（新教材）人教B版数学必修二4.1.1指数函数、对数函数与幂函数（55张PPT）

课件55张PPT。第四章　指数函数、对数函数与幂函数
4.1　指数与指数函数
4.1.1　实数指数幂及其运算1.n次方根
(1)定义:给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x,使得xn=a,则x叫做a的n次方根.(2)表示:【思考】
对于式子 中a一定是非负数吗?如不是,其范围是什
么?
提示:不一定是非负数,其范围由n的奇偶决定;当n为奇
数时,a∈R;当n为偶数时,a≥0. 2.根式
(1)当 有意义时, 称为根式,n称为根指数,a称为
被开方数.
(2)性质:
① ② 【思考】
　 与 中的字母a的取值范围是否一样?
提示:取值范围不同.式子 中隐含a是有意义的,若n
为偶数,则a≥0,若n为奇数,a∈R;式子 中,a∈R.3.分数指数幂的意义【思考】
分数指数幂中的 有什么规定?
提示: 为既约分数,如果没有特殊说明,一般总认为
分数指数中的分数都是既约分数.4.无理数指数幂
当a>0且t是无理数时,at是一个确定的实数.【思考】
当a>0时,式子ax中的x的范围是什么?
提示:x∈R.5.实数指数幂的运算法则(a>0,b>0,r,s∈R)
(1)aras=ar+s.(2) (ar)s =ars.(3) (ab)r =arbr.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)n是大于1的正整数,若xn=a,则x=± .(　　)
(2) (　　)
(3) 是一个确定的实数. (　　)提示:(1)×.当n是奇数时,x=
(2)×.
(3)√.由无理数指数幂的意义可知正确.2. =________.?
【解析】 =32=9.
答案:93.若x<0,则|x|+ =________.?
【解析】因为x<0,所以原式=-x-x+1=1-2x.
答案:1-2x类型一　n次方根概念及相关的问题
【典例】1.化简 等于 (　　)
A.-2π　 B.6　 C.2π　 D.-6
2. 等于 (　　)
A.2 　 B. 　 C. 　 D.23.若 +(a-3)0有意义,则a的取值范围是
________.?【思维·引】1.根据根指数的奇偶、π和3的大小化简.
2.将被开方数配成完全平方后化简.
3.根据偶次方根的被开方数非负,0次幂的底数不等于0,求a的范围.【解析】1.选D.
=π-3-π-3=-6.
2.选A. 3.由 得a≥2,且a≠3.
答案:[2,3)∪(3,+∞) 【内化·悟】
1.对于根式 化简需要注意哪些?
提示:注意n的奇偶和a的符号.
2.怎样求根式中变量的范围?
提示:根指数是正的偶数时,被开方数非负,根指数为奇
数时,被开方数为任意实数.【类题·通】
　根式化简与求值的思路及注意点
(1)思路:首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简.(2)注意点:
①正确区分( )n与 两式;
②运算时注意变式、整体代换,以及平方差、立方差和
完全平方、完全立方公式的运用,必要时要进行讨论.【习练·破】
1.已知a∈R,n∈N*,给出下列4个式子:
其中无意义的有
(　　)
A.1个　 B.2个　 C.3个　 D.0个【解析】选A.①中-22n<0,所以 无意义,②中根
指数为3,有意义,③中(-2)2n>0,有意义,④中根指数为
3,有意义.2.计算
【解析】

= =0.【加练·固】
　　　 的值为 (　　)
A.-6　　B.2 -2　　C.2 　　D.6 【解析】选A. =-6,

所以原式=-6+4- -4=-6. 类型二　分数指数幂的求值问题
【典例】求下列各式的值.
(1) (2) (3) 【思维·引】(1)将底数化为真分数后求值.
(2)将根式化为分数指数后求值.
(3)先化为同底,再利用指数运算法则求值. 【解析】(1)原式=
(2)原式= =21=2.
(3)原式= 【内化·悟】
如果式子中含有多层根号,应怎样化简求值?
提示:先由内向外分别化为分数指数幂,再利用分数指数幂的运算法则计算. 【类题·通】
1.根式与分数指数幂互化的方法及思路
(1)方法:根指数 分数指数的分母,
被开方数(式)的指数 分数指数的分子.(2)思路:在具体计算中,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
提醒:如果根式中含有多重根号,要由里向外用分数指数幂写出.2.关于分数指数幂的求值
若式子中含有根式,先化为分数指数,若式子中分数指数幂底数不同,则先化同一底数,最后利用分数指数幂的运算法则先化简后求值.【习练·破】
求下列各式的值
(1) ;(2) ;(3) 【解析】(1)原式=
(2)原式= =31=3.
(3)原式= 【加练·固】
计算 =________.?
【解析】原式= =36×22=2 916. 类型三　分数指数幂的化简问题
角度1　式子化简
【典例】(2019·衡阳高一检测)
=________. ?【思维·引】先将分母的根式化为分数指数,再利用分数指数幂的运算法则化简.【解析】
答案: 【素养·探】
在利用分数指数幂运算法则化简时,常常用到核心素养
中的数学运算,化简式子或求值.
本例中将式子变为 ,试化简该式.【解析】原式=角度2　条件求值
【典例】已知 ,求 的值.【思维·引】将已知的式子反复利用完全平方公式,将x的指数升高,再代入求值.【解析】由已知可得:x+x-1=( )2-2=( )2-
2=3.x2+x-2=(x+x-1)2-2=32-2=7.
原式= 【类题·通】
1.关于分数指数幂运算法则的应用
首先要分析式子的特点,确定化简的层次和顺序,一般从里到外依次化为分数指数幂,其次先进行乘方运算,再进行同底数幂的运算.2.解决条件求值问题的步骤【习练·破】
1.化简 =________.?【解析】
答案: 2.已知x+x-1=4,(0【解析】因为x+x-1=4,
所以(x-x-1)2=(x+x-1)2-4=12,
因为0所以x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)=-8 .又因为 =x+x-1+2=6,
所以
所以 【加练·固】
已知x+x-1=3,则 的值为________.? 【解析】由题意( )2=x+2+x-1=5,所以
所以 (x-1+x-1)
= (3-1)= .
答案: