1.3.2 函数的奇偶性 限时训练一（含答案）

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函数奇偶性限时训练一
（完成时间：60分钟）
1．函数f（x）=﹣x的图象关于（　　）
A．坐标原点对称 B．x轴对称 C．y轴对称 D．直线y=x对称
2．函数f（x）=x5+x3+x的图象（　　）
A．关于y轴对称 B．关于直线y=x对称C．关于坐标原点对称 D．关于直线y=﹣x对称
3．已知f（x）=ax2+bx是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是（　　）
A． B． C． D．
4．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）为增函数，且f（3）=0那么不等式xf（x）＜0的解集是（　　）
A．（﹣3，﹣1）∪（1，3） B．（﹣3，0）∪（3，+∞）
C．（﹣3，0）∪（0，3） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
5．函数f（x）=ax2+bx﹣2是定义在[1+a，2]上的偶函数，则f（x）在区间[1，2]上是（　　）
A．增函数 B．减函数 C．先增后减函数 D．先减后增函数
6．已知奇函数y=f（x）在（﹣∞，0）为减函数，且f（2）=0，则不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集为（　　）
A．{x|﹣3＜x＜﹣1} B．{x|﹣3＜x＜1或x＞2}
C．{x|﹣3＜x＜0或x＞3} D．{x|﹣1＜x＜1或1＜x＜3}
7．已知函数y=f（x）满足：①y=f（x+1）是偶函数；②在[1，+∞）上为增函数．若x1＜0，x2＞0，且x1+x2＜﹣2，则f（﹣x1）与f（﹣x2）的大小关系是（　　）
A．f（﹣x1）＞f（﹣x2） B．f（﹣x1）＜f（﹣x2）
C．f（﹣x1）=f（﹣x2） D．f（﹣x1）与f（﹣x2）的大小关系不能确定
8．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足的x取值范围是（　　）
A．（2，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．[﹣2，﹣1）∪（2，+∞） D．（﹣1，2）
9．（李）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（　　）
A．﹣50 B．0 C．2 D．50
10．已知函数f（x）=﹣x|x|+2x，则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）
B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，﹣1）
C．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，﹣1）
D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣1，1）
11．已知函数f（x）=（x﹣1）（ax+b）为偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则f（x）＜0的解集为（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C．（﹣1，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
12．若函数g（x）=xf（x）是定义在R上的奇函数，在（﹣∞，0）上是减函数，且g（2）=0，则使得f（x）＜0的x的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，2）　
13．y=f（x）为奇函数，当x＞0时f（x）=x（1﹣x），则当x＜0时，f（x）=　 　．
14．已知f（x）=ax﹣+2（a，b∈R），且f（5）=5，则f（﹣5）=　 　．
　
三．解答题（共3小题）
15．已知定义在[﹣3，3]上的函数y=f（x）是增函数．
（1）若f（m+1）＞f（2m﹣1），求m的取值范围；
（2）若函数f（x）是奇函数，且f（2）=1，解不等式f（x+1）+1＞0．





16．已知函数是R上的偶函数．
（1）求实数m的值；
（2）判断并证明函数y=f（x）在（﹣∞，0]上单调性；
（3）求函数y=f（x）在[﹣3，2]上的最大值与最小值．





17．已知函数f（x）=2x+b，g（x）=x2+bx+c，其中b、c∈R，设．
（1）如果h（x）为奇函数，求实数b、c满足的条件；
（2）在（1）的条件下，若函数h（x）在区间[2，+∞）上为增函数，求c的取值范围；


　奇偶性限训一 答案
1． A． 2． C． 3． B．　
4．解：∵f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，f（3）=0，
∴f（3）=﹣f（﹣3）=0，在（﹣∞，0）内是增函数
∴x f（x）＜0则 或 根据在（﹣∞，0）和（0，+∞）内是都是增函数解得：x∈（﹣3，0）∪（0，3）故选：C．
　5． B．
　6．解：由题意画出f（x）的草图如下，
因为（x﹣1）f（x﹣1）＞0，所以（x﹣1）与f（x﹣1）同号，由图象可得﹣2＜x﹣1＜0或0＜x﹣1＜2，解得﹣1＜x＜1或1＜x＜3，故选：D．
7．解：由y=f（x+1）是偶函数且把y=f（x+1）的图象向右平移1个单位可得函数y=f（x）得图象
所以函数y=f（x）得图象关于x=1对称，即f（2+x）=f（﹣x）因为x1＜0，x2＞0，且x1+x2＜﹣2所以2＜2+x2＜﹣x1
因为函数在[1，+∞）上为增函数所以f（2+x2）＜f（﹣x1）即f（﹣x2）＜f（﹣x1）故选：A．　
8．解；∵函数f（x）是偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=f（|x|）∴f（）＜f（|x|）∵函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，∴＜|x|，解得：x∈[﹣2，﹣1）∪（2，+∞）故选：C．
9．解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），
∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，
则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）=2，
∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（4）=f（0）=0，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，
则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，
故选：C．
10．解：由题意可得函数定义域为R，
∵函数f（x）=﹣x|x|+2x，
∴f（﹣x）=x|﹣x|﹣2x=﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，
当x≥0时，f（x）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，
由二次函数可知，函数在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减；
由奇函数的性质可得函数在（﹣1，0）单调递增，在（﹣∞，﹣1）单调递减；
综合可得函数的递增区间为（﹣1，1）
故选：D．
11．解：∵f（x）=（x﹣1）（ax+b）=ax2+（b﹣a）x﹣b为偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
则ax2﹣（b﹣a）x﹣b=ax2+（b﹣a）x﹣b，
即﹣（b﹣a）=b﹣a，得b﹣a=0，得b=a，
则f（x）=ax2﹣a=a（x2﹣1），
若f（x）在（0，+∞）单调递减，则a＜0，
由f（x）＜0得a（x2﹣1）＜0，即x2﹣1＞0，
得x＞1或x＜﹣1，即不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选：B．　
12．解：当x＜0时，f（x）＜0，即要求g（x）＞0，则x＜﹣2，又∵g（x）为奇函数关于点（0，0）对称．
∴f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），
故选：C．
13．解：∵f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x（1﹣x），∴当x＜0时，﹣x＞0，
f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣x（1+x））=x（1+x），
即x＜0时，f（x）=x（1+x），
故答案为：x2+x．
　14．解：令g（x）=f（x）﹣2=，
则g（x）是一个奇函数∵f（5）=5，∴g（5）=3，∴g（﹣5）=﹣3，∴f（﹣5）=﹣1故答案为：﹣1
　15．解：由题意可得，，求得﹣1≤m＜2，即m的范围是[﹣1，2）．
（2）∵函数f（x）是奇函数，且f（2）=1，∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣1，∵f（x+1）+1＞0，∴f（x+1）＞﹣1，
∴f（x+1）＞f（﹣2），∴，∴﹣3＜x≤2．
∴不等式的解集为{x|﹣3＜x≤2}．　
16．解：（1）若函数是R上的偶函数，则f（﹣x）=f（x），
即，对任意实数x恒成立，解得m=0．
（2）由（1）得：，
函数y=f（x）在（﹣∞，0]上为增函数，下证明：
设任意x1，x2∈（﹣∞，0]且x1＜x2，即△x=x2﹣x1＞0
则=
∵x1，x2∈（﹣∞，0]且△x=x2﹣x1＞0，
∴，即△y＞0，
于是函数y=f（x）在（﹣∞，0]上为增函数．
（3）由（2）知，函数y=f（x）在（﹣∞，0]上为增函数，
又f（x）是偶函数，则y=f（x）在[0，+∞）上为减函数，
又，f（0）=1，，
所以f（x）的最大值为1，最小值为．
17解：（1），设的定义域为D，
∵h（x）为奇函数，∴对于任意x∈D，h（﹣x）=﹣h（x）成立．即：化简得：bx2﹣bc=0
因对于任意x∈D都成立，
∴，即b=0，c∈R
（2）由（1）知b=0，∴
∵h（x）在[2，+∞）上为增函数，
∴任取2≤x1＜x2时，恒成立．
即任取2≤x1＜x2时，1﹣＞0成立，
也就是c＜x1x2成立．
∴c≤4，即c的取值范围是（﹣∞，4]．
（3）因为任意的x∈R恒有f（x）≤g（x）成立，
所以对任意的x∈R，2x+b≤x2+bx+c，
即x2+（b﹣2）x+c﹣b≥0恒成立．
所以判别式△=（b﹣2）2﹣4（c﹣b）≤0，
从而c≥，∴c≥1，且c=|b|，
因此 c（c﹣1）≥0且2c﹣b=c+（c﹣b）＞0．
故当x≥0时，有（x+c）2﹣g（x）=（2c﹣b）x+c（c﹣1）≥0．
即当x≥0时，g（x）≤（x+c）2成立．







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