课件40张PPT。第二章 圆锥曲线与方程2.3 抛物线
2.3.1 抛物线及其标准方程准线抛物线焦点求抛物线的标准方程 抛物线定义的应用 与抛物线有关的最值问题点击右图进入…Thank you for watching !2.3 抛物线
2.3.1 抛物线及其标准方程
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点)2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点)3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点)
1.通过抛物线的定义及标准方程的学习，培养直观想象的素养.
2.借助抛物线的定义解题，提升逻辑推理的素养.
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
思考1：抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？
[提示] 点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．
2．抛物线的标准方程
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
F
x＝－
y2＝－2px(p>0)
F
x＝
x2＝2py(p>0)
F
y＝－
x2＝－2py(p>0)
F
y＝
思考2：(1)抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么？
(2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置？
[提示] (1)p的几何意义是焦点到准线的距离．
(2)根据抛物线方程中一次式±2px，±2py来确定焦点位置，“x，y”表示焦点在x轴或y轴上，系数“±2p”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上．
1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是( )
A．(2,0) B．(－2,0)
C．(4,0) D．(－4,0)
B [抛物线y2＝－8x的焦点在x轴的负半轴上，且＝2，因此焦点坐标是(－2,0)．]
2．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是( )
A．1 B．2
C．4 D．8
C [由y2＝8x得p＝4，即焦点到准线的距离为4.]
3．抛物线x＝4y2的准线方程是( )
A．y＝ B．y＝－1
C．x＝－ D．x＝
C [由x＝4y2得y2＝x，故准线方程为x＝－.]
求抛物线的标准方程
【例1】 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：
(1)准线方程为y＝；
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5；
(3)经过点(－3，－1)；
(4)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．
[解] (1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－y.
(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.
(3)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．
若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝；
若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y.
(4)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．
当焦点为(0，－3)时，＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
当焦点为(4,0)时，＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
求抛物线的标准方程的方法
定义法
根据定义求p，最后写标准方程
待定系数法
设标准方程，列有关的方程组求系数
直接法
建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程
提醒：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．
1．(1)(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝( )
A．2 B．3
C．4 D．8
(2)已知抛物线C的准线与直线x＝－3之间的距离等于5，则抛物线C的标准方程为________．
(1)D (2)y2＝32x或y2＝－8x [(2)由题意可知抛物线的准线方程为x＝－8或x＝2，即抛物线C的标准方程为y2＝32x或y2＝－8x.]
抛物线定义的应用
【例2】 (1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
(2)若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程．
[思路点拨] (1)利用抛物线的定义，把|AF|转化为到准线的距离；
(2)利用|MF|的长度比M到y轴的距离大求解，注意抛物线的定义．
(1)A [由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A.]
(2)[解] 由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．
由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，
而＝，所以p＝1,2p＝2，
故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．
1．抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化．
2．轨迹问题：(1)确定定点与定直线(定点在定直线外)．(2)满足动点到定点与定直线的距离相等，便可确定动点轨迹为抛物线．
2．已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解] 设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，
则由题意可得M到圆心C(0，－3)的距离与直线y＝3的距离相等．
由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.
与抛物线有关的最值问题
[探究问题]
1．如图，设A，B是直线l同侧的两点(不重合)，如何在l上寻找一动点P，使得|PA|＋|PB|最小？
提示：找B点关于l的对称点B′，连接AB′交l于P(图略)，则此时点P即为所求．
2．对于不重合的三点A，B，P，当P点处在何处时，|AP|＋|BP|最小？
提示：当P位于A，B之间且A，P，B三点共线时，|AP|＋|BP|最小．
【例3】 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若点B的坐标为(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
[思路点拨] (1)根据|PA|＋|PF|≥|AF|等号成立的条件求解．
(2)借助抛物线的定义转化求解．
[解] (1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程是x＝－1.由抛物线的定义知，点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连接AF，AF与抛物线的交点即为点P，故最小值为＝，即点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为.
(2)如图，把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±2.因为2>2，所以点B在抛物线内部．过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，连接P1F.此时，由抛物线定义知，|P1Q|＝|P1F|.所以|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.
解关于抛物线的最值问题时，首先要注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等．
3．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A. B．3
C. D.
A [由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可得，
点P到准线x＝－的距离d＝|PF|，
易知点A(0,2)在抛物线y2＝2x的外部，
连接AF，交y2＝2x于点P′，
欲使所求距离之和最小，只需A，P′，F共线，
∴其最小值为
|AF|＝ ＝.]
1．抛物线的定义中不要忽略条件：点F不在直线l上．
2．确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2＝2mx(m≠0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2＝2my(m≠0)．
3．与抛物线有关的问题在求解中注意定义所隐含的转化，借此体会等价转化思想的重要性．
1．判断正误
(1)平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线． ( )
(2)抛物线实质上就是双曲线的一支． ( )
(3)抛物线的焦点位置由一次项的字母及一次项系数的正负决定． ( )
(4)若抛物线的方程为y2＝－4x，则其中的焦参数p＝－2. ( )
(5)抛物线y＝6x2的焦点在x轴的正半轴上． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2．抛物线y2＝24ax(a>0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝12x
C．y2＝16x D．y2＝20x
A [由题意知6a＋3＝5，解得a＝，因此抛物线方程为y2＝8x.]
3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F1，若点A(2，－4)在抛物线上，则点A到焦点的距离为________．
4 [把点(2，－4)代入抛物线y2＝2px，得16＝4p，即p＝4，从而抛物线的焦点为(2,0)．故点A到焦点的距离为4.]
4．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求点M的坐标．
[解] 由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x＝.设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.
由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6，故点M的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．
课时分层作业(十一)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是 ( )
A．开口向上，焦点为(0,1) B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1,0) D．开口向右，焦点为
B [抛物线y＝4x2可化为x2＝y，∴开口向上，焦点为，故选B.]
2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4 B．6
C．8 D．12
B [抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，则点P到准线的距离为6，即点P到抛物线焦点的距离是6.]
3．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－ B．－1
C．－ D．－
C [抛物线的准线方程为x＝－2，则焦点为F(2,0)．从而kAF＝＝－.]
4．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心的轨迹为( )
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
A [设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r.由两圆外切，得圆心C到点(0,3)的距离为r＋1，也就是说，圆心C到点(0,3)的距离比到直线y＝0的距离大1，故点C到点(0,3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线．]
5．如图所示，南北方向的公路l，A地在公路正东2 km处，B地在A东偏北30°方向2km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A、到B修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是( )万元．
A．(2＋)a B．2(＋1)a
C．5a D．6a
C [依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只须求出B到直线l距离即可，因B地在A地东偏北30°方向2km处，
∴B到点A的水平距离为3(km)，
∴B到直线l距离为：3＋2＝5(km)，
那么修建这两条公路的总费用最低为：5a(万元)，故选C.]
二、填空题
6．抛物线y＝2x2的准线方程为________．
y＝－ [化方程为标准方程为x2＝y，故＝，开口向上，
∴准线方程为y＝－.]
7．抛物线y＝－x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．
4 [抛物线标准方程为x2＝－4y，其焦点坐标为(0，－1)，准线方程为y＝1，则|MF|的长度等于点M到准线y＝1的距离，从而点M到两定点F，E的距离之和的最小值为点E(1，－3)到直线y＝1的距离．即最小值为4.]
8．对于标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
②④ [抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上的一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．]
三、解答题
9．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线方程是x＝－1.
(1)求此抛物线的方程；
(2)设点M在此抛物线上，且|MF|＝3，若O为坐标原点，求△OFM的面积．
[解] (1)因为抛物线的准线方程为x＝－1，
所以＝1，得p＝2.所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)设M(x0，y0)，因为点M(x0，y0)在抛物线上，且|MF|＝3，由抛物线的定义，知|MF|＝x0＋＝3，得x0＝2.将(2，y0)代入方程y2＝4x，得y0＝±2，所以△OFM的面积为|OF||y0|＝×1×2＝.
10．已知点A(12,6)，点M到点F(0,1)的距离比它到x轴的距离大1.
(1)求点M的轨迹方程G；
(2)在抛物线G上是否存在一点P，使点P到点A的距离与点P到x轴的距离之和取得最小值？
[解] (1)点M到点F(0,1)的距离比它到x轴的距离大1，即“点M到点F(0,1)的距离等于它到直线y＝－1的距离”，所以点M的轨迹是以F为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，此时，p＝2.
故所求抛物线方程G为x2＝4y.
(2)如图，易判断点A在抛物线外侧，设P(x，y)，
则点P到x轴的距离即为y值，
设点P到准线y＝－1的距离为d，则y＝d－1.
故|PA|＋y＝|PA|＋d－1，
由抛物线定义知|PF|＝d.
于是|PA|＋d－1＝|PA|＋|PF|－1.
由图可知，当A，P，F三点共线时，|PA|＋|PF|取最小值13.此时直线AF的方程为y＝x＋1，
由联立得点P坐标为.
∴在抛物线G上存在点P，使得所求距离之和最小为13.
[能力提升练]
1．已知P为抛物线y2＝4x上的一个动点，直线l1：x＝－1，l2：x＋y＋3＝0，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为( )
A．2 B．4
C. D.＋1
A [将P点到直线l1：x＝－1的距离转化为点P到焦点F(1,0)的距离，过点F作直线l2的垂线，交抛物线于点P(图略)，此即为所求最小值点，∴P到两直线的距离之和的最小值为＝2，故选A.]
2．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
D [由e2＝1＋＝4得＝，则双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0.
抛物线C2的焦点坐标为，则有＝2，解得p＝8.
故抛物线C2的方程为x2＝16y.]
3．抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是________．
2 [抛物线y2＝2x的焦点为F，准线方程为x＝－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝4，故线段AB的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.]
4．在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．
(－6,6)或(－6，－6) [设所求点为P(x，y)，抛物线y2＝－12x的准线方程为x＝3，由题意知3－x＝9，即x＝－6.代入y2＝－12x，得y2＝72，即y＝±6.
因此P(－6,6)或P(－6，－6)．]
5．如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB|＝18米，拱顶距离水面8米，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF.若|CD|＝9米，那么|DE|不超过多少米才能使货船通过拱桥？
[解] 如图所示，以点O为原点，过点O且平行于AB的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则B(9，－8)．
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
∵B点在抛物线上，∴81＝－2p·(－8)，
∴p＝，∴抛物线的方程为x2＝－y.
当x＝时，y＝－2，即|DE|＝8－2＝6.
∴|DE|不超过6米才能使货船通过拱桥.
