课件43张PPT。第三章 导数及其应用3.1 变化率与导数
3.1.3 导数的几何意义直线PT 导数的几何意义 求切点坐标 求曲线的切线方程 点击右图进入…Thank you for watching !3.1.3 导数的几何意义
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点)
2．理解导函数的概念，会求简单函数的导函数．(重点)
3．理解在某点处与过某点的切线方程的区别．(难点、易混点)
1.通过学习导数的几何意义，培养学生数学抽象的素养．
2．借助导数的几何意义解题，培养学生的数学运算素养.
1．导数的几何意义
(1)切线的概念：如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．
(1) (2)
(3) (4)
(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，则k＝ ＝f′(x0)．
(3)切线方程：
曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
思考：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？
[提示] 不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．
2．导函数的概念
(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．
(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝ .
1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝( )
A．4 B．－4
C．－2 D．2
D [由导数的几何意义知f′(1)＝2，故选D.]
2．已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为________．
45° [设切线的倾斜角为α，则tan α＝f′(x0)＝1，又α∈[0°，180°)，∴α＝45°.]
3．若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________．
x＋y－3＝0 [切线的斜率为k＝－1.
∴点A(1,2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.]
导数的几何意义
【例1】 (1)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
(2)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
(1)B (2)A [(1)由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)(2)由题意，知k＝y′|x＝0
＝ ＝1，
∴a＝1.
又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.]
1．本例(2)中主要涉及了两点：①f′(0)＝1，②f(0)＝b.
2．解答此类问题的关键是理解导数的几何意义．
3．与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．
1．(1)设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )
A．1 B.
C．－ D．－1
(2)如图所示，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于( )
A．－4 B．3
C．－2 D．1
(1)A (2)D [(1)由题意可知，f′(1)＝2.
又 ＝
＝ (aΔx＋2a)＝2a.故由2a＝2得a＝1.
(2)直线l的方程为＋＝1，即x＋y－4＝0.
又由题意可知f(2)＝2，f′(2)＝－1，
∴f(2)＋f′(2)＝2－1＝1.]
求切点坐标
【例2】 在曲线y＝x2上求一点，使得在该点处的切线：
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)倾斜角为135°.
分别求出满足上述条件的点的坐标．
[思路点拨] 先求出函数的导函数f′(x)，再设切点(x0，y0)，由导数的几何意义知切点(x0，y0)处的切线的斜率为f′(x0)，然后根据题意列方程，解关于x0的方程即可求出x0，又点(x0，y0)在曲线y＝x2上，易得y0.
[解] 设y＝f(x)，则f′(x)＝ ＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.设P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，所以2x0＝4，解得x0＝2，所以y0＝4，即P(2,4)．
(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，且直线2x－6y＋5＝0的斜率为，所以2x0·＝－1，解得x0＝－，所以y0＝，即P.
(3)因为切线的倾斜角为135°，所以切线的斜率为－1，即2x0＝－1，解得x0＝－，所以y0＝，即P.
解答此类题目时，所给直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等.
2．已知抛物线y＝2x2＋1，求
(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?
(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?
[解] 设切点坐标为(x0，y0)，则
Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，
∴＝4x0＋2Δx，
∴y′|＝ ＝ (4x0＋2Δx)＝4x0.
(1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴斜率为4，
即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，
该点为(1,3)．
(2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，
∴斜率为8，
即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，
该点为(2,9)．
求曲线的切线方程
[探究问题]
1．如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？
提示：根据导数的几何意义，求出函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程．
2．曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？
提示：曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．
【例3】 已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；
(2)求曲线C过点(1,1)的切线方程．
[思路点拨] (1)―→―→
(2)―→―→―→
[解] (1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，
∴切点P(1,1)．y′|x＝1＝ ＝
＝[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3.
∴k＝y′|x＝1＝3.
∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
(2)设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知y′|x＝x0＝3x，由题意可知kPQ＝y′|，即＝3x，又y0＝x，所以＝3x，即2x－x0－1＝0，解得x0＝1或x0＝－.
①当x0＝1时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0.
②当x0＝－时，切点坐标为，相应的切线方程为y＋＝，即3x－4y＋1＝0.
(变结论)本例第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
[解] 由
解得或
从而求得公共点为P(1,1)或M(－2，－8)，即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)．
1．求曲线在某点处的切线方程的步骤
2.求过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的步骤
(1)设切点(x0，y0)；
(2)求f′(x0)，写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)；
(3)将点(x1，y1)代入切线方程，解出x0，y0及f′(x0)；
(4)写出切线方程．
1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝ ＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．
2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．
3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
1．判断正误
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点x＝x0处切线的斜率． ( )
(2)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在． ( )
(3)f′(x0)(或y′|x＝x0)是函数f′(x)在点x＝x0处的函数值． ( )
(4)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( )
A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＜0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
B [由x＋2y－3＝0知，斜率k＝－，
∴f′(x0)＝－＜0.]
3．曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为________．
x＋2y＋4＝0 [f′(－2)＝
＝ ＝ ＝－，
∴切线方程为y＋1＝－(x＋2)，
即x＋2y＋4＝0.]
4．已知直线y＝4x＋a和曲线y＝x3－2x2＋3相切，求切点坐标及a的值．
[解] 设直线l与曲线相切于点P(x0，y0)，则f′(x)＝ ＝3x2－4x.
由导数的几何意义，得k＝f′(x0)＝3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2，
∴切点坐标为或(2,3)．
当切点为时，
有＝4×＋a，
∴a＝.
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，
∴a＝－5，
因此切点坐标为或(2,3)，
a的值为或－5.
课时分层作业(十四)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标为(1,2)，则f′(1)的值为( )
A．1 B．0
C．－1 D．2
B [∵二次函数f(x)的图象的顶点坐标为(1,2)，∴过点(1,2)的切线平行于x轴，即切线的斜率为0，∴f′(1)＝0，选B.]
2．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于( )
A．2 B．4
C．6＋6Δx＋2(Δx)2 D．6
D [∵y＝2x3，∴y′＝ ＝
＝2
＝2 [(Δx)2＋3xΔx＋3x2]＝6x2.
∴y′＝6.∴点A(1,2)处切线的斜率为6.]
3．曲线f(x)＝－在点M(1，－2)处的切线方程为( )
A．y＝－2x＋4 B．y＝－2x－4
C．y＝2x－4 D．y＝2x＋4
C [＝＝，所以当Δx→0时，f′(1)＝2，即k＝2.所以切线方程为y＋2＝2(x－1)．即y＝2x－4.]
4．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是( )
A．(0,0) B．(2,4)
C. D.
D [∵y＝x2，
∴k＝y′＝ ＝
＝ (2x＋Δx)＝2x，
∴2x＝tan＝1，∴x＝，则y＝.]
5．若曲线y＝x2上的点P处的切线与直线y＝－x＋1垂直，则过点P处的切线方程为( )
A．2x－y－1＝0 B．2x－y－2＝0
C．x＋2y＋2＝0 D．2x－y＋1＝0
A [与直线y＝－x＋1垂直的直线的斜率为k＝2.
由y＝x2知，y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.
设点P的坐标为(x0，y0)，则2x0＝2，即x0＝1，故y0＝1.
所以过P(1,1)且与直线y＝－x＋1垂直的直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.]
二、填空题
6．已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)在A，B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为：f′(a)________f′(b)(填“<”或“>”)．
> [f′(a)与f′(b)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率．
由图象可得f′(a)>f′(b)．]
7．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________．
(3,30) [设点P(x0,2x＋4x0)，
则f′(x0)＝
＝ ＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30)．]
8．已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，则f(1)＋2f′(1)＝__________.
2 [∵(1，f(1))在直线x－2y＋1＝0上，∴1－2f(1)＋1＝0，∴f(1)＝1.又f′(1)＝，∴f(1)＋2f′(1)＝1＋2×＝2.]
三、解答题
9．已知曲线y＝x3上一点P，求：
(1)点P处的切线的斜率；
(2)点P处的切线方程．
[解] (1)由y＝x3，得
y′＝
＝
＝
＝[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝x2，
y′|x＝2＝22＝4.
所以点P处的切线的斜率等于4.
(2)在点P处的切线方程为
y－＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0.
10．已知曲线y＝2x2－7，求：
(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?
(2)过点P(3,9)与曲线相切的切线方程．
[解] y′＝ ＝ ＝
(4x＋2Δx)＝4x.
(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，
∴切点坐标为(1，－5)．
(2)由于点P(3,9)不在曲线上．
设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，
故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．
将P(3,9)及y0＝2x－7代入上式，
得9－(2x－7)＝4x0(3－x0)，
解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．
从而所求切线方程为8x－y－15＝0和16x－y－39＝0.
[能力提升练]
1．设f(x)存在导函数，且满足 ＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
B [
＝ ＝f′(1)＝－1.]
2．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为( )
A. B．[－1,0]
C．[0,1] D.
A [设P点的横坐标为m，先求出函数y＝x2＋2x＋3在此处的导数．
＝
＝＝2m＋2＋Δx，
当Δx→0时，→2m＋2.∴f′(m)＝2m＋2.
由于倾斜角的取值范围为，
∴0≤2m＋2≤1?－1≤m≤－.]
3．如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝__________； ＝__________.(用数字作答)
2 －2 [由图象知f(0)＝4，f(4)＝2，故f(f(0))＝2，
又f′(1)＝ ＝kAB，且kAB＝－2，
故 ＝－2.]
4．已知曲线f(x)＝，g(x)＝，过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为________．
x－2y＋1＝0 [由得
∴两曲线的交点坐标为(1,1)．
由f(x)＝，
得f′(1)＝ ＝ ＝，
∴y＝f(x)在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(x－1)．
即x－2y＋1＝0.]
5．已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
[解] 由＝＝2x＋Δx，
得y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.
设切点为P(x0，y0)，则切线斜率为k＝y′|x＝x0＝2x0，
由点斜式得所求切线方程为：
y－y0＝2x0(x－x0)．
又因为切线过点(1，a)，且y0＝x＋1，
所以a－(x＋1)＝2x0(1－x0)，
即x－2x0＋a－1＝0.因为切线有两条，
所以Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.
故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，且a的取值范围是(－∞，2)．
