（新教材）人教B版数学必修二6.3平面向量线性运算的应用（48张PPT）
文档属性
| 名称 | （新教材）人教B版数学必修二6.3平面向量线性运算的应用（48张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-08 15:05:57 | ||
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文档简介
课件48张PPT。6.3
平面向量线性运算的应用1.用向量运算解决平面几何问题的“三步法”
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系.
(3)把运算结果“翻译”成几何关系. 【思考】
(1)这里的“平面几何问题”主要是哪些问题?
提示:平面几何中的全等、相似、平行等问题. (2)这里的“向量运算”是指什么运算?
提示:向量的线性运算.2.平面向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力,速度,加速度,位移等.
(2)向量的加减法运算体现在力,速度,加速度,位移的合成与分解.
(3)动量mv是向量的数乘运算.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若点B是线段AC的中点,则有 ( )
(2)若 ,则直线AB与CD平行. ( )
(3)若 ∥ ,则A,B,C三点共线. ( )
(4)物理学中的功是一个向量. ( ) 提示:(1)√.
(2)×.向量 时,直线AB∥CD或AB与CD重合.
(3)√.因为 ∥ ,即 , 共线,且有公共点A,所以A,B,C三点共线.
(4)×.功是一个标量,没有方向,不是向量.2.若向量 =(1,1), =(-3,-2)分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|为 ( )【解析】选C.由于F1+F2=(1,1)+(-3,-2)=(-2,-1),所
以|F1+F2|= 3.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长是 ( )【解析】选B.BC中点为
所以 类型一 平面向量在几何证明中的应用
【典例】1.(2019·河东高一检测)已知点A(2,3), B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以A,B,C,D为顶点的四边形是 ( )A.梯形
B.邻边不相等的平行四边形
C.菱形
D.两组对边均不平行的四边形2.已知平行四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.
求证:四边形EFGH是平行四边形【思维·引】利用向量的线性运算,共线(或相等)的条件、模判断或证明.【解析】1.选B.因为 =(8,0), =(8,0),所以
因为 =(4,-3),所以| |=5,而| |=8,
故为邻边不相等的平行四边形.2.由已知可设
所以 因此EH∥FG且EH=FG,所以四边形EFGH是
平行四边形.【素养·探】
本例考查利用平面向量证明几何问题,突出体现了逻辑推理、直观想象的核心素养.
若把本例2的条件改为:已知四边形ABCD的对角线交点为O,且AO=OC,BO=OD,
试证明四边形ABCD是平行四边形.【证明】由已知得
而 所以 ,因此AB∥DC且AB=DC,
所以四边形ABCD是平行四边形.【类题·通】
利用向量证明问题
(1)常见的利用向量证明的问题
①利用共线向量定理证明线段平行或点共线.
②利用向量的模证明线段相等.(2)常用的两个方法
①基向量法:选取已知的不共线的两个向量作为基向量,用基向量表示相关向量,转化为基向量之间的向量运算进行证明.
②坐标法:先建立直角坐标系,表示出点、向量的坐标,利用坐标运算进行证明. 【习练·破】
若 =3e, =5e,且| |=| |,则四边形ABCD的形状为________.?【解析】由 =3e, =5e,得 ∥ ,| |≠| |,
又因为ABCD为四边形,所以AB∥DC,AB≠DC.又| |=
| |,得AD=BC,所以四边形ABCD为等腰梯形.
答案:等腰梯形类型二 平面向量在几何求值中的应用
【典例】1.已知A(-3,0),B(0,2),O为坐标原点,点C在
∠AOB内,|OC|=2 ,且∠AOC= .设
(λ∈R),则λ=________.?2.已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,设AC=m,BC=n.
(1)若D为斜边AB的中点,求证:CD= AB.
(2)若E为CD的中点,连接AE并延长交BC于F,求AF的长度(用m,n表示).【思维·引】1.由题意画出图形,根据向量线性运算法
则对条件“ ”适当转化,再应用向量坐
标运算解决.
2.利用向量的线性运算及共线向量基本定理解决,也可
以利用相似三角形的性质.【解析】1.过点C作CE⊥x轴于点E,
由∠AOC= 知,OE=CE=2,所以
即 所以(-2,0)=λ(-3,0),故λ= .
答案: 2.(1)以C为坐标原点,以边CB,CA所在的直线分别为x
轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示,A(0,m),B(n,0).因为D为AB的中点,所以D
所以
所以 (2)因为E为CD的中点,所以E
设F(x,0),则
=(x,-m).
因为A,E,F三点共线,所以 即(x,-m)=λ
则
故λ= ,即x= ,所以F ,
所以
即AF= 【类题·通】
1.向量相等的应用:由向量的坐标定义知,两向量相
等的充要条件是它们的坐标相等,即若a=(x1,y1),b=
(x2,y2),a=b?x1=x2且y1=y2.利用向量的坐标运算解
题,主要是根据相等的向量坐标相同这一原则,通过
列方程(组)进行求解.2.利用平面向量的线性运算及共线向量基本定理,可以解决平面几何的求值问题,当然也可以利用证明三角形全等或相似来解决.【习练·破】
如图所示,已知△ABC,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M,N,D分
别是AB,AC,BC的中点,且MN与AD交于点F,求 的坐标.【解析】因为A(7,8),B(3,5),C(4,3),
所以 =(3-7,5-8)=(-4,-3),
=(4-7,3-8)=(-3,-5).
又因为D是BC的中点,
所以 因为M,N分别为AB,AC的中点,
所以F为AD的中点,类型三 平面向量在物理中的应用
【典例】已知三个力f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,再加上一个力f4,则f4的大小为________.?
【思维·引】可利用f1+f2+f3+f4=0求解.【解析】由物理知识知f1+f2+f3+f4=0,故f4=-(f1+f2+f3)
=(1,2),所以|f4|=
答案: 【内化·悟】
怎样求力向量、速度向量的大小与方向问题?
提示:把其转化为平面向量问题,利用向量加法的三角形法则、平行四边形法则解决.【类题·通】
用向量方法解决物理问题的步骤
(1)把物理问题中的相关量用向量表示.
(2)转化为向量问题的模型,通过向量运算使问题解决.
(3)结果还原为物理问题.【习练·破】
1.甲、乙两人同时拉动一个有绳相缚的物体,当甲、乙所拉着的绳子与铅垂直线分别成30°和60°的角时,甲和乙的手上所承受的力的比是( )【解析】选D.|F甲|∶|F乙|=cos 30°∶cos 60°=
∶1.2.点P在平面上做匀速直线运动,速度v=(4,-3),设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为(速度单位:m/s,长度单位:m) ( )
A.(-2,4) B.(-30,25)
C.(10,-5) D.(5,-10)【解析】选C.5秒后点P的坐标为(-10,10)+5(4,-3) =(10,-5).【加练·固】
用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具,已知灯具重量为10 N,则每根绳子的拉力大小为________.?【解析】如图,由题意,得∠AOC=∠COB=60°,| |=10,
则| |=| |=10,即每根绳子的拉力大小为10 N.
答案:10 N
平面向量线性运算的应用1.用向量运算解决平面几何问题的“三步法”
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系.
(3)把运算结果“翻译”成几何关系. 【思考】
(1)这里的“平面几何问题”主要是哪些问题?
提示:平面几何中的全等、相似、平行等问题. (2)这里的“向量运算”是指什么运算?
提示:向量的线性运算.2.平面向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力,速度,加速度,位移等.
(2)向量的加减法运算体现在力,速度,加速度,位移的合成与分解.
(3)动量mv是向量的数乘运算.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若点B是线段AC的中点,则有 ( )
(2)若 ,则直线AB与CD平行. ( )
(3)若 ∥ ,则A,B,C三点共线. ( )
(4)物理学中的功是一个向量. ( ) 提示:(1)√.
(2)×.向量 时,直线AB∥CD或AB与CD重合.
(3)√.因为 ∥ ,即 , 共线,且有公共点A,所以A,B,C三点共线.
(4)×.功是一个标量,没有方向,不是向量.2.若向量 =(1,1), =(-3,-2)分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|为 ( )【解析】选C.由于F1+F2=(1,1)+(-3,-2)=(-2,-1),所
以|F1+F2|= 3.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长是 ( )【解析】选B.BC中点为
所以 类型一 平面向量在几何证明中的应用
【典例】1.(2019·河东高一检测)已知点A(2,3), B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以A,B,C,D为顶点的四边形是 ( )A.梯形
B.邻边不相等的平行四边形
C.菱形
D.两组对边均不平行的四边形2.已知平行四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.
求证:四边形EFGH是平行四边形【思维·引】利用向量的线性运算,共线(或相等)的条件、模判断或证明.【解析】1.选B.因为 =(8,0), =(8,0),所以
因为 =(4,-3),所以| |=5,而| |=8,
故为邻边不相等的平行四边形.2.由已知可设
所以 因此EH∥FG且EH=FG,所以四边形EFGH是
平行四边形.【素养·探】
本例考查利用平面向量证明几何问题,突出体现了逻辑推理、直观想象的核心素养.
若把本例2的条件改为:已知四边形ABCD的对角线交点为O,且AO=OC,BO=OD,
试证明四边形ABCD是平行四边形.【证明】由已知得
而 所以 ,因此AB∥DC且AB=DC,
所以四边形ABCD是平行四边形.【类题·通】
利用向量证明问题
(1)常见的利用向量证明的问题
①利用共线向量定理证明线段平行或点共线.
②利用向量的模证明线段相等.(2)常用的两个方法
①基向量法:选取已知的不共线的两个向量作为基向量,用基向量表示相关向量,转化为基向量之间的向量运算进行证明.
②坐标法:先建立直角坐标系,表示出点、向量的坐标,利用坐标运算进行证明. 【习练·破】
若 =3e, =5e,且| |=| |,则四边形ABCD的形状为________.?【解析】由 =3e, =5e,得 ∥ ,| |≠| |,
又因为ABCD为四边形,所以AB∥DC,AB≠DC.又| |=
| |,得AD=BC,所以四边形ABCD为等腰梯形.
答案:等腰梯形类型二 平面向量在几何求值中的应用
【典例】1.已知A(-3,0),B(0,2),O为坐标原点,点C在
∠AOB内,|OC|=2 ,且∠AOC= .设
(λ∈R),则λ=________.?2.已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,设AC=m,BC=n.
(1)若D为斜边AB的中点,求证:CD= AB.
(2)若E为CD的中点,连接AE并延长交BC于F,求AF的长度(用m,n表示).【思维·引】1.由题意画出图形,根据向量线性运算法
则对条件“ ”适当转化,再应用向量坐
标运算解决.
2.利用向量的线性运算及共线向量基本定理解决,也可
以利用相似三角形的性质.【解析】1.过点C作CE⊥x轴于点E,
由∠AOC= 知,OE=CE=2,所以
即 所以(-2,0)=λ(-3,0),故λ= .
答案: 2.(1)以C为坐标原点,以边CB,CA所在的直线分别为x
轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示,A(0,m),B(n,0).因为D为AB的中点,所以D
所以
所以 (2)因为E为CD的中点,所以E
设F(x,0),则
=(x,-m).
因为A,E,F三点共线,所以 即(x,-m)=λ
则
故λ= ,即x= ,所以F ,
所以
即AF= 【类题·通】
1.向量相等的应用:由向量的坐标定义知,两向量相
等的充要条件是它们的坐标相等,即若a=(x1,y1),b=
(x2,y2),a=b?x1=x2且y1=y2.利用向量的坐标运算解
题,主要是根据相等的向量坐标相同这一原则,通过
列方程(组)进行求解.2.利用平面向量的线性运算及共线向量基本定理,可以解决平面几何的求值问题,当然也可以利用证明三角形全等或相似来解决.【习练·破】
如图所示,已知△ABC,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M,N,D分
别是AB,AC,BC的中点,且MN与AD交于点F,求 的坐标.【解析】因为A(7,8),B(3,5),C(4,3),
所以 =(3-7,5-8)=(-4,-3),
=(4-7,3-8)=(-3,-5).
又因为D是BC的中点,
所以 因为M,N分别为AB,AC的中点,
所以F为AD的中点,类型三 平面向量在物理中的应用
【典例】已知三个力f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,再加上一个力f4,则f4的大小为________.?
【思维·引】可利用f1+f2+f3+f4=0求解.【解析】由物理知识知f1+f2+f3+f4=0,故f4=-(f1+f2+f3)
=(1,2),所以|f4|=
答案: 【内化·悟】
怎样求力向量、速度向量的大小与方向问题?
提示:把其转化为平面向量问题,利用向量加法的三角形法则、平行四边形法则解决.【类题·通】
用向量方法解决物理问题的步骤
(1)把物理问题中的相关量用向量表示.
(2)转化为向量问题的模型,通过向量运算使问题解决.
(3)结果还原为物理问题.【习练·破】
1.甲、乙两人同时拉动一个有绳相缚的物体,当甲、乙所拉着的绳子与铅垂直线分别成30°和60°的角时,甲和乙的手上所承受的力的比是( )【解析】选D.|F甲|∶|F乙|=cos 30°∶cos 60°=
∶1.2.点P在平面上做匀速直线运动,速度v=(4,-3),设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为(速度单位:m/s,长度单位:m) ( )
A.(-2,4) B.(-30,25)
C.(10,-5) D.(5,-10)【解析】选C.5秒后点P的坐标为(-10,10)+5(4,-3) =(10,-5).【加练·固】
用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具,已知灯具重量为10 N,则每根绳子的拉力大小为________.?【解析】如图,由题意,得∠AOC=∠COB=60°,| |=10,
则| |=| |=10,即每根绳子的拉力大小为10 N.
答案:10 N