、选择题
1．（2019春?桥东区期中）已知集合M＝{x|－3A．{－2，－1,0,1} B．{－3，－2，－1,0} C．{－2，－1,0} D．{－3，－2，－1}
【答案】C [M∩N＝{－2，－1,0}，故选C.]
2．（2019春?牡丹江期末）设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5}，全集U＝A∪B，则集合?U(A∩B)的元素个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C [∵A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5}，∴A∪B＝{1,2,3,4,5}，A∩B＝{3,4}，
∴?U(A∩B)＝{1,2,5}，故?U(A∩B)共有3个元素．]
3．已知集合/，/，若/，则实数/的值为（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
【答案】B【解析】∵集合/，/，且/，
∴/，因此/．
4．下列命题中正确的是（ ）
A．任何一个集合必有两个以上的子集 B．空集是任何集合的子集
C．空集没有子集 D．空集是任何集合的真子集
【答案】B【解析】空集只有一个子集，故A错；B正确；
空集是本身的子集，故C错；空集不能是空集的真子集，故D错．
5．集合/中的/不能取的值的个数是（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
【答案】B【解析】由题意可知/，且/且/，
故集合/中的/不能取的值的个数是/个．
6．下列集合中，是空集的是（ ）
A．/ B．/
C．/ D．/
【答案】B【解析】对于A选项，/，不是空集，
对于B选项，/没有实数根，故为空集，对于C选项，显然不是空集，
对于D选项，集合为/，故不是空集．
7．下列各组集合中表示同一集合的是（ ）
A．/，/ B．/，/
C．/，/ D．/，/
【答案】B【解析】对于A，/，/表示点集，/，/表示数集，故不是同一集合；对于B，/，/，根据集合的无序性，集合/表示同一集合；对于C，集合/的元素是数，集合/的元素是等式；
对于D，/，集合/的元素是点/，/，
集合/的元素是点/，集合/不表示同一集合．
8．已知集合/，/．若/，
则实数/的取值范围为（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
【答案】D【解析】/，当/为空集时，/；
当/不为空集时，/，综上所述得/．
9．（2019春?齐齐哈尔期中）函数f(x)＝＋的定义域是( )
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1] C．[－1,1)∪(1，＋∞) D．R
【答案】C [由得x≥－1且x≠1，即定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)．]
10．（2019春?池州期末）下列各组函数相等的是( )
A．y＝x－1和y＝ B．y＝x0和y＝1(x∈R)
C．y＝x2和y＝(x＋1)2 D．f(x)＝和g(x)＝
【答案】D [A，B选项中，两个函数的定义域不相同，故A，B错误；C选项的对应关系不同，故C错误；D选项的两个函数定义域、对应关系都相同，故选D项．]
11．（2019春?安徽期末）若函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上为减函数，则a的取值范围为( )
A．0
【答案】B [当a≠0时，函数f(x)的对称轴为x＝－，
∵f(x)在(－∞，4]上为减函数，∴图象开口朝上，a>0且－≥4，得0当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，显然在(－∞，4]上为减函数．]
12．（2019春?昆明模拟）若f(x)满足f(－x)＝f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )
A．f【答案】D [由已知可得函数f(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，f＝f，f(－1)＝f(1)．∵1<<2，∴f(1)>f>f(2)，即f(2)13．（2019春?云南模拟）设函数f(x)＝则f(f(3))＝( )
A. B．5 C. D.
【答案】D [f(3)＝，f(f(3))＝2＋1＝.]
二、填空题
1．（2018?重庆期中）若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为________．
【答案】{4,9,16} [由A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，得B＝{4,9,16}．]
2．设全集/是实数集/，/，/，
则图中阴影部分所表示的集合是 ．
/
【答案】/【解析】由/图可知，阴影部分为/，
∵/，∴/，∴/．
三、解答题
1．（2018秋?宁德期中）(本小题满分10分)全集U＝R，若集合A＝{x|3≤x<8}，B＝{x|2(1)求A∩B，A∪B，(?UA)∩(?UB)；
(2)若集合C＝{x|x>a}，A?C，求a的取值范围．
【答案】 (1)∵A＝{x|3≤x<8}，B＝{x|2∴A∩B＝[3,6]，A∪B＝(2,8)，(?UA)∩(?UB)＝(－∞，2)∪[8，＋∞)．
(2)∵A＝{x|3≤x<8}，C＝{x|x>a}．又A?C，如图，
/ ∴a的取值范围为{a|a<3}．
2．已知集合A＝{x|4≤x<8}，B＝{x|5a}．
(1)求A∪B，(?RA)∩B；
(2)若A∩C≠?，求a的取值范围．
【答案】(1)∵A＝{x|4≤x<8}，B＝{x|5又?RA＝{x|x<4或x≥8}，∴(?RA)∩B＝{x|8≤x<10}．
(2)如图
/ 要使A∩C≠?，则a<8.
3．（2019春?潮阳区期中）(本小题满分12分)设A＝{x|2x2＋ax＋2＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2a＝0}，且A∩B＝{2}．
(1)求a的值及集合A，B；
(2)设全集U＝A∪B，求(?UA)∪(?UB)；
(3)写出(?UA)∪(?UB)的所有子集．
【答案】(1)由交集的概念易得2是方程2x2＋ax＋2＝0与x2＋3x＋2a＝0的公共解，则a＝－5，此时A＝，B＝{－5,2}．
(2)由并集的概念易得U＝A∪B＝.
由补集的概念易得?UA＝{－5}，?UB＝，
所以(?UA)∪(?UB)＝.
(3)(?UA)∪(?UB)的所有子集即为集合的所有子集：?，，{－5}，.
4．（2018秋?金牛区月考）(本小题满分12分)已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)作出函数f(x)的图象(不用列表)，并指出它的增区间.
【答案】 (1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1.
又因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＋1.
当x＝0时，由f(0)＝－f(0)，得f(0)＝0，所以f(x)＝
(2)作出函数图象，如图所示．
/由函数图象易得函数的增区间为，.
5．（2019春?宁波期中）(本小题满分12分)设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围.
【答案】由f(m)＋f(m－1)>0，得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)又∵f(x)在[0,2]上为减函数，且f(x)在[－2,2]上为奇函数，
∴f(x)在[－2,2]上为减函数，
∴即
解得－1≤m<，
因此实数m的取值范围是.
