1．函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
2．函数的表示方法“解析法、列表法、图象法．
3．函数的单调性
①奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．
②在公共区域上：增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数，增函数－减函数＝增函数，减函数－增函数＝减函数．
4．函数的奇偶性
(1)奇偶函数的定义域关于原点对称．
(2)奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数的图象关于y轴成轴对称．
(3)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么它们在公共定义域上，满足：
奇函数＋奇函数＝奇函数，奇函数×奇函数＝偶函数，偶函数＋偶函数＝偶函数，奇函数×偶函数＝奇函数．
例1：(1)求函数y＝＋－的定义域．
(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．
【答案】(1)解不等式组得故函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}．
(2)设矩形的一边长为x，则另一边长为(a－2x)，
所以y＝x·(a－2x)＝－x2＋ax，定义域为.
例2：函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝＋1，则f(x)的解析式为________．
【解析】设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝＋1.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即－f(x)＝＋1，∴f(x)＝－－1.∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，
∴f(x)＝
技巧：求函数解析式的题型与相应的解法
(1(已知形如f(g(x((的解析式求f(x(的解析式，使用换元法或配凑法.
(2(已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数(，使用待定系数法.
(3(含f(x(与f(－x(或f(x(与，使用解方程组法.
(4(已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法.
例3：判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1＜a＜3)在[1,2]上的单调性.
解 函数f(x)＝ax2＋(1
证明：设1≤x1＜x2≤2，则f(x2)－f(x1)＝ax＋－ax－＝(x2－x1)，
由1≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0,2＜x1＋x2＜4，
1＜x1x2＜4，－1＜－＜－.
又因为1＜a＜3，所以2＜a(x1＋x2)＜12，得a(x1＋x2)－＞0，
从而f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增.
选择题
1．函数f(x)＝＋(3x－1)0的定义域是( )
A. B. C. D.∪
【答案】D [由得x<1且x≠，故选D.]
2.(2018·嘉兴一中月考)下列四组函数中，表示同一函数的一组是( )
A.f(x)＝lg x2，g(x)＝2lg x B.f(x)＝·，g(x)＝
C.f(x)＝x0，g(x)＝1 D.f(x)＝2－x，g(t)＝t
答案 D解析 A，B，C中函数的定义域不同，故选D.
3．（2019春?汕尾期）设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2－x，则f(1)＝( )
A．－ B．－ C. D．
【答案】A [因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(1)＝－f(－1)＝－.]
4．（2019春?杨浦区校级月考）下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A．y＝x－2 B．y＝x－1 C．y＝x2 D．y＝x
【答案】A [由函数是偶函数可排除选项B，D，又函数在(0，＋∞)上单调递减，所以排除C，故选A.]
5.(2018届台州路桥中学检测)如果函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a的取值范围是( )
A.a≤－3 B.a≥－3 C.a≤5 D.a≥5
答案 A由题意得，函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的对称轴为x＝1－a，所以二次函数的单调递减区间为(－∞，1－a]，又函数在区间(－∞，4]上单调递减，所以1－a≥4，所以a≤－3.
6.若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 D解析 要使函数的定义域为R，则mx2＋4mx＋3≠0恒成立，
①当m＝0时，显然满足条件；
②当m≠0时，由Δ＝(4m)2－4m×3＜0，得0＜m＜，由①②得0≤m＜.
7．（2019春?浙江模拟）函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列命题：
①f(0)＝0；②若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1；
③若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数；
④若x>0时，f(x)＝x2－2x，则x<0时，f(x)＝－x2－2x.其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C f(x)在R上的奇函数，则f(0)＝0，①正确；其图象关于原点对称，且在对称区间上具有相同的单调性，最值相反且互为相反数，所以②正确，③不正确；对于④，x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x，即④正确．
8.设函数f(x)＝若f(f(a))≤3，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－] B.[－，＋∞) C.[－，] D.(－∞，]
答案 D解析 令f(a)＝t，则f(t)≤3等价于或解得t≥－3，
则f(a)≥－3等价于或
解得a≤，则实数a的取值范围是(－∞，]，故选D.
二、填空题
1.已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为________.
答案 [3，＋∞)
解析 设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.
所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞).
因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增.所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞).
2．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f(x)，在(0，＋∞)上为增函数，当x>0时，f(x)的图象如图所示，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集是______．
【答案】(0,3)∪(－3,0) [因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，故x[f(x)－f(－x)]＝x[f(x)－(－f(x))]＝2xf(x)<0，由题图知，当x>0时，若03，则f(x)>0.
又因为f(x)为奇函数，所以当x<－3时，f(x)<0，当－30.而不等式2xf(x)<0可化为或故不等式的解集为(0,3)∪(－3,0)．
3.（2017·杭州模拟)若函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是________.
答案 [0,4]解析 当m＝0时，f(x)的定义域为一切实数；当m≠0时，由
得0三、解答题
1.函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值.
解 f(x)＝42－2a＋2，
①当≤0，即a≤0时，函数f(x)在[0,2]上是增函数.∴f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2.
由a2－2a＋2＝3，得a＝1±.∵a≤0，∴a＝1－.
②当0<<2，即0③当≥2，即a≥4时，函数f(x)在[0,2]上是减函数，f(x)min＝f(2)＝a2－10a＋18.
由a2－10a＋18＝3，得a＝5±.∵a≥4，∴a＝5＋.
综上所述，a＝1－或a＝5＋.
2.已知函数f(x)＝是奇函数.
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.
解 (1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x).
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知
所以1故实数a的取值范围是(1,3].
3.设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.
(1)判定f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的表达式.
解 (1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x).
又f(x＋2)＝f(x)，
∴f(－x)＝f(x).
又f(x)的定义域为R，
∴f(x)是偶函数.
(2)当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，
则f(x)＝f(－x)＝x；
从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，
f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
故f(x)＝
1．函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
2．函数的表示方法“解析法、列表法、图象法．
3．函数的单调性
①奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．
②在公共区域上：增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数，增函数－减函数＝增函数，减函数－增函数＝减函数．
4．函数的奇偶性
(1)奇偶函数的定义域关于原点对称．
(2)奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数的图象关于y轴成轴对称．
(3)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么它们在公共定义域上，满足：
奇函数＋奇函数＝奇函数，奇函数×奇函数＝偶函数，偶函数＋偶函数＝偶函数，奇函数×偶函数＝奇函数．
例1：(1)求函数y＝＋－的定义域．
(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．
例2：函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝＋1，则f(x)的解析式为________．
例3：判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1＜a＜3)在[1,2]上的单调性.
选择题
1．函数f(x)＝＋(3x－1)0的定义域是( )
A. B. C. D.∪
2.(2018·嘉兴一中月考)下列四组函数中，表示同一函数的一组是( )
A.f(x)＝lg x2，g(x)＝2lg x B.f(x)＝·，g(x)＝
C.f(x)＝x0，g(x)＝1 D.f(x)＝2－x，g(t)＝t
3．（2019春?汕尾期）设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2－x，则f(1)＝( )
A．－ B．－ C. D．
4．（2019春?杨浦区校级月考）下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A．y＝x－2 B．y＝x－1 C．y＝x2 D．y＝x
5.(2018届台州路桥中学检测)如果函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a的取值范围是( )
A.a≤－3 B.a≥－3 C.a≤5 D.a≥5
6.若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
7．（2019春?浙江模拟）函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列命题：
①f(0)＝0；②若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1；
③若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数；
④若x>0时，f(x)＝x2－2x，则x<0时，f(x)＝－x2－2x.其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8.设函数f(x)＝若f(f(a))≤3，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－] B.[－，＋∞) C.[－，] D.(－∞，]
二、填空题
1.已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为________.
2．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f(x)，在(0，＋∞)上为增函数，当x>0时，f(x)的图象如图所示，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集是______．
3.（2017·杭州模拟)若函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是________.
三、解答题
1.函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值.
2.已知函数f(x)＝是奇函数.
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.
3.设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.
(1)判定f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的表达式.
