人教新课标A版 必修5 第二章 数列 数列通项及求和

数列求和
【数列求和的常用方法】

1、由递推式求通项的方法：
(1) an＋1－an＝f(n)型，采用累加法； (2)＝f(n)型，采用累乘法；
（2）与的关系：已知，则
2、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
等差数列求和公式：

等比数列求和公式：

3、错位相减法求和
这种方法主要用于求数列的前项和，其中、分别是等差数列和等比数列.
4、倒序相加法求和
将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到个.
5、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
6、裂项法求和
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1） （2）＝－；
（3）＝； （4）＝－.


【典例剖析】
题型一 消法求通项
例1 若数列的前项和，则的通项公式是＝________.







课堂练习1：若，求=







题型二 累加法求通项
例2设数列满足
(1)求数列的通项公式；(2)令n，求数列{bn}的前项和.











课堂练习2：已知数列满足，则的最小值为 (　　)
A．9.5 B．10.6 C．10.5 D．9.6







题型三 累乘法求通项
例3在数列中，，前项和.则的通项公式为________.
.










课堂练习3：数列满足，，则数列的通项公式 = .










当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现＝f(n)时，用累乘法求解.

题型四 待定系数法求通项
例4（1）数列中，，则它的一个通项公式为＝________.











（2）已知数列中，．求数列的通项公式．







课堂小结：递推关系形如“an＋1＝p·an＋An＋B”等价转化为an＋1＋A(n＋1)＋B＝(an＋An＋B)，利用待定系数法求出A，B后，进而转化为等比数列．
课堂练习4：已知数列中，，则数列的通项公式为____________.






题型一 公式法求和
如果一个数列是等差或者等比数列，求其前项和可直接利用等差数列或等比数列的前项和公式求和
例1、（2015?四川）设数列的前项和满足，且成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记数列的前项和为，求使得成立的的最小值．











2.设数列满足:,,.
(Ⅰ)求的通项公式及前项和;
(Ⅱ)已知是等差数列,为前项和,且,,求.






3.若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数．
（Ⅰ）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前项积为，即，求；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记，求数列的前项和，并求使的的最小值．













4.（成都经开区实验中学2015级高考模拟考试试题（一））公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米．当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为( )
A． B．
C． D．
5.已知等差数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列求数的前项和.













6.已知数列的前项和，则数列的前10项和为（　　）
A．410﹣1 B． C． D.





二、倒序相加法
如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可以采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和.例如等差数列前项和公式的推导。
例.求和
　　





课堂练习：求和：.







题型三 分组求和
把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和。
1.求和：





求和:





3.求和:





求和:.
　　




5．已知数列中，求前项和
　　









题型四 错位相减求和
如果一个数列的通项是由一个非常数列的等差数列与等比数列的对应项乘积组成的，求和的时候可以采用错位相减法.即错位相减法适用于通项为（其中是公差d≠0的等差数列，是公的等比数列）（也称为“差比数列”）的数列求前项和.
一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用错位相减法
(2)用乘公比错位相减法求和时，应注意
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
②在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式．

例.（2016?山东）已知数列的前项和是等差数列，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前项和T．



















1、等差数列中，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求的值．











2.求数列的前项和






3.求和:
　　










4.设等差数列的前项和为,且,
(Ⅰ)求数列的通项公式。
(Ⅱ)设数列满足 ,求的前项和。


















5.设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）当时，记，求数列的前项和．





6.
（I）
（Ⅱ）


































题型五 裂项相消求和
把数列的通项拆成两项之差，然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两项的差，以达到在求和的时候隔项正负相抵消的目的，使前n项的和变成只剩下若干少数项的和的方法.
①形如型
例．已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的，是和的等比中项．
（1）设,求证：数列是等差数列；
（2）设，，求证：


















②：形如 型
1．已知函数的图象过点(4,2)，令.记数列的前项和为，则＝(　　)
A. 　　 B. C. D.


③：形如型
正项数列的前项和满足：
(1)求数列的通项公式；
(2)令，数列的前项和为.证明：对于任意的，都有.













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