（新教材）人教B版数学必修二6.1.4数 乘 向 量（37张PPT）

课件37张PPT。6.1.4　数 乘 向 量1.向量的数乘运算
定义:实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做数乘向量,记作λa.
规定:(1)当λ≠0 且a≠0时,|λa|=|λ||a|,且①当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;
②当λ<0时,λa的方向与a的方向相反.
(2)当λ=0或a=0时,λa=0.【思考】
(1)定义中“是一个向量”告诉了我们什么信息?
提示:数乘向量的结果仍是一个向量,它既有大小又有方向.
(2)若把 |λa|=|λ||a|写成|λa|=λ|a|可以吗?为什么?
提示:不可以,当λ<0时不成立.2.向量数乘的运算律
设λ,μ为实数,则λ(μa)=(λμ)a;
特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a).【思考】
这里的条件“λ,μ为实数”能省略吗?为什么?
提示:不能,数乘向量中的λ,μ都是实数,只有λ,μ都是实数时,运算律才成立.3.向量共线的条件
如果存在实数λ,使得b=λa,则b∥a.【思考】
“若向量b∥a,则存在实数λ,使得b=λa.”成立吗?
提示:不成立,若a=0,b≠0,则λ不存在.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)3a的方向与a的方向相同,且-2a的方向与a的方向相反. (　　)
(2)4a与-4a的模相等. (　　)(3)a与-λa的方向相反. (　　)
(4)若a,b共线,则存在唯一的实数λ,使a=λb. (　　)
提示:(1)√.因为3>0,所以3a与a同向.因为-2<0,所以
-2a与a反向.
(2)√.因为|4a|=|4||a|,|-4a|=|-4||a|=4|a|,故二者相等.
(3)×.当λ<0时,a与-λa的方向相同.
(4)×. 若b=0时不成立.2.点C在直线AB上,且 ,则 等于 (　　)

【解析】选D.如图, ,所以 3.已知|a|=1,|b|=3,若两向量方向相反,则向量a与向量b的关系为b=________a.?
【解析】由于|a|=1,|b|=3,则|b|=3|a|,又两向量反向,故b=-3a.
答案:-3类型一　数乘向量的定义
【典例】设a是非零向量,λ是非零实数,则以下结论正确的有________.?
①|-λa|≥|a|;
②a与λ2a方向相同;③|-2λa|=2|λ|·|a|.【思维·引】根据数乘向量的概念解决.
【解析】当0<λ<1 时,|-λa|<|a|,①错误;②③正确.
答案:②③【内化·悟】
　解决数乘向量问题关键应注意哪几点?
提示:应注意两点:方向相同还是相反,模长放大还是缩小.【类题·通】
　数乘向量与原来向量是共线的,其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向或者反方向放大或缩小.【习练·破】
　若两个非零向量a与(2x-1)a方向相同,则x的取值范围为________.?【解析】由向量数乘定义可知,2x-1>0,即x> .
答案:x> 【加练·固】
存在两个非零向量a,b,满足b=-3a,则有 (　　)
A.a与b方向相同 B.a与b方向相反
C.|a|=|3b| D.|a|=|b|【解析】选B.因为-3<0,所以a与-3a方向相反.且|-3a| =3|a|,即|b|=3|a|,故选B.类型二　数乘向量的运算
【典例】下列各式化简正确的是________.?
①-3×2a=-5a;
② a×3×(-2)=-3a;
③-2× =2 ;
④0×b=0.【思维·引】根据数乘向量的运算律解决.
【解析】因为-3×2a=-6a, a×3×(-2)=-3a,-2×
=-2 =2 ,0×b=0.所以,①④错误,②③正确.
答案:②③【内化·悟】
　数乘向量的运算可以与以前我们学过的什么运算相类比?
提示:可类比数乘单项式运算.【类题·通】
　λa中的实数λ叫做向量a的系数,数乘向量运算就是把数与向量的系数相乘,作为新向量的系数.【习练·破】
　化简下列各式.
(1)4× a.
(2)-2× 【解析】(1)4×
(2)-2× =3a.类型三　数乘向量的应用
角度1　判断向量共线
【典例】已知a=2e, b=-4e, 判断a,b 是否平行,求
的值;若a∥b,说出它们是同向还是反向.
【思维·引】利用数乘向量的定义解决.
【解析】因为b=-4e=-2(2e )=-2a ,所以a∥b,且
,即 =1∶2.向量a,b反向.【素养·探】
　本题主要考查向量共线条件的应用,突出考查了数学运算的核心素养.
本题若把条件改为“a=2e,b=3e,”其他不变,试求解.【解析】因为b=3e= a ,所以a∥b,且 即
=2∶3.向量a,b同向.角度2　判断三点共线
【典例】已知 =e, =-3e,判断A,B,C三点是否共线,
如果共线,说出点A是线段BC的几等分点.
【思维·引】利用数乘向量的定义解决.
【解析】因为 =-3e=-3 ,所以 ,
且有公共点B,所以A,B,C三点共线,又因为BC=3AB,且向
量 反向,如图,所以点A是线段BC的三等分点.【类题·通】
数乘向量的应用
(1)如果存在实数λ,使得b=λa,则b∥a.
(2)如果存在实数λ,使得 ,则 ,且AB
与AC有公共点A,所以A,B,C三点共线.【习练·破】
　分别指出下列各题中A,B,C三点是否共线,如果共线,指出线段AB与BC的长度之比.
【解析】(1)因为 ,所以 ,又有公共的
点C,所以A,B,C三点共线,且AB=2BC,即AB∶BC=2∶1.
(2)因为 ,所以 ,又有公共点A,所以
A,B,C三点共线,且AB= BC,即AB∶BC=3∶4.