（新教材）人教B版数学必修二4.1.2.2指数函数的性质与图像的应用（49张PPT）

课件49张PPT。第2课时　
指数函数的性质与图像的应用类型一　指数函数的图像及应用
【典例】1.(2019·重庆高一检测)函数y= 的大致
图像是(　　)2.函数f(x)=ax-2 018+2 019(a>0且a≠1)所过的定点坐标为________.?【思维·引】1.去掉解析式中的绝对值号,分情况作图.
2.令x-2 018=0,求出x,再求f(x).【解析】1.选C.函数y=
因为y=2-|x|是偶函数,所以图像关于y轴对称,
所以函数图像在y轴右侧为减函数,0左侧为增函数,0可得x=2 018,代入求解f(x)=2 020,
所以函数f(x)过的定点坐标为(2 018,2 020).
答案:(2 018,2 020)【内化·悟】
1.怎么样作带绝对值号的函数的图像?
提示:去掉绝对值号,分情况作图.
2.形如y=makx+b+n的函数所过的定点坐标是什么?
提示:令kx+b=0,x= ,y=m+n,
所以函数过定点 【类题·通】
与指数函数相关的图像问题
1.定点问题:令函数解析式中的指数为0,即可求出横坐标,再求纵坐标即可;
2.平移问题:对于横坐标x满足“加左减右”;3.底数大小:对于 如图
0指数函数①f(x)=mx,②g(x)=nx满足不等式0函数①y=ax;②y=bx;③y=cx;④y=dx的图像如图所示,a,
b,c,d分别是下列四个数: 中的一个,则对应
的a,b,c,d的值是(　　)　　　 【解析】选C.方法一:从第一象限看指数函数的图像,
逆时针方向底数依次从小变大.
方法二:直线x=1与函数图像的交点的纵坐标从上到下
依次为c,d,a,b,而 类型二　形如y= 的函数的单调性、值域
【典例】求函数y= 的单调递增区间、值域.【思维·引】1.结合y= 的单调性,求二次函数t=-x2+x+2的减区间.2.利用换元法求值域.【解析】令t=-x2+x+2,则y= ,
因为t= ,可得t的减区间为 ,因为函
数y= 在R上是减函数,
所以函数y= 的单调递增区间 ;
又t≤ ,所以 所以函数y= 值域为 【类题·通】
复合函数的单调性、值域
(1)分层:一般分为外层y=at,内层t=f(x).
(2)单调性复合:复合法则“同增异减”,即内外层的单调性相同则为增函数,单调性相反则为减函数.(3)值域复合:先求内层t的值域,再利用单调性求y=at的值域.【发散·拓】
求函数y=9x-2·3x+3的单调区间,并求出其值域. 【解析】设u=3x,则原函数可分解为u=3x,y=u2-2u+3,
而二次函数y=u2-2u+3单调性的分界点为u=1,
因此当x∈(-∞,0)时,u=3x单调递增,u∈(0,1),而y=u2-2u+3在(0,1)上单调递减, 所以原函数在(-∞,0)上单调递减;当x∈[0,+∞)时,u=3x单调递增,u∈[1,+∞),而二次函数y=u2-2u+3在[1,+∞)上单调递增,所以原函数在[0,+∞)上单调递增. 综上可知,原函数在(-∞,0)上单调递减,在[0,+∞)上单调递增.
函数y=9x-2·3x+3的值域,即y=u2-2u+3,u∈(0,+∞)的值域,易知值域为[2,+∞). 【延伸·练】
求函数y=22x+1-2x+2-6的单调区间及值域. 【解析】y=22x+1-2x+2-6=2·22x-4·2x-6,
令t=2x(t>0),则y=2t2-4t-6=2(t－1)2-8,
所以在区间[0,1]上递减,在区间[1, +∞)上递增,
因为函数t=2x是增函数,
所以原函数的增区间是[0，+∞),减区间是(－∞,0],
值域是[－8,+∞). 【习练·破】
函数f(x)= 的单调递减区间是________,值域是
________.?【解析】令t=x2-2x=(x-1)2-1,则f(x)= ,利用二次
函数的性质可得函数t的增区间为[1,+∞),所以函数
f(x)= 的减区间是[1,+∞);
因为t≥-1,所以
所以函数f(x)= 的值域为
答案:[1,+∞)　 【加练·固】
已知函数y= 的递减区间为________.? 【解析】u=x2+2x-3,开口向上,对称轴为x=-1,x∈
(-∞,-1)时函数是减函数;
y=2u,是增函数,由复合函数的单调性可知函数y=
的递减区间为(-∞,-1).
答案:(-∞,-1) 类型三　指数函数性质的综合应用
角度1　分段函数的单调性
【典例】已知若函数f(x)= 对任意
x1≠x2,都有 >0成立,则实数a的取值范围
是 (　　)
A. (4,8)　 B. [4,8)　 C. (1,+∞)　 D. (1,8)【思维·引】根据函数的单调性,分别从每一段、分界点处函数值的关系列出不等式求范围.【解析】选B.因为分段函数为增函数,
所以需满足 解得4≤a<8.【素养·探】
在由分段函数的单调性求参数范围的过程中,常常用到
核心素养中的逻辑推理,根据函数的单调性列出参数满
足的不等式组求出范围.
若将本例中的函数改为f(x)= 其他条
件不变,试求a的范围.【解析】因为函数f(x)满足对任意x1f(x1)所以函数f(x)在定义域上是增函数,
则满足 即 得 ≤a<2.角度2　函数性质的综合应用
【典例】(2019·赤峰高一检测)已知函数f(x)=
是R上的奇函数.
(1)判断并证明f(x)的单调性.
(2)若对任意实数,不等式f[f(x)]+f(3-m)>0恒成立,求
m的取值范围. 【思维·引】先求出a的值,再根据定义判断、证明单调性;
利用函数的性质转化不等式,分离出m后求范围.【解析】(1)因为f(x)为R上的奇函数,
所以f(0)=0,即 =0,由此得a=1,
所以f(x)= ,所以f(x)为R上的增函数.证明:设x1f(x1)-f(x2)=1-
因为x1所以f(x1)所以f(x)为R上的增函数.(2)因为f(x)为R上的奇函数.
所以原不等式可化为f[f(x)]>-f(3-m),
即f[f(x)]>f(m-3),
又因为f(x)为R上的增函数,所以f(x)>m-3,
由此可得不等式m0?2x+1>1?0< <2?-2<- <0?
2<4- <4,所以m≤2.【类题·通】
1.关于分段函数y= 的单调性(1)增函数:
均为增函数,且
(2)减函数: 均为减函数,且 .2.含参数恒成立问题的一种处理方法
将参数分离到左侧,根据不等号恒成立的方向,求出右侧函数的最大值或最小值,即可得到参数的范围.
特别提醒:已知分段函数的单调性求参数的范围时,容易忽视判断分界点处取值的大小.【习练·破】
(2019·开封高一检测)已知函数f(x)= -2x,则f(x)
(　　)A.是奇函数,且在R上是增函数
B.是奇函数,且在R上是减函数
C.是偶函数,且在R上是增函数
D.是偶函数,且在R上是减函数【解析】选B.f(x)= -2x,
f(-x)=2x- =-f(x),所以f(x)为奇函数,
又因为函数y= 与y=-2x都是减函数,
所以两个减函数之和仍为减函数.【加练·固】
若函数f(x)= 为R上的增函数,则实数a
的取值范围是 (　　)
A.3≤a<4　　　　　　　 B.1C.1所以
解得3≤a<4.
所以实数a的取值范围是3≤a<4.