（新教材）人教B版数学必修二4.6函数的应用(二)　（55张PPT）

课件55张PPT。4.6　
函数的应用(二)　1.指数函数型模型
(1)表达形式:f(x)=abx+c.
(2)条件:a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1.
2.对数函数型模型
(1)表达形式:f(x)=mlogax+n.
(2)条件:m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1.3.幂函数型模型
(1)解析式:y=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠1)
(2)单调性:其增长情况由xα中的 α的取值而定.【思考】
指数型、对数型函数模型都是递增的吗?
提示:不一定,也可能是递减的,根据底数的大小判断.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)解决某一实际问题的函数模型是唯一的. (　　)
(2)对于一个实际问题,收集到的数据越多,建立的函数模型的模拟效果越好. (　　)(3)根据收集到的数据作出散点图,结合已知的函数选择适当的函数模型,这样得到的函数模型的模拟效果较好. (　　)提示:(1)×.对于一个实际问题,可以选择不同的函数模型,只是模拟效果有区别.
(2)√.数据越多,模拟效果越好.
(3)√.根据散点图选择函数模型,针对性较强,得到的函数模型模拟效果较好.2.计算机成本不断降低,若每隔2年计算机价格降低 ,
现在价格为8 100元的计算机6年后价格可降为 (　　)
A.3 600元 B.2 400元
C.900元 D.300元【解析】选B.由题意,计算机6年后的价格为:
8 100× =2 400(元).3.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog2(x+1),设这种动物第1年有100只,则第7年
它们繁殖到______只.?【解析】由题意,繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系
为y=alog2(x+1),这种动物第1年有100只,所以100=alog2(1+1),所以a=100,所以y=100log2(x+1),
所以当x=7时,y=100 log2(7+1)=100×3=300.
答案:300类型一　函数模型中的参数
【典例】将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t秒后甲
桶剩余的水量符合指数衰减曲线y=aen t,假设过5秒后
甲桶和乙桶的水量相等,则n=________,若再过m秒甲桶
中的水只有 升,则m的值为________.?【思维·引】利用两桶水量相等求n值,再代入关系式求m.【解析】5秒后甲桶和乙桶的水量相等,
所以函数y=f(t)=aen t满足f(5)=ae5n= a,
即5n=ln ,得n= ln ,
当k秒后甲桶中的水只有 升,即f(k)= ,
即 ln ·k=ln =2ln ,即k=10,经过了k-5=10-5=5秒,即m=5.
答案: ln 5【内化·悟】
本题中用来求参数隐含的条件是什么?
提示:假设过5秒后甲桶和乙桶的水量相等.【类题·通】
怎样求应用性问题解析式中的参数?
应用性问题变量间的关系式中往往含有参数,需要先确定参数值,解题中要认真审题,条件中会给出特殊情况下的一对参数的对应值,用来确定参数的值,这是解题的前提.【习练·破】
某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑
到高速公路行车安全,要求60≤x≤120)时,每小时的油
耗(所需要的汽油量)为 ,其中k为常数.
若汽车以120 km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5 L,则k=________,欲使每小时的油耗不超过9 L,则速度x的取值范围为________.?【解析】设每小时的油耗(所需要的汽油量)为y L,
由题意可得y=
当x=120时,y=11.5,
所以11.5= ,解得k=100,
所以y= 因为每小时的油耗不超过9 L,
所以 ≤9,即x2-145x+4 500≤0,
解得45≤x≤100,又60≤x≤120,可得60≤x≤100,
所以欲使每小时的油耗不超过9 L,则x的取值范围为
[60,100].
答案:100　[60,100]【加练·固】
　　工厂生产某种产品的月产量y(万件)与月份x满足关系y=a·0.5x+b,现已知该厂今年1月份,2月份生产该产品分别为1万件,1.5万件,则此工厂3月份生产该产品的产量为________万件.?【解析】由题意有
解得 所以y=-2×0.5x+2,
所以3月份产量为y=-2×0.53+2=1.75(万件).
答案:1.75类型二　指数型函数模型的应用
【典例】习总书记在十九大报告中,提出新时代坚持和
发展中国特色社会主义的基本方略,包括“坚持人与自
然和谐共生,加快生态文明体制改革,建设美丽中国”.
目前我国一些高耗能低效产业(煤炭、钢铁、有色金属、炼化等)的产能过剩,将严重影响生态文明建设,“去产能”将是一项重大任务.十九大后,某行业计划从2018年开始,每年的产能比上一年减少的百分比为x(0 (1)设n年后(2018年记为第1年)年产能为2017年的a倍,请用a,n表示x.
(2)若x=10%,则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017的25%?
参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477.【思维·引】(1)利用初始值、“增长率”、增长次数的关系式.
(2)列出不等式,利用对数知识、参考数据运算.【解析】(1)依题意得:(1-x)n=a,
所以1-x= ,即x=1- .
(2)设n年后年产能不超过2017年的25%,
则(1-10%)n≤25%,即
即 ,即n(2lg 3-1)≤-2lg 2,所以n≥ ,即n≥ ,因为13< <14,
且n∈N*,所以n的最小值为14,
所以,至少要到2031年才能使年产能不超过2017年的25%.【内化·悟】
初始值为a,增长率为x,增长n次后的表达式是什么?
提示:a(1+x)n.【类题·通】
有关增长(衰减)率问题
(1)熟练应用公式a(1+x)n,特别是增长(衰减)次数,审清如年初、年底等字眼.
(2)对于比较复杂的问题,可以通过写出前三、四次的表达式,找出规律后再写第n次的.【习练·破】
有关数据显示,中国快递行业产生的包装垃圾在2015年
约为400万吨,2016年的年增长率为50%.有专家预测,如
果不采取措施,未来包装垃圾还将以此增长率增长,从
________年开始,快递行业产生的包装垃圾超过4 000
万吨.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)?【解析】设快递行业产生的包装垃圾为y万吨,n表示
从2015年开始增加的年份的数量,由题意可得
y=400×(1+50%)n=400× ,由于第n年快递行业产生
的包装垃圾超过4 000万吨,所以4 000=400× ,
所以 =10,两边取对数可得n(lg 3-lg 2)=1,所以n(0.477 1-0.301 0)=1,解得0.176 1n=1,解得
n≈6,所以从2 015+6=2 021年开始,快递行业产生
的包装垃圾超过4 000万吨.
答案:2 021类型三　幂函数、对数型函数模型的应用
角度1　幂函数模型的应用
【典例】已知A,B两地的距离是120 km,按交通法规规
定,A,B两地之间的公路车速应限制在50～100 km/h,
假设汽油的价格是6元/L,以x km/h速度行驶时,汽车
的耗油率为 L/h,支付司机每小时的工资36元.(1)此次行车最经济的车速是________.?
(2)如果不考虑其他费用,这次行车的总费用最小值为________.?
【思维·引】表示出行车的时间、总费用后利用基本不等式求最小值及取最小值时的车速.【解析】(1)总费用为y=36×

当且仅当 =2x,即x=60 km/h时,取等号,
所以此次行车最经济的车速是60 km/h.(2)由(1)知如果不考虑其他费用,这次行车的总费用最小值为240元.
答案:(1)60 km/h　(2)240元【素养·探】
在解决实际问题中的最值问题时,常常用到核心素养中的数学运算,需要用配方、基本不等式等求最值.
本例的条件不变,若要求费用控制在260元以内,则行车车速应控制在什么范围之内?【解析】由题意令y=36×
+2x≤260,即x2-130x+3 600≤0,解得40≤x≤90,因为A,B两地之间的公路车速应限制在50～100 km/h,所以行车车速应控制在50～90 km/h.角度2　对数型函数模型的应用
【典例】有一种候鸟每年都按一定的路线迁徒,飞往繁
殖地产卵,科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表
示为函数v= ,单位是km/min,其中x表
示候鸟每分钟耗氧量的单位数,x0代表测量过程中某类
候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据:lg 2=0.30,
31.2=3.74,31.4=4.66). (1)当x0=2,候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时,候鸟的飞行速度是多少km/min?
(2)当x0=5,候鸟停下休息时,它每分钟的耗氧量为多少单位?(3)若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min,同类雌鸟的飞行速度为1.5 km/min,则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍?【思维·引】(1)将x0,x代入解析式求速度.
(2)利用候鸟休息的速度为0解题.
(3)利用对数运算,两式相减构成耗氧量的商.【解析】(1)由题意,x0=2,x=8 100,
得v=
故此时候鸟的飞行速度为1.7 km/min.(2)由题意得,当候鸟停下休息时,它的速度是0,
可得,
即log3 =2lg 5,解得:x=466,故候鸟停下休息时,
它每分钟的耗氧量为466个单位.(3)设雄鸟的耗氧量为x1,雌鸟的耗氧量为x2,
由题意得
两式相减可得1= ,解得: =9,
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量
的9倍.【类题·通】
　对数函数应用题的解题思路
(1)依题意,找出或建立数学模型.
(2)依实际情况确定解析式中的参数.
(3)依题设数据解决数学问题.
(4)得出结论.【习练·破】
(变式练)“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的
速度,假设函数t=-144lg 中,t表示达到某一英文
打字水平所需的学习时间,N表示每分钟打出的字数.
则当N=40时,t=________.(已知lg 5≈0.699,lg 3
≈0.477)?【解析】当N=40时,则t=-144lg
=-144lg =-144(lg 5-2lg 3)≈36.72.
答案:36.72【加练·固】
大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.研究鲑
鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位:m/s)与其耗氧量单
位数Q之间的关系可以表示为函数v=klog3 +b,其中
k,b为常数.已知一条鲑鱼在静止时的耗氧量为100个单
位;而当它的游速为1.5 m/s时,其耗氧量为2 700个单位.(1)求出游速v与其耗氧量单位数Q之间的函数解析式;
(2)求当一条鲑鱼的游速不高于2.5 m/s时,其耗氧量至多需要多少个单位?【解析】(1)由题意可得
解得k= ,b=0,所以游速v与其耗氧量单位数Q之间
的函数解析式v= (2)由题意,有 log3 ≤2.5,即log3 ≤5,
所以log3 ≤log335,由对数函数的单调性,
得0< ≤35,解得0故当一条鲑鱼的游速不高于2.5 m/s时,其耗氧量至多需要24 300个单位.