3.2 导数的计算
3.2.1 几个常用函数的导数
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．
2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．(重点、难点)
借助导数的定义求几个常用函数的导数，培养逻辑推理及数学运算的素养.
1．几个常用函数的导数
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝0
f(x)＝x
f′(x)＝1
f(x)＝x2
f′(x)＝2x
f(x)＝
f′(x)＝－
思考：根据上述四个公式，你能总结出函数y＝xα的导数是什么吗？
[提示] 若y＝xα，则y′＝αxα－1.
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
f′(x)＝axln_a(a>0)
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
f′(x)＝(a>0，且a≠1)
f(x)＝ln x
f′(x)＝
1．函数f(x)＝0的导数是( )
A．0 B．1
C．不存在 D．不确定
A [由基本初等函数的导数公式知(0)′＝0，故选A.]
2．已知函数f(x)＝，则f′(2)＝( )
A．4 B．
C．－4 D．－
D [f′(x)＝－，所以f′(2)＝－＝－，故选D.]
3．求下列函数的导数．
(1)(2x)′＝________；(2)(log3 x)′＝________；
(3)(sin 30°)′＝________；(4)′＝________.
[答案] (1)2xln 2 (2) (3)0 (4)－
利用导数公式求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数．
(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝2sin cos ；
(4)y＝logx；(5)y＝3x.
[解] (1)y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
(2)y′＝()′＝(x)′＝x＝x＝.
(3)∵y＝2sin cos ＝sin x，
∴y′＝cos x.
(4)y′＝(logx)′＝＝－.
(5)y′＝(3x)′＝3xln 3.
用导数公式求函数导数的方法
?1?若所求函数是基本初等函数，则直接利用公式求解.
?2?对于不能直接利用公式的类型，关键是将其进行合理转化为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y＝可以写成y＝x－4，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误.
1．求下列函数的导数：
(1)y＝5x；(2)y＝－；
(3)y＝ln 3；(4)y＝x.
[解] (1)y′＝(5x)′＝5xln 5.
(2)y′＝－(x－5)′＝5x－6＝.
(3)y′＝(ln 3)′＝0.
(4)∵y＝x，∴y＝x，
∴y′＝′＝x ＝x＝.
利用导数公式求曲线的切线方程
【例2】 已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
[思路点拨] 直线PQ的斜率?所求切线的斜率?切点坐标?所求切线方程．
[解] 因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0，
又因为PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝.
所以切点为M.
所以所求切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
1．本例中，是否存在与直线PQ垂直的切线？若存在，求出切线方程，若不存在，说明理由．
[解] 假设存在与直线PQ垂直的切线，因为PQ的斜率为k＝＝1，
所以与PQ垂直的切线斜率k＝－1，
设切点为(x1，y1)，则y′|x＝x1＝2x1，
令2x1＝－1，则x1＝－，y1＝，
切线方程为y－＝－，即4x＋4y＋1＝0.
2．若本例中曲线改为y＝ln x，试求与直线PQ平行的切线方程．
[解] 设切点为(a，b)，因为kPQ＝1，
则由f′(a)＝＝1，得a＝1，故b＝ln 1＝0，则与直线PQ平行的切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：
?1?切点处的导数是切线的斜率；
?2?切点在切线上；
?3?切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.
1．利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．
2．有些函数可先化简再应用公式求导．
如求y＝1－2sin2 的导数．因为y＝1－2sin2 ＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.
3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．
1．判断正误
(1)(log3π)′＝. ( )
(2)若f(x)＝，则f′(x)＝ln x． ( )
(3)因为(sin x)′＝cos x，所以(sin π)′＝cos π＝－1. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．质点的运动方程是s＝(其中s的单位为m，t的单位为s)，则质点在t＝3 s时的速度为( )
A．－4×3－4 m/s B．－3×3－4 m/s
C．－5×3－5 m/s D．－4×3－5 m/s
D [s＝＝t－4，则s′＝－4t－5，从而s′|t＝3＝－4×3－5，故选D.]
3．曲线y＝ex在点(0,1)处的切线方程为__________．
x－y＋1＝0 [y′＝ex，y′|x＝0＝e0＝1，故切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0.]
4．求下列函数的导数．
(1)y＝cos ；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝lg x；(5)y＝cos.
[解] (1)y′＝0.
(2)∵y＝＝x－5，
∴y′＝(x－5)′＝－5x－6＝－.
(3)∵y＝＝x，
∴y′＝′＝x＝.
(4)y′＝.
(5)∵y＝cos＝sin x，
∴y′＝(sin x)′＝cos x．
课件30张PPT。第三章 导数及其应用3.2 导数的计算
3.2.1 几个常用函数的导数
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)012x0 －sin xcos x利用导数公式求函数的导数利用导数公式求曲线的切线方程点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十五)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列结论：
①(sin x)′＝cos x；
②＝x；
③(log3 x)′＝；
④(ln x)′＝.
其中正确的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
C [①④正确，②＝x；③(log3 x)′＝.故选C.]
2．曲线y＝ln x在x＝1处切线的倾斜角为( )
A．1 B．－
C． D．
C [∵y＝ln x，∴y′＝，∴y′|x＝1＝1，设倾斜角为α，则tan α＝1，∴α＝，故选C.]
3．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．不确定
B [f′(x)＝3x2，由3x2＝3得x＝±1，故选B.]
4．若函数f(x)＝cos x，则f′＋f的值为( )
A．0 B．－1
C．1 D．2
A [f′(x)＝－sin x，则f′＝－sin ＝－，f＝cos ＝.故f′＋f＝0.]
5．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为 ( )
A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
A [由题意，知切线l的斜率k＝4，设切点坐标为(x0，y0)，则k＝4x＝4，∴x0＝1，∴切点为(1,1)，所以l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.]
二、填空题
6．已知f(x)＝，g(x)＝mx，且g′(2)＝，则m＝________.
－4 [∵f′(x)＝－，g′(x)＝m，又g′(2)＝，∴m＝－4.]
7．设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝__________.
e－1 [f′(x)＝，则f′(1)＝＝－1，即ln a＝－1.
所以a＝e－1.]
8．曲线y＝ln x在点M(e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为__________．
x－ey＝0 [y′＝，则y′|x＝e＝，即切线的斜率为，切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.]
三、解答题
9．求抛物线y＝x2过点的切线方程．
[解] 设此切线过抛物线上的点(x0，x)．
由导数的意义知此切线的斜率为2x0，
又因为此切线过点和点(x0，x)，
所以＝2x0.
由此x0应满足x－5x0＋6＝0，解得x0＝2或3.
即切线过抛物线y＝x2上的点(2,4)或(3,9)．
所以所求切线方程分别为
y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)．
化简得y＝4x－4，y＝6x－9.
10．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
[解] 根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线，对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则y′|x＝x0＝2x0＝1，所以x0＝，所以切点坐标为，
切点到直线x－y－2＝0的距离
d＝＝，
所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.
[能力提升练]
1．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为( )
A．2 B．ln 2＋1
C．ln 2－1 D．ln 2
C [∵y＝ln x的导数y′＝，
∴令＝，得x＝2，
∴切点为(2，ln 2)．
代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1.]
2．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为( )
A. B.
C. D．1
B [对y＝xn＋1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)xn.令x＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，
∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(xn－1)．
令y＝0，得xn＝，
∴x1·x2·…·xn＝×××…××＝，故选B.]
3．若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________.
64 [∵y＝x－，∴y′＝－x－，
∴曲线在点(a，a－)处的切线斜率k＝－a－，
∴切线方程为y－a－
＝－a－(x－a)．
令x＝0得y＝a－；令y＝0得x＝3a.
∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝·3a·a－＝a＝18，
∴a＝64.]
4．已知函数f(x)＝，若f′(a)＝12，则实数a的值为__________．
或－2 [f′(x)＝，若f′(a)＝12，则或解得a＝或a＝－2.]
5．已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使得在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
[解] 不存在，理由如下：
由于y1＝sin x，y2＝cos x，所以y′1＝cos x，y′2＝－sin x.
设两条曲线的一个公共点为点P(x0，y0)，
所以两条曲线在点P(x0，y0)处的切线斜率分别为
k1＝cos x0，k2＝－sin x0.
若两条切线互相垂直，则cos x0·(－sin x0)＝－1，
即sin x0·cos x0＝1，∴sin 2x0＝2，显然不成立，
所以这两条曲线不存在这样的公共点，使得在这一点处的两条切线互相垂直.
