江苏省沭阳修远高级中学2020届高三9月月考数学（文）试题 Word版含答案

修远中学2019-2020学年度第一学期第一次阶段测试
高三数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．
1．已知集合，，则 ▲ ．
2.命题“”的否定为 ▲ ．
3．若函数，则 ▲ ．
4．已知，则的最小值为 ▲ ．
5．设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为 ▲ ．
6．已知函数是奇函数，当时，，且，则= ▲ ．
7.已知，则的值是 ▲ ．
8.已知函数的零点在区间内，则正整数的值为 ▲ ．
9．在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D满足＝2，则·的值为 ▲ ．
10.在公差d不为零的等差数列{an}中，a1，a3，a9成等比数列，则的值为 ▲ ．
11．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为，则四面体的外接球的体积为．
12.已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围是 ▲ ．
13、设函数 ,若关于x的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是 ▲ ．
14．已知，设函数，若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．
（本小题满分14分）
已知，设向量，．
（1）若∥，求x的值； （2）若，求的值．
16.（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱中，，点为棱的中点，与交于点，与交于点，连结.
求证：（1）； （2）平面平面.
17.（本小题满分14分）
某湿地公园围了一个半圆形荷花塘如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线OC上设计一个观景台D（点D与点O，C不重合），其中AD，BD，CD段建设架空木栈道，已知km，设建设的架空木栈道的总长为ykm．
（1）设，将表示成的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短．

18.（本小题满分16分）
设命题p：函数的定义域为R；命题q：不等式对一切正实数均成立．
（1）如果p是真命题，求实数的取值范围；
（2）如果命题“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围．
19.（本小题满分16分）
已知数列的前项和记为，且，数列是公比为的等比数列，它的前项和记为.若，且存在不小于3的正整数，，使得.
（1）若，，求的值；
（2）求证：数列是等差数列；
（3）若，是否存在整数，，使得，若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.
20. （本小题满分16分）
已知函数．
（1）①若直线与的图像相切, 求实数的值；
②令函数，求函数在区间上的最大值．
（2）已知不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．
1．
2.
3．答案：2
4． 5
5．
6．

7.
8.【答案】2
9．－
10. 1
11.
12.【答案】
13、
14．【解析】当时，恒成立
当时，恒成立
令

∴
∴
当时，恒成立
令，则
当时，，递增
当时，，递减
∴时，取得最小值
∴
综上的取值范围是
【答案】
二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．
15.
【答案】（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）通过∥，得到关于的方程，结合，得到的值；（2）利用数量积的定义可得，令，则，故可根据诱导公式及两角差的正弦公式得最后结果.
试题解析：（1）因为，，且∥，所以，
即， ………………………4分
又，所以．………………………6分
因为，，且，所以，
即， ………………………9分
令，则，且，因为，故，所以，………………………11分
所以
． ………………………14分
16.
证明：（1）在直三棱柱中，， ……2分
又平面，平面，所以平面. ……4分
又平面，平面平面，所以. ……6分
（2）在直三棱柱中，平面，
又平面，故. ……8分
又，故. ……10分
又因为，平面，平面，
所以平面， ……12分
又平面，
所以平面平面. ……14分
17、解：（1）由，，，
则，，所以， ………………4分
所以,. ………………7分
（注：表达式2分，的的取值范围1分）
(2) ， ………………9分
令,得，又，所以， ………………10分
当时，，是的减函数；当时，，是的增函数.
………………12分
所以，当时， ，此时. ………………13分
答：当D位于线段AB的中垂线上且距离AB边处时,能使三段木栈道总长度最短.
………………14分
18.
解：（1）由题意知，对一切实数恒成立，
若，不合题意，舍去； ………………………2分
若，由，解得； ………………………5分
综上，实数的取值范围是． ………………………6分
设，因为，所以，则，所以使得命题为真的实数的取值范围是； ………………………9分
因为命题“”为真命题，且“”为假命题，所以命题p与命题q一真一假，
因此无解， ………………………12分
或， ………………………15分
所以，所求实数的取值范围是． ………………………16分
19. 解：（1）当时，，
因为，，所以. ………………………3分
（2）由，得，
两式相减，得，
即， ………………………6分
所以，
两式相减，得，所以数列为等差数列. ………………………8分
（3）依题意：，由得：，
即，，
所以. ………………………11分
因为，且，所以， ………………………13分
又因为，且为奇数，
所以时，是整数，此时， ………………………15分
所以，. ………………………16分
20. 解（1）设切点(x0，y0)，f'(x)＝.
所以所以x0＝e2，k＝. ………………………3分
（2）因为g(x)＝x－在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0．
所以h(x)＝f(x)－|g(x)|＝lnx－|x－|＝
当0＜x＜1时，h(x)＝lnx＋x－，h'(x)＝＋1＋＞0，
当x≥1时，h(x)＝lnx－x＋，h'(x)＝－1－＝＜0，
所以h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且h(x)max＝h(1)＝0．…………………6分
当0＜a＜1时，h(x)max＝h(1)＝0；
当a≥1时，h(x)max＝h(a)＝lna－a＋． ………………………9分
（3）令F(x)＝2lnx－k(x－)，x∈(1，＋∞)．
所以F' (x)＝－k(1＋)＝．设φ(x)＝－kx2＋2x－k，
①当k≤0时，F'(x)＞0，所以F(x)在(1，＋∞)上单调递增，又F(1)＝0，
所以不成立； ………………………11分
②当k＞0时，对称轴x0＝，
当≤1时，即k≥1，φ(1)＝2－2k≤0,所以在(1，＋∞)上，φ(x)＜0，所以F'(x)＜0，
又F(1)＝0，所以F(x)＜0恒成立； ………………………13分
当＞1时，即0＜k＜1，φ(1)＝2－2k＞0，所以在(1，＋∞)上，由φ(x)＝0，x＝x0，
所以x∈(1，x0)，φ(x)＞0，即F'(x)＞0；x∈(x0，＋∞)，φ(x)＜0，即F'(x)＜0，
所以F(x)max＝F(x0)＞F(1)＝0，所以不满足F(x)＜0恒成立． ………………………15分
综上可知：k≥1 .………………………16分