（新教材）人教B版数学必修二4.2.2对数运算法则（42张PPT）

课件42张PPT。4.2.2　对数运算法则1.积、商、幂的对数
若a>0,且a≠1,M>0,N>0,则有
(1)积的对数:loga(MN)=logaM+logaN.
(2)商的对数:loga_____=logaM-logaN.
(3)幂的对数:logaMn=nlogaM.【思考】 　
在积的对数运算性质中,三项的乘积式loga(MNQ)是否
适用?你可以得到一个什么样的结论?
提示:适用,loga(MNQ)=logaM+logaN+logaQ,积的对数运
算性质可以推广到n项的乘积.2.换底公式
若a>0,且a≠1,c>0,且c≠1,b>0,则有logab=_____.【思考】
(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么
形式?
提示:logab= ,logab= .
(2)你能用换底公式推导出结论 logNM吗?
提示: logNM. 【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)lg(x+y)=lg x+lg y. (　　)
(2)log2(16-8)=log216-log28. (　　)
(3) =log48. (　　)提示:(1)×.令x=y=1,则lg(x+y)=lg 2>lg 1=0,而
lg x+lg y=0,不成立.
(2)×.等式的左边=log2(16-8)=log28=3,
右边=log216-log28=4-3=1.
(3)√.由换底公式知正确.2.以下运算正确的是 (　　)
A.lg 2×lg 3=lg 6 B.(lg 2)2=lg 4
C.lg 2+lg 3=lg 5　 D.lg 4-lg 2=lg 2
【解析】选D.lg 2+lg 3=lg 6,lg 2+lg 2=lg 4,lg 4-lg 2=lg 2.3.log69+log64= (　　)
A.log62　 B.2　 C.log63 　 D.3
【解析】选B.log69+log64=log636=2.类型一　利用对数运算法则化简
【典例】用lg x,lg y,lg z表示下列各式:
(1)lg(xyz).(2)lg .(3)lg .(4)lg .【思维·引】利用积、商、幂的对数展开.
【解析】(1)lg(xyz)=lg x+lg y+lg z.
(2)lg =lg(xy2)-lg z=lg x+2lg y-lg z.
(3)lg =lg(xy3)-lg =lg x+3lg y- lg z.
(4)lg =lg -lg(y2z)= lg x-2lg y-lg z.【内化·悟】
利用对数运算法则化简的一般顺序是什么?
提示:先商,再积,最后幂.【类题·通】
　关于对数式的化简
首先观察式子的结构、层次特征,确定化简的顺序,其次利用积、商、幂的对数运算法则依次展开.【习练·破】
1.如果lg 2=m,lg 3=n,则 等于 (　　)【解析】选C.因为lg 2=m,lg 3=n,
所以 2.化简 .【解析】因为 >0且x2>0, >0,所以y>0,z>0.
loga =loga(x2 )-loga
=logax2+loga -loga
=2loga|x|+ logay- logaz.【加练·固】
已知y>0,化简loga .
【解析】因为 >0,y>0,所以x>0,z>0.
所以loga =loga -loga(yz)= logax-logay-
logaz. 类型二　利用对数运算法则求值
【典例】1.(2019·昌吉高一检测)计算lg 2+lg 5+
2log510-log520的值为 (　　)
A.21　 B.20　 C.2　 D.1
2.计算lg 5(lg 8+lg 1 000)+(lg )2+lg +
lg 0.06. 【思维·引】1.逆用对数的运算法则合并求值.
2. 综合利用对数的运算性质求值.【解析】1.选C.lg 2+lg 5+2log510-log520
=1+log5 =1+1=2.2.原式=lg 5(3lg 2+3)+3(lg 2)2-lg 6+lg 6-2
=3lg 5·lg 2+3lg 5+3(lg 2)2-2
=3lg 2(lg 5+lg 2)+3lg 5-2
=3lg 2+3lg 5-2=3(lg 2+lg 5)-2=1.【内化·悟】
1.lg 2与lg 5之间有何关系?
提示:lg 2+lg 5=1,lg 2=1-lg 5,lg 5=1-lg 2.
2.应用对数运算性质求值时关键是什么?
提示:关键是对数的底数应该相同,才能利用性质合并计算. 【类题·通】
　利用对数运算求值的方法
(1)“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.
(2)“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).【习练·破】
1.(lg 5)2+lg 2×lg 5+lg 2=________.?
【解析】原式=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2=lg 5+lg 2=
lg 10=1.
答案:12.计算: +lg 4+lg 25.
【解析】原式= ( )6+2lg 2+2lg 5=6+2(lg 2
+lg 5)=8.【加练·固】
求下列各式的值
(1) +2lg 2+lg 25.
(2)log2 +log212- log242.
(3) 【解析】(1)原式= +lg 4+lg 25= +lg 100=(2)原式= (log27-log248)+log23+2log22-
(log22+log23+log27)
= log27- log23- log216+ log23+2-
log27- (3)原式=
=2. 类型三　换底公式的应用
角度1　化简求值
【典例】设log34·log48·log8m=log416,则m的值是
(　　)
A. 　 B.9　　 C.18　　 D.27【思维·引】利用换底公式,换成常用对数求值.【解析】选B.因为log34·log48·log8m
所以lg m= ·lg 3=lg 32,解得m=9.【素养·探】
在应用换底公式化简求值的过程中,常常用到核心素养
中的数学运算,先根据条件恰当换底,再化简运算.
将本例变为:化简log34·log48·log816·log1627.
【解析】原式= =3.角度2　证明等式
【典例】(2019·大连高二检测)若4m=9n=6,
求证: =2.【思维·引】用对数式表示出m,n,再利用对数换底公
式证明.
【证明】由4m=9n=6,得m=log46,n=log96,
即 =log64, =log69,
所以 =log64+log69=log636=2.【类题·通】
　换底公式的应用
(1)一般利用常用对数或自然对数进行化简求值.
(2)注意指数式与对数式的互化在求值中的应用.
(3)注意一些常见结论的应用,如对数的倒数公式
=logba.【习练·破】
1.计算:(log32+log35)·lg 9= (　　)
A.1　 B.2　 C.lg 3　 D.2lg 7
【解析】选B.(log32+log35)·lg 9=log310·lg 9
= ·2lg 3=2.2.已知2x=5y=t, =2,则t= (　　)
A. B. C. D.100【解析】选C.因为2x=5y=t>0,t≠1,
所以x= ,y= ,代入 =2,所以 =2,
所以ln 10=ln t2,所以t2=10,则t= .【加练·固】
若实数a,b满足3a=4b=12,则 = (　　)
A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.1
【解析】选D.3a=4b=12,即有a=log312,b=log412,
则 =log123+log124=log1212=1.