课件43张PPT。第三章 导数及其应用3.1 变化率与导数
3.1.1 变化率问题
3.1.2 导数的概念斜率函数值自变量平均变化率 瞬时变化率 求函数的平均变化率 求瞬时速度 求函数在某点处的导数 点击右图进入…Thank you for watching !
3.1 变化率与导数
3.1.1 变化率问题
3.1.2 导数的概念
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解导数概念的实际背景．(难点)
2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)
3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)
1.通过学习导数概念，培养学生数学抽象的素养．
2．借助导数的定义求函数在某点的导数，培养数学运算的素养.
1．函数的平均变化率
(1)定义式：＝.
(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．
(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率＝表示割线P1P2的斜率．
思考：Δx，Δy的取值一定是正数吗？
[提示] Δx≠0，Δy∈R.
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
(1)定义式： ＝ .
(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值．
(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．
3．函数f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|，即f′(x0)＝ ＝ .
1．下列说法错误的是( )
A．函数的平均变化率可以大于零
B．函数的平均变化率可以小于零
C．函数的平均变化率可以等于零
D．函数的平均变化率不能等于零
D [函数的平均变化率为，显然其值是可正、可负、可为零的，故选D.]
2．已知函数f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )
A．0.40 B．0.41
C．0.43 D．0.44
B [Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2.12－4＝0.41.]
3．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度为( )
A．0.41 B．3
C．4 D．4.1
D [＝＝4.1.]
求函数的平均变化率
【例1】 (1)若函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则＝( )
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
(2)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为__________．
(3)球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为__________．
(1)C (2)<< (3)π [(1)Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－(2×12－1)
＝2(Δx)2＋4Δx
∴＝2Δx＋4，故选C.
(2)由题意知，＝kOA，＝kAB，＝kBC.
根据图象知<<.
(3)ΔV＝π×23－π×13＝π.
∴＝π.]
?1?求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1.
第二步，求函数值的增量Δy＝f?x2?－f?x1?.
第三步，求平均变化率＝.
?2?求平均变化率的一个关注点,求点x0附近的平均变化率，可用的形式.
1．已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在[1,2]和[3,5]上的平均变化率，并比较两个区间上变化的快慢．
[解] 自变量x从1变化到2时，函数f(x)的平均变化率为＝＝.
自变量x从3变化到5时，函数f(x)的平均变化率为＝＝.由于<，
所以函数f(x)＝x＋在[3,5]的平均变化比在[1,2]的平均变化快．
求瞬时速度
【例2】 一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．
[解] (1)当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，
∴Δs＝s(Δt)－s(0)
＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)
＝3Δt－(Δt)2.
∴＝＝3－Δt，
＝ (3－Δt)＝3.
∴物体的初速度为3.
(2)取一时间段[2,2＋Δt]，
∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)
＝－Δt－(Δt)2，
＝＝－1－Δt，
＝ (－1－Δt)＝－1，
∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.
1．求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．
(2)求平均速度＝.
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度．
2．求(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法
(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．
(2)求出的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．
2．一质点按规律s(t)＝at2＋2t＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝1 s时的瞬时速度为4 m/s，求常数a的值．
[解] ∵Δs＝s(1＋Δt)－s(1)
＝[a(1＋Δt)2＋2(1＋Δt)＋1]－(a＋3)
＝a·(Δt)2＋(2a＋2)·Δt，∴＝a·Δt＋2a＋2.
在t＝1 s时，瞬时速度为 ＝2a＋2，
即2a＋2＝4，∴a＝1.
求函数在某点处的导数
[探究问题]
1．等式 ＝ 成立吗？
提示：成立．
2．若 ＝3，则 等于多少？
提示： ＝ ＝3.
【例3】 (1)函数y＝在x＝1处的导数为__________．
(2)如果一个质点由定点A开始运动，在时间t的位移函数为y＝f(t)＝t3＋3，
①当t1＝4，Δt＝0.01时，求Δy和比值；
②求t1＝4时的导数．
[思路点拨] (1)→→
(2)①→
②→→
(1) [Δy＝－1，
＝＝，
＝，
所以y′|x＝1＝.]
(2)[解] ①Δy＝f(t1＋Δt)－f(t1)＝3t·Δt＋3t1·(Δt)2＋(Δt)3，故当t1＝4，Δt＝0.01时，Δy＝0.481 201，＝48.120 1.
② ＝ [3t＋3t1·Δt＋(Δt)2]＝3t＝48，
故函数y＝t3＋3在t1＝4处的导数是48，
即y′|t1＝4＝48.
求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤
简称：一差、二比、三极限．
提醒：当对取极限时，一定要把变形到当Δx→0时，分母是一个非零常数的形式．
3．(1)函数f(x)＝在x＝1处的导数为________．
(2)已知函数f(x)在x＝x0处的导数为4，
则 ＝________.
(1)－ (2)8 [(1)因为＝
＝
＝＝，
所以f′(1)＝ ＝ ＝－.
(2)
＝
＝2 ＝2f′(x0)＝2×4＝8.]
1．理解平均变化率要注意以下几点：
(1)平均变化率表示点(x1，f(x1))与点(x2，f(x2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．
(2)为求点x0附近的平均变化率，上述表达式常写为的形式．
(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx取值越小，越能准确体现函数的变化情况．
2．利用导数定义求导数时要特别注意：
(1)取极限前，要注意化简，保证使Δx→0时分母不为0.
(2)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关．
1．判断正误
(1)平均变化率等于0时，说明函数没有发生变化． ( )
(2)函数f(x)在x0处的导数实质就是函数f(x)在x0处的瞬时变化率．
( )
(3)函数f(x)在x0处的导数与Δx无关，只与x0有关． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．函数f(x)在x0处可导，则 ( )
A．与x0，h都有关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．与x0，h均无关
[答案] B
3．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于( )
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
C [＝＝＝4＋2Δx.]
4．一质点按规律s(t)＝2t2运动，则在t＝2时的瞬时速度为__________．
8 [s(2＋Δt)－s(2)＝2(2＋Δt)2－2×22
＝2(Δt)2＋8Δt.
∴ ＝ ＝ (2Δt＋8)＝8.]
5．求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数．
[解] Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16Δx，
∴＝＝2Δx＋16.
y′|x＝3＝ ＝ (2Δx＋16)＝16.
课时分层作业(十三)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1.如图所示，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
B [＝＝＝－1.]
2．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数y＝f(x)的图象上，若函数f(x)从x1到x2的平均变化率为，则下面叙述正确的是 ( )
A．曲线y＝f(x)的割线AB的倾斜角为
B．曲线y＝f(x)的割线AB的倾斜角为
C．曲线y＝f(x)的割线AB的斜率为－
D．曲线y＝f(x)的割线AB的斜率为－
B [函数f(x)从x1到x2的平均变化率就是割线AB的斜率，所以kAB＝，割线AB的倾斜角为，选B.]
3．若质点A按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( )
A．6 B．18
C．54 D．81
B [因为＝＝＝18＋3Δt，所以 ＝18.]
4．已知物体作自由落体运动的位移方程为s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝，当Δt趋于0时，v趋近于9.8 m/s，则9.8 m/s是 ( )
A．物体从0 s到1 s这段时间的平均速度
B．物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间的平均速度
C．物体在t＝1 s这一时刻的瞬时速度
D．物体在t＝Δt s这一时刻的瞬时速度
C [由瞬时速度的定义可知选C.]
5．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
C [因为＝＝a＋bΔx，所以f′(x0)＝ ＝ (a＋bΔx)＝a.]
二、填空题
6．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)在[－2，1]上的平均变化率为__________；函数f(x)在[－2，3]上的平均变化率为__________．
[从题图中可以看出f(－2)＝－1，f(1)＝1，f(3)＝3，所以函数f(x)在[－2,1]上的平均变化率为＝＝，函数f(x)在[－2,3]上平均变化率为＝＝.]
7．国家环保局在规定的排污达标的日期前对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示．治污效果更好的企业是(其中W表示排污量)__________．
甲企业 [＝，在相同的时间内，由图可知甲企业的排污量减少的多，∴甲企业的治污效果更好．]
8．对于函数y＝，其导数值等于函数值的点是________．
[设导数值等于函数值的点是(x0，f(x0))，
则f′(x0)＝
＝ ＝－.
由题意知f′(x0)＝f(x0)，
即－＝，
解得x0＝－2，从而y0＝.]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.
(1)求当x1＝4，且Δx＝1时，函数增量Δy和平均变化率；
(2)求当x1＝4，且Δx＝0.1时，函数增量Δy和平均变化率.
[解] f(x)＝2x2＋3x－5，
∴Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)
＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2×x＋3×x1－5)
＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx
＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.
(1)当x1＝4，Δx＝1时，Δy＝2＋(4×4＋3)×1＝21，
∴＝＝21.
(2)当x1＝4，Δx＝0.1时，
Δy＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92，
∴＝＝19.2.
10．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，已知关系式为T(t)＝＋15，其中T(t)(单位：℃)为蜥蜴的体温，t(单位：min)为太阳落山后的时间．
(1)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？
(2)从t＝0到t＝10，蜥蜴体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
(3)求T′(5)，并解释它的实际意义．
[解] (1)T(10)－T(0)＝＋15－＝－16，
即从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了16 ℃.
(2)从t＝0到t＝10,
蜥蜴的体温的平均变化率是＝＝－1.6 ℃/min，
它表示从t＝0到t＝10这段时间内，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃.
(3)因为＝＝－，
所以当Δt趋近于0时，－趋近于－1.2，
即T′(5)＝－1.2，
它表示当t＝5时，蜥蜴体温的下降速度为1.2 ℃/min.
[能力提升练]
1．函数y＝x2在x0到x0＋Δx(Δx>0)之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是( )
A．k1>k2 B．k1C．k1＝k2 D．不确定
A [k1＝
＝
＝2x0＋Δx，
k2＝＝
＝2x0－Δx，
因为Δx>0，所以k1>k2.]
2．设函数f(x)在x＝2处的导数存在，则 ＝( )
A．－2f′(2) B．2f′(2)
C．－f′(2) D.f′(2)
C [因为函数f(x)在x＝2处的导数存在，所以 ＝－ ＝－f′(2)．]
3．如图所示，水波的半径以1 m/s的速度向外扩张，当半径为5 m时，水波面的圆面积的膨胀率是__________m2/s.
10π [圆的半径r与时间t的关系为r＝t m，则圆的面积y＝πr2＝πt2，当r＝5 m时，t＝5 s，
Δy＝π(5＋Δt)2－π×52＝π(Δt)2＋10πΔt，
＝πΔt＋10π，所以y′|t＝5＝ (πΔt＋10π)＝10π.]
4．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 ＝－1，则f′(0)等于________．
－1 [f(x)的图象过原点，∴f(0)＝0，又 ＝－1，∴ ＝－1，∴f′(0)＝－1.]
5．若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)s＝.求：
(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
[解] (1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3,5]内的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为＝＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0的瞬时速度．
∵物体在t＝0附近的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－18，
∴物体在t＝0处的瞬时变化率为
＝ (3Δt－18)＝－18，
即物体的初速度为－18 m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．
∵物体在t＝1附近的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－12.
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为
＝＝ (3Δt－12)＝－12.
即物体在t＝1时的速度为－12 m/s.
