课件45张PPT。第二章 圆锥曲线与方程2.3 抛物线
2.3.2 抛物线的简单几何性质y≥0，x∈R y≤0，x∈R 1x轴y轴(0,0)没有两一平行或重合 抛物线的几何性质抛物线的焦点弦问题 直线与抛物线的位置关系 点击右图进入…Thank you for watching !2.3.2 抛物线的简单几何性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握抛物线的几何性质．(重点)
2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)
3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)
1.借助直线与抛物线的位置关系，培养学生的直观想象和数学运算的素养.
2.借助抛物线的几何性质解题，提升逻辑推理的素养.
1．抛物线的几何性质
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
图形
性
质
焦点
准线
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
性
质
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0,0)
离心率
e＝1
2.焦点弦
直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝x1＋x2＋p.
3．直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．
当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．
当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．
思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？
[提示] 可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．
1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是( )
A．y2＝－8x B．y2＝－4x
C．y2＝8x D．y2＝4x
C [由准线方程为x＝－2，可知抛物线的焦点在x轴正半轴上，且p＝4，所以抛物线的方程为y2＝2px＝8x.]
2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝( )
A．10 B．8
C．6 D．4
B [|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]
3．直线y＝2x－1与抛物线x2＝y的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
C [由得2x2－2x＋1＝0，即Δ＝4－8<0，
∴y＝2x－1与x2＝y无交点，故选C.]
抛物线的几何性质
【例1】 等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是( )
A．8p2 B．4p2
C．2p2 D．p2
B [因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.
由方程组得或
所以易得A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，－2p)．
所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2.]
抛物线各元素间的关系
抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离，为.
1．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )
A．y2＝x B．y2＝－x
C．y2＝±x D．y2＝±x
C [设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又A(取点A在x轴上方)，则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.故选C.]
抛物线的焦点弦问题
【例2】 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
[思路点拨] (1)设出l的方程，与抛物线联立，消去y得关于x的一元二次方程，利用|AB|＝xA＋xB＋p求解．
(2)由代数法或几何法求解．
[解] (1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝，
又F.
所以直线l的方程为y＝.
联立
消去y得x2－5x＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，∴|AB|＝5＋3＝8.
(2)法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，
所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，
又准线方程是x＝－，
所以M到准线的距离等于3＋＝.
法二：如图，作AC⊥l，BD⊥l，ME⊥l，易知|ME|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|＝×9＝.
?1?已知AB是过抛物线y2＝2px?p>0?的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A?x1，y1?，B?x2，y2?，则：
①y1y2＝－p2，x1x2＝；
②|AB|＝x1＋x2＋p＝?θ为直线AB的倾斜角?；
③S△ABO＝?θ为直线AB的倾斜角?；
④＋＝；,⑤以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
?2?当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.
2．过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为－4，求抛物线C的方程．
[解] 由于抛物线的焦点F，故可设直线AB的方程为x＝my＋.由
得y2－2pmy－p2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1y2＝－p2，∴－p2＝－4.
由p>0，可得p＝2.
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
直线与抛物线的位置关系
[探究问题]
1．过点(1,1)与抛物线y2＝x有且只有一个公共点的直线有几条？
提示：两条，如图．
2．借助直线与抛物线的方程组成的方程组解的个数能否说明直线与抛物线的位置关系？
提示：不一定．当有两解或无解时，可以说明两者的关系，但只有一解时，需分清相交还是相切．
【例3】 已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，直线l与抛物线C有：
(1)一个公共点？
(2)两个公共点？
(3)没有公共点？
[思路点拨]
[解] 将直线l和抛物线C的方程联立得
消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)
当k＝0时，方程(*)只有一个解，为x＝，此时y＝1.
∴直线l与抛物线C只有一个公共点，此时直线l平行于x轴．
当k≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2，
①当Δ>0，即k<1且k≠0时，直线l与抛物线C有两个公共点，此时直线l与抛物线C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，直线l与抛物线C有一个公共点，此时直线l与抛物线C相切；
③当Δ<0，即k>1时，直线l与抛物线C没有公共点，此时直线l与抛物线C相离．
综上所述，(1)当k＝1或k＝0时，直线l与抛物线C有一个公共点；
(2)当k<1且k≠0时，直线l与抛物线C有两个公共点；
(3)当k>1时，直线l与抛物线C没有公共点．
直线与抛物线位置关系的判断方法
设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.(1)若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
(2)若k2≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点．
3．求过定点P(0,1)，且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．
[解] 如图所示，若直线的斜率不存在，
则过点P(0,1)的直线方程为x＝0，
由得
即直线x＝0与抛物线只有一个公共点．
若直线的斜率存在，设为k，则过P的直线方程为y＝kx＋1.
由方程组消去y得
k2x2＋2(k－1)x＋1＝0，
当k＝0时，得x＝，y＝1.
故直线y＝1与抛物线相交，只有一个公共点．
当k≠0时，由直线与抛物线只有一个公共点，
则Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，
∴k＝，此时直线y＝x＋1与抛物线相切，只有一个公共点．∴y＝1或y＝x＋1为所求的直线方程．
故所求的直线方程为x＝0或y＝1或y＝x＋1.
1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．
2．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．
3．判断直线与抛物线位置关系的两种方法
(1)几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果．
(2)代数法：设直线l的方程为y＝kx＋m，抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次方程形式：Ax2＋Bx＋C＝0(或Ay2＋By＋C＝0)．
相交：①有两个交点②有一个交点：A＝0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；
相切：有一个公共点，即
相离：没有公共点，即
直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
1．判断正误
(1)在抛物线y2＝2px(p>0)中，p值越大，抛物线的开口越开阔，p值越小，开口越扁狭． ( )
(2)抛物线既是轴对称图形也是中心对称图形． ( )
(3)抛物线的顶点一定在过焦点且与准线垂直的直线上． ( )
(4)直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线相切． ( )
(5)直线与抛物线相交时，直线与抛物线不一定有两个公共点． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√
2．若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A. B.
C. D.
A [线段AB所在的直线的方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1－＝.]
3．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|＝( )
A．5 B．6
C．8 D．10
C [|P1P2|＝y1＋y2＋p＝6＋2＝8，选C.]
4．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标为2，求k的值．
[解] (1)由题意设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，其准线方程为x＝－，因为P(4，m)到焦点的距离等于P到其准线的距离，所以4＋＝6，所以p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x.
(2)由消去y，得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.
因为直线y＝kx－2与抛物线相交于不同的两点A，B，则有k≠0，Δ＝64(k＋1)>0，
解得k>－1且k≠0.
又＝＝2，
解得k＝2或k＝－1(舍去)，所以k的值为2.
课时分层作业(十二)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y
C [依题意设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则2p＝8，所以抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.]
2．过点(2,4)的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
B [点(2,4)在抛物线y2＝8x上，则过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点，故选B.]
3．以抛物线y2＝2px(p>0)的焦半径为直径的圆与y轴的位置关系是( )
A．相交 B．相离
C．相切 D．不确定
C [如图，取AF中点C，作CN⊥y轴，AM⊥y轴，可得|CN|＝|AF|.故选C.]
4．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．2 B．2
C．2 D．2
B [设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)，
即y＝－2x＋2.
由
得x2－4x＋1＝0，
∴x1＋x2＝4，x1·x2＝1.
∴|AB|＝＝＝＝2.]
5．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A. B.
C. D.
D [易知抛物线中p＝，焦点F，直线AB的斜率k＝，故直线AB的方程为y＝，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－x＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，结合图象(图略)可得O到直线AB的距离d＝·sin 30°＝，所以△OAB的面积S＝|AB|·d＝.]
二、填空题
6．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是________．
[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线2x2＝y，可得p＝，
∵|AB|＝y1＋y2＋p＝4，
∴y1＋y2＝4－＝，
故AB的中点的纵坐标是＝.]
7．已知抛物线y2＝x，则弦长为定值1的焦点弦有________条．
2 [因为通径的长2p为焦点弦长的最小值，所以给定弦长a，若a>2p，则焦点弦存在两条；若a＝2p，则焦点弦存在一条；若a<2p，则焦点弦不存在．由y2＝x知p＝，则通径长2p＝，因为1>，所以弦长为定值1的焦点弦有2条．]
8．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
2 [设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则x1＋x2＋p＝8.
设直线AB的方程为y＝x－，
联立y2＝2px，得x2－3px＋＝0，
∴x1＋x2＝3p.∴3p＋p＝8，即p＝2.]
三、解答题
9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．
[解] 设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，A(x0，y0)，
由题知M.
∵|AF|＝3，∴y0＋＝3.
∵|AM|＝，
∴x＋＝17，
∴x＝8，代入方程x＝2py0得，
8＝2p，解得p＝2或p＝4.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
10．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(2，－4)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)若点B(0,2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．
[解] (1)由抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(2，－4)，可得16＝4p，解得p＝4.所以抛物线C的方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.
(2)①当直线l的斜率不存在时，x＝0符合题意．
②当直线l的斜率为0时，y＝2符合题意．
③当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y＝kx＋2.
由得ky2－8y＋16＝0，
由Δ＝64－64k＝0得k＝1，此时直线l的方程为x－y＋2＝0.
综上可知，所求直线方程为：x＝0或y＝2或x－y＋2＝0.
[能力提升练]
1．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )
A．y2＝3x B．y2＝9x
C．y2＝x D．y2＝x
A [作AM，BN分别垂直准线于点M，N(图略)，
则|BN|＝|BF|，|AM|＝|AF|.
又|BC|＝2|BF|，得|BC|＝2|BN|，
∴∠NCB＝30°，
∴|AC|＝2|AM|＝2|AF|＝6.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|BF|＝x，
则2x＋x＋3＝6，得x＝1，
而x1＋＝3，x2＋＝1，
且x1x2＝，
∴＝，∴p＝.
得抛物线方程为y2＝3x.]
2．过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若|MN|＝|AB|，则l的斜率为( )
A. B.
C. D．1
B [设抛物线的准线为m，分别过点A，N，B作AA′⊥m，NN′⊥m，BB′⊥m，垂足分别为A′，N′，B′(图略)．因为直线l过抛物线的焦点，所以|BB′|＝|BF|，|AA′|＝|AF|.又N是线段AB的中点，|MN|＝|AB|，所以|NN′|＝(|BB′|＋|AA′|)＝(|BF|＋|AF|)＝|AB|＝|MN|，所以∠MNN′＝60°，则直线MN的倾斜角是120°.又MN⊥l，所以直线l的倾斜角是30°，斜率是.故选B.]
3．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．
y2＝4x [设抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则，②－①整理得＝.
又＝1，y1＋y2＝4，所以2p＝4.
因此抛物线C的方程为y2＝4x.]
4．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是_____________________．
32 [y＝4x1，y＝4x2，则y＋y＝4(x1＋x2)．
若过点P(4,0)的直线垂直于x轴，则直线方程为x＝4，
此时x1＋x2＝8，y＋y＝32，
若过点P(4,0)的直线存在斜率，则设直线方程为y＝k(x－4)，由得k2x2－(8k2＋4)x＋16k2＝0，
则x1＋x2＝8＋>8，此时y＋y>32.
因此y＋y的最小值为32.]
5．已知点A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB.
(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积．
(2)求证：直线AB过定点．
[解] (1)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则有kOA＝，kOB＝.
因为OA⊥OB，所以kOA·kOB＝－1，
所以x1x2＋y1y2＝0.
因为y＝2px1，y＝2px2，所以·＋y1y2＝0.
因为y1≠0，y2≠0，所以y1y2＝－4p2，所以x1x2＝4p2.
(2)证明：因为y＝2px1，y＝2px2，
两式相减得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，
所以＝，
所以kAB＝，
故直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)，
所以y＝＋y1－，
即y＝＋.
因为y＝2px1，y1y2＝－4p2，
代入整理得y＝＋，
所以y＝(x－2p)，
即直线AB过定点(2p,0)．
