（新教材）人教B版数学必修二4.4幂　函　数　（59张PPT）

课件59张PPT。4.4　
幂　函　数　1.幂函数的概念
形如y=xα的函数称为幂函数,其中α是常数.【思考】
(1)幂函数的解析式有什么特征?
提示:①系数为1;②底数为x自变量;③指数为常数.(2)幂函数与指数函数解析式的区别是什么?
提示:①自变量不同,幂函数的自变量为底数,指数函数的自变量为指数.
②底数不同,幂函数的底数是自变量,指数函数的底数是常数.2.幂函数共同的性质
(1)所有幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,在第一象限内都有图像,并且图像都通过(1,1).
(2)如果α>0,则幂函数的图像通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数.(3)如果α<0,则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数,且在第一象限内:当x从右边趋向于原点时,图像在y轴右方且无限地逼近y轴;当x趋向于+∞时,图像在x轴上方且无限地逼近x轴.【思考】
当α<0时,幂函数的图像是否过原点?
提示:α<0时,y=xα在x=0时无意义,图像不过原点.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)幂函数的图像在四个象限均有可能出现. (　　)
(2)当α<0时,幂函数在R上是减函数. (　　)
(3)当α=0时,幂函数的图像是一条直线. (　　)提示:(1)×.幂函数的图像不能出现在第四象限.
(2)×.当α=-1时,函数y= 在(-∞,0),(0,+∞)
上是减函数,在R上不是减函数.
(3)×.函数y=x0的定义域为{x|x≠0},图像是去除了一个点的直线.2.下列函数为幂函数的是 (　　)
A.y=x2　　B.y=-x2　　C.y=2x　　D.y=2x2
【解析】选A.根据幂函数的定义知,y=x2是幂函数,
y=-x2不是幂函数,y=2x是指数函数,不是幂函数,y=2x2不是幂函数.3.如果幂函数f(x)=xα的图像经过点 ,
则α= (　　)
A.-2 B.2 C.- D. 【解析】选A.幂函数f(x)=xα的图像经过点 ,
则3α= ,解得α=-2.类型一　幂函数的概念
【典例】1.已知幂函数f(x)=xα的图像过点 ,
则式子4α的值为 (　　)
A.1　 　　　B.2　　 　　C. 　　 　D. 2.(2019·南平高一检测)已知函数f(x)=(3-m)x2m-5
是幂函数,则f =________.?【思维·引】1.代入点的坐标,求出α后代入求值.
2.根据幂函数解析式的特征求出m,确定解析式后求值.【解析】1.选B.因为幂函数f(x)=xα的图像过点 ,
所以 ,解得:α= ,故4α=2.
2.函数f(x)=(3-m)x2m-5是幂函数,
则3-m=1,解得m=2,所以f(x)=x-1,
所以f(x)= ,所以
答案:2【内化·悟】
若一个函数是幂函数,应怎样设函数的解析式?
提示:设函数f(x)=xα(α为常数).【类题·通】
　求幂函数解析式的依据和常用方法
(1)依据:若一个函数为幂函数,则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征,这是解决与幂函数有关问题的隐含条件.(2)常用方法:设幂函数解析式为f(x)=xα,依据条件求出α.【习练·破】
1.若幂函数f(x)=(m2-3m-3)xm在(0,+∞)上为增函数,则实数m= (　　)
A.4 B.-1 C.2 D.-1或4
【解析】选A.幂函数f(x)=(m2-3m-3)xm在(0,+∞)上为增函数,所以m2-3m-3=1,并且m>0,解得m=4.2.已知幂函数f(x)=xa(a为常数)的图像经过点(2, ),
则f(9)=______.?【解析】由题意f(2)=2a= ,
所以a= ,所以f(x)= ,所以f(9)= =3.
答案:3类型二　幂函数的图像及应用
【典例】1.如图的曲线是幂函数y=xn在第一象限内
的图像,已知n分别取±1, ,2四个值,相应的曲线
c1,c2,c3,c4的n依次为 (　　)A.-1, ,1,2　　　 B.2,1, ,-1
C. ,-1,2,1 D.2, ,-1,12.已知函数f(x)=xk(k为常数),在下列函数图像中,不是函数y=f(x)的图像的是 (　　)
【思维·引】1.根据各个函数的图像特征选取.
2.根据幂函数图像所在的象限判断.【解析】1.选B.函数y=x-1在第一象限内单调递减,对
应的图像为c4;y=x对应的图像为一条过原点的直线,对
应的图像为c2;y=x2对应的图像为抛物线,对应的图像
应为c1;y= 在第一象限内的图像是c3,所以曲线
c1,c2,c3,c4的n依次为2,1, ,-1.2.选C.函数f(x)=xk(k为常数)为幂函数,图像不过第四象限,所以C中函数图像不是函数y=f(x)的图像.【内化·悟】
在第一象限内,幂函数的图像有什么特征?
提示:当α>0时,图像从左向右逐渐上升,随着指数增大,图像上升越快,当α<0时,图像从左向右逐渐下降.【类题·通】
　解决幂函数图像问题应把握的两个原则
(1)依据图像高低判断幂指数大小,相关结论为:①在(0,1)上,指数越大,幂函数图像越靠近x轴(简记为指大图低);②在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图像越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图像确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂
函数在第一象限内的图像(类似于y=x-1或y= 或y=x3)
来判断.【习练·破】
在同一坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax
(a>0且a≠1)的图像可能是 (　　)【解析】选D.对A,没有幂函数的图像;对B,
f(x)=xa(x>0)中a>1,g(x)=logax中0对C,f(x)=xa(x>0)中01,不符合
题意;对D,f(x)=xa(x>0)中0符合题意.【加练·固】
如图是①y=xa;②y=xb;③y=xc,在第一象限的图像,则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.a>b>c　　　 B.aC.ba<0,b>1,0角度1　利用幂函数的单调性比较大小
【典例】(2019·娄底高一检测)已知a= ,b= ,
c=2 ,则 (　　)
A.bC.b由幂函数y= 的单调性,所以a由a=
根据指数函数y=16x的单调性,所以a>b,可得b利用幂函数的单调性比较大小时,常用到核心素养中的数学建模,根据要比较的式子的特征,选取指数函数、幂函数模型进行比较.
将本例中的b改为 ,试比较三个数的大小?【解析】因为a=
由幂函数y= 的单调性,知a【典例】讨论函数y=x-2的定义域、奇偶性,通过描点作出它的图像,并根据图像说明函数的单调性.

【思维·引】求出定义域,证明奇偶性,再根据奇偶性描点作图,最后得出单调性.【解析】因为y=x-2= ,
所以定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),记f(x)=x-2,
则f(-x)=(-x)-2= =x-2=f(x),因此函数y=x-2是偶函数.因此函数图像关于y轴对称.通过列表描点,可以先画出y=x-2在x∈(0,+∞)时的函数图像,再根据对称性,作出它在x∈(-∞,0)时的图像,如图所示.由图像可以看出,函数y=x-2在区间(0,+∞)上是单调递减函数,在(-∞,0)上是单调递增函数.【类题·通】
1.关于指数式比较大小
(1)变为同指数:利用幂函数的单调性比较大小.
(2)变为同底数:利用指数函数的单调性比较大小.2.关于函数图像、性质的探究
(1)探究顺序:一般按照定义域、奇偶性、图像、单调性的顺序进行探究.(2)几点说明:
①奇偶性决定了图像是否具有对称性,具有奇偶性的函数可先描点作出y轴右侧的图像,再根据对称性作左侧的图像;
②作图时尽可能多地选取点,而且选取的点要具有代表性,这样作出的图像才更加准确;③此种方法是对函数图像和性质的粗略探究,适用的函数有限,更加准确、科学的探究方法会在以后进一步学习.【习练·破】
1.(2019·伊犁高一检测)已知点(m,8)在幂函数
f(x)=(m-1)xn的图像上,设a=f ,b=f(lnπ),
c=f ,则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.aC.b的图像上,
可得m-1=1,即m=2,2n=8,可得n=3,
则f(x)=x3,且f(x)在R上单调递增,
由a=f ,b=f (ln π),c=f ,
且0< < <1,ln π>1,可得a(0,+∞),
记f(x)=x-3,则f(-x)=(-x)-3= =-x-3=-f(x),
因此函数y=x-3是奇函数.因此函数图像关于原点对称.通过列表描点,可以先画出y=x-3在x∈(0,+∞)时的函数图像,再根据对称性,作出它在x∈(-∞,0)时的图像,如图所示.由图像可以看出,函数y=x-3在区间(0,+∞),(-∞,0)
上都是单调递减函数.【加练·固】
已知幂函数f(x)=xα的图像经过函数g(x)=ax-2- (a>0且a≠1)的图像所过的定点,则幂函数f(x)
不具有的特性是 (　　)A.在定义域内有单调递减区间
B.图像过定点(1,1)
C.是奇函数
D.其定义域是R【解析】选D.由x-2=0,即x=2,
可得g(2)=1- = ,
函数g(x)=ax-2- (a>0且a≠1)的图像所过的定点为
(2, ),
则2α= ,解得α=-1,则f(x)= ,定义域为{x|x≠0},则减区间为(-∞,0),(0,+∞),
图像经过定点(1,1),且为奇函数,D不正确.