（新教材）人教B版数学必修二4.1.2.1第1课时　指数函数的性质与图像（55张PPT）

课件55张PPT。4.1.2　指数函数的性质与图像
第1课时　指数函数的性质与图像1.指数函数
函数y=ax称为指数函数,其中a是常数,a>0且a≠1.【思考】
(1)为什么指数函数的底数a>0,且a≠1?提示:①如果a=0,当x>0时,ax恒等于0,没有研究的必要;
当x≤0时,ax无意义.
②如果a<0,例如f(x)=(-4)x,这时对于x= , ,…,
该函数无意义.
③如果a=1,则y=1x是一个常量,没有研究的价值.
为了避免上述各种情况,所以规定a>0,且a≠1.(2)指数函数的解析式有什么特征?
提示:①a>0,且a≠1;②ax的系数为1;
③自变量x的系数为1.2.指数函数的图像和性质【思考】
(1)对于指数函数y=2x,y=3x,y= ,y= …,为什么
一定过点(0,1)?
提示:当x=0时,a0=1恒成立,即指数函数的图像一定过
点(0,1).(2)对于指数函数y=ax(a>0且a≠1),在下表中,?处y的范围是什么?提示:【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)y=x5是指数函数. (　　)
(2)指数函数的图像都在x轴的上方. (　　)
(3)若指数函数y=ax是减函数,则0(2)√.由指数函数的图像可知正确.
(3)√.由指数函数的单调性可知正确.2.若0A.第一、二象限
B.第二、四象限
C.第一、二、四象限
D.第二、三、四象限【解析】选A.当0________.?
【解析】由题意,设f(x)=ax(a>0且a≠1),则由
f(2)=a2=2,得a= ,所以f(x)=( )x.
答案:( )x类型一　指数函数的概念
【典例】1.函数y=(a2-3a+3)·ax是指数函数,则a的值
为________.?
2.指数函数y=f(x)的图像经过点(π,e),则f(-π)
=________.?【思维·引】1.根据指数函数的解析式的特征列方程求解.
2.设出指数函数的解析式,代入点的坐标求f(-π).【解析】1.由题意得a2-3a+3=1,
即(a-2)(a-1)=0,解得a=2或a=1(舍).
答案:22.设指数函数为y=ax(a>0且a≠1),
则e=aπ,所以f(-π)=a-π=(aπ)-1=e-1= .
答案: 【内化·悟】
怎样设指数函数的解析式?
提示:设指数函数为f(x)=ax(a>0且a≠1). 【类题·通】
1.判断一个函数是指数函数的方法
(1)把握指数函数解析式的特征:①底数a>0,且a≠1;
②ax的系数为1;③自变量x的系数为1.
(2)有些函数需要对解析式变形后判断,如y= 是
指数函数.2.求指数函数解析式的步骤
(1)设指数函数的解析式f(x)=ax(a>0且a≠1).
(2)利用已知条件求底数a.
(3)写出指数函数的解析式.【习练·破】
1.函数f(x)=(2a-3)ax是指数函数,则f(1)= (　　)
A.8 B. C.4 D.2【解析】选D.函数f(x)=(2a-3)ax是指数函数,
所以2a-3=1,解得a=2,所以f(x)=2x,所以f(1)=2.2.指数函数y=f(x)的图像经过点 ,那么f(4)·
f(2)=________.?【解析】设指数函数的解析式为y=ax(a>0且a≠1),
因为函数的图像经过点 ,所以 =a-2,所以a=2,
所以指数函数的解析式为y=2x,
所以f(4)·f(2)=24×22=26=64.
答案:64【加练·固】
若指数函数y=f(x)的图像经过点 ,则f
=________. ? 【解析】设f(x)=ax(a>0且a≠1),因为f(x)过点 ,
所以 =a-2,所以a=4,
所以f(x)=4x,
所以
答案: 类型二　指数函数性质的简单应用
角度　比较大小
【典例】1.(2019·聊城高一检测)已知a=1.50.5,
b=0.51.5,c=0.50.5,则 (　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.c>a>b2.使不等式92x-1< 成立的x的集合是 (　　)
【思维·引】1.同底数的利用单调性比较,不同底的与1比较.
2.化同底后利用单调性解不等式.【解析】1.选B.a=1.50.5>1,0<0.51.5<0.50.5<1,所以a>c>b.
2.选A.不等式即34x-2< ,可得4x-2< ,
解得x< .【素养·探】
在解与指数相关的不等式时,常常利用核心素养中的逻
辑推理,通过对底数单调性的分类讨论来解不等式.
将典例2的不等式底数都改为a(a>0,且a≠1),
即a2x-1< ,试解此不等式.【解析】当a>1时,指数函数y=ax是增函数,
由2x-1< ,解得x< .
当0 ,解得
x> .【类题·通】
　利用单调性比较大小
(1)底数相同的直接利用单调性.
(2)底数、指数都不同的把1作为中间量比较.
(3)底数不同指数相同的借助图像间的关系比较.【习练·破】
1.(2019·厦门高一检测)已知a=0.40.3,b=0.30.4,
c=0.3-0.2,则 (　　)
A.bC.ca=0.40.3>0.30.3>b=0.30.4,c=
0.3-0.2>1,所以bc=0.22.1,则a,b,c的大小关系是 (　　)
A.aa>c
C.ba>b【解析】选B.a=0.52.1∈(0,1),b=20.5>1,c=0.22.1,
0.52.1>0.22.1,所以a>c,所以b>a>c.【加练·固】
已知 则a,b,c的大小关系是
(　　)
A.cC.b则当01;当a>1时,有0所以0<
又因为函数y= 在R上是减函数,
且 ,所以 .
综上知, ,即c【典例】1.函数y= 的定义域是________.?
2.函数y=3-x(-2≤x≤1)的值域是 (　　)
A.[3,9] B.
C. 　 D. 3.已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值与最小值的差是1,则实数a的值为________.?
【思维·引】1.根据被开方数大于等于0求定义域.
2.先确定函数的单调性,再求最值.
3.分情况表示出最大值、最小值,列方程求a的值.【解析】1.因为函数有意义的充要条件是x2-x-6≥0,
即x≤-2或x≥3,
所以所求的定义域为(－∞,－2]∪[3,+∞).
答案: (－∞,－2]∪[3,+∞). 2.选B.函数y=3-x= 在[-2,1]递减,
故ymax=3-(-2)=9,ymin=3-1= 3.当a>1时,y=ax在[-1,1]上单调递增,
所以当x=-1时,y取到最小值a-1,
当x=1时,y取到最大值a,
所以a-a-1=1,解得a= ;
当0当x=1时,y取到最小值a,所以a-1-a=1,解得a= .
答案: 【内化·悟】
求值域主要应用了指数函数的哪个性质?
提示:主要应用了指数函数的单调性. 【类题·通】
1.与指数函数相关的定义域问题
(1)函数y=af(x)的定义域与函数f（x）的定义域相同.
(2)涉及不等关系求定义域时,先化同底,再利用图像、单调性求范围.2.关于指数函数值域的求法
当指数函数的单调性可以确定时,分别求出其最大值、最小值得到函数的值域,若函数的单调性不确定时,则分情况讨论单调性,分别求出其最值,从而确定值域.【习练·破】
(2019·通州高一检测)函数y= 的定义域为
________.?【解析】依题意得,2x-8≥0,
所以2x≥8=23,又y=2x为增函数,所以x≥3.
所以函数y= 的定义域为{x|x≥3}.
答案:[3,+∞)【加练·固】
函数y= 的定义域为________.?
【解析】因为函数有意义的充要条件是1- ≥0,则
≤1,即x≥0,
所以函数的定义域为[0，+∞).