江苏省沭阳修远高级中学2020届高三9月月考数学（理）试题 Word版含答案

修远中学2019-2020学年度第一学期第一次阶段测试
高三数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．
1．已知集合，，则 ▲ .
2.命题“”的否定为 ▲ .
3．已知向量且则 ▲ .
4．若函数，则 ▲ .
5.函数的定义域是 ▲ .
6．已知，则的最小值为 ▲ .
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 ▲ .
8.已知，则的值是 ▲ .
9.已知函数的零点在区间内，则正整数的值为 ▲ .
10．在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D满足＝2，则·的值为．
11.已知函数 则不等式的解集为 ▲ .
12.已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围是 ▲ .
13、设函数 ,若关于x的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是 ▲ .
14．已知，设函数，若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围为 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．
15.（本题满分14分）
已知，设向量，．
（1）若∥，求的值；（2）若，求的值．
16.（本题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，点的坐标为.
（1）求过点且与圆相切的直线方程；
（2）过点任作一条直线与圆交于不同两点，，且圆交轴正半轴于点，求证：直线与的斜率之和为定值.
17．（本小题满分14分）
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，，．
（1）求角B的值； （2）若，求△ABC的面积．
18.（本题满分16分）
设命题p：函数的定义域为R；命题q：不等式对一切正实数均成立．
（1）如果p是真命题，求实数的取值范围；
（2）如果命题 “”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围．
19、（本题满分16分）
某湿地公园围了一个半圆形荷花塘如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线OC上设计一个观景台D（点D与点O，C不重合），其中AD，BD，CD段建设架空木栈道，已知km，设建设的架空木栈道的总长为km．
（1）设，将表示成的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短．

20. （本小题满分16分）
已知函数．
（1）①、若直线与的图像相切, 求实数的值；
②、令函数，求函数在区间上的最大值．
（2）已知不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．
1．
2.
3．【答案】8
4．答案：2
5.
6． 5
7.【答案】
8.
9.【答案】2
10．－
11.
【答案】
12
【答案】
13、
14．【解析】当时，恒成立
当时，恒成立
令

∴
∴
当时，恒成立
令，则
当时，，递增
当时，，递减
∴时，取得最小值
∴
综上的取值范围是
【答案】
二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．
15.
【答案】（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）通过∥，得到关于的方程，结合，得到的值；（2）利用数量积的定义可得，令，则，故可根据诱导公式及两角差的正弦公式得最后结果.
试题解析：（1）因为，，且∥，所以，
即， ………………………4分
又，所以．………………………6分
因为，，且，所以，
即， ………………………9分
令，则，且，因为，故，所以，………………………11分
所以
． ………………………14分
16.
【答案】（1）或（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）当直线的斜率不存在时，直线满足题意，当直线的斜率存在时，设切线方程为，圆心到直线的距离等于半径，列式子求解即可求出，即可得到切线方程；（2）设直线：，代入圆的方程，可得到关于的一元二次方程，设，，且，直线与的斜率之和为，代入根与系数关系整理可得到所求定值。
【详解】（1）当直线的斜率不存在时，显然直线与圆相切………………………2分
当直线的斜率存在时，设切线方程为，
圆心到直线的距离等于半径，即，解得，
切线方程为：，………………………5分
综上，过点且与圆相切的直线的方程是或………………………6分
（2）圆：与轴正半轴的交点为，依题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线：，代入圆：，
整理得：.………………………8分
设，，且
∴， ………………………10分
∴直线与的斜率之和为

为定值. ………………………14分
【点睛】本题考查了圆的切线，考查了直线方程，考查了点到直线的距离公式，考查了斜率，考查了学生的逻辑思维能力与计算求解能力，属于难题。
17．
【解答】（1）在△ABC中，因为，，
所以．…………………………………………………2分
因为，
由正弦定理，得．
所以． …………………………………………………………… 4分
若，则，与矛盾，故．
于是．
又因为，
所以． ……………………………………………………………………7分
（2）因为，，
由（1）及正弦定理，得，
所以． …………………………………………………………………9分
又
．………………………………………12分
所以△的面积为.……14分
18.
解：（1）由题意知，对一切实数恒成立，
若，不合题意，舍去； ………………………2分
若，由，解得； ………………………5分
综上，实数的取值范围是． ………………………6分
设，因为，所以，则，所以使得命题为真的实数的取值范围是； ………………………9分
因为命题“”为真命题，且“”为假命题，所以命题p与命题q一真一假，
因此无解， ………………………12分
或， ………………………15分
所以，所求实数的取值范围是． ………………………16分
19、解：（1）由，，，
则，，所以， ………………4分
所以,. ………………8分
（注：表达式2分，的的取值范围1分）
(2) ， ………………10分
令,得，又，所以， ………………112分
当时，，是的减函数；当时，，是的增函数.
………………114分
所以，当时， ，此时. ………………15分
答：当D位于线段AB的中垂线上且距离AB边处时,能使三段木栈道总长度最短.
………………16分
20. 解（1）设切点(x0，y0)，f'(x)＝.
所以所以x0＝e2，k＝. ………………………3分
（2）因为g(x)＝x－在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0．
所以h(x)＝f(x)－|g(x)|＝lnx－|x－|＝
当0＜x＜1时，h(x)＝lnx＋x－，h'(x)＝＋1＋＞0，
当x≥1时，h(x)＝lnx－x＋，h'(x)＝－1－＝＜0，
所以h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且h(x)max＝h(1)＝0．…………………6分
当0＜a＜1时，h(x)max＝h(1)＝0；
当a≥1时，h(x)max＝h(a)＝lna－a＋． ………………………9分
（3）令F(x)＝2lnx－k(x－)，x∈(1，＋∞)．
所以F' (x)＝－k(1＋)＝．设φ(x)＝－kx2＋2x－k，
①当k≤0时，F'(x)＞0，所以F(x)在(1，＋∞)上单调递增，又F(1)＝0，
所以不成立； ………………………11分
②当k＞0时，对称轴x0＝，
当≤1时，即k≥1，φ(1)＝2－2k≤0,所以在(1，＋∞)上，φ(x)＜0，所以F'(x)＜0，
又F(1)＝0，所以F(x)＜0恒成立； ………………………13分
当＞1时，即0＜k＜1，φ(1)＝2－2k＞0，所以在(1，＋∞)上，由φ(x)＝0，x＝x0，
所以x∈(1，x0)，φ(x)＞0，即F'(x)＞0；x∈(x0，＋∞)，φ(x)＜0，即F'(x)＜0，
所以F(x)max＝F(x0)＞F(1)＝0，所以不满足F(x)＜0恒成立． ………………………15分
综上可知：k≥1 .………………………16分