课件35张PPT。第三章 导数及其应用3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)利用导数的运算法则求导数 与切线有关的求导问题 利用导数求函数解析式点击右图进入…Thank you for watching !3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．
2．能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．(重点、难点)
借助导数公式及运算法则求函数的导数，培养数学运算素养.
导数的运算法则
(1)设两个函数f(x)，g(x)可导，则
和的导数
[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)
差的导数
[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)
积的导数
[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
商的导数
′＝(g(x)≠0)
(2)常数与函数的积的导数
[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数)
思考：根据商的导数的运算法则，试求函数y＝的导数．
[提示] y′＝＝＝－.
1．函数y＝x·ln x的导数是( )
A．x B.
C．ln x＋1 D．ln x＋x
C [y′＝(x)′×ln x＋x×(ln x)′＝ln x＋1.]
2．函数y＝x4＋sin x的导数为( )
A．y′＝4x3 B．y′＝cos x
C．y′＝4x3＋sin x D．y′＝4x3＋cos x
D [y′＝(x4)′＋(sin x)′＝4x3＋cos x．]
3．函数y＝的导数为__________．
y′＝－ [y′＝＝－.]
利用导数的运算法则求导数
【例1】 求下列函数的导数：
(1)y＝＋sin cos ；
(2)y＝x＋2；
(3)y＝cos xln x；
(4)y＝.
[解] (1)y′＝
＝(x－2)′＋
＝－2x－3＋cos x
＝－＋cos x.
(2)y′＝
＝(x3)′－－(6x)′＋(2)′
＝3x2－3x－6.
(3)y′＝(cos xln x)′
＝(cos x)′ln x＋cos x(ln x)′
＝－sin xln x＋.
(4)y′＝＝
＝＝.
利用导数运算法则的策略
?1?分析待求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式.
?2?如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等.
?3?利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导.
1．求下列函数的导数．
(1)y＝e2x；(2)y＝x2＋log3 x；(3)y＝.
[解] (1)y＝e2x＝ex·ex，∴y′＝(ex)′·ex＋ex·(ex)′＝2e2x.
(2)y＝x2＋log3 x，∴y′＝2x＋.
(3)y＝，∴y′＝.
与切线有关的求导问题
【例2】 (1)设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于( )
A．2 B．
C．－ D．－2
(2)若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标为__________．
[思路点拨] (1)切线与直线ax＋y＋1＝0垂直?切线的斜率为.(2)切线与直线2x－y＋1＝0平行?切线的斜率为2.
(1)D (2)(e，e) [(1)y′＝′
＝＝，
则y′|x＝3＝－，又切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，
故＝－，所以a＝－2，故选D.
(2)设P(x0，y0)，由y′＝(xln x)′＝ln x＋1，得
y′|x＝x0＝ln x0＋1，由题意知ln x0＋1＝2，
解得x0＝e，y0＝e，故P(e，e)．]
关于求导法则的综合应用
?1?此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系.
?2?准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确.
提醒：分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上则要设出切点.
2．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．
[答案] y＝3x
利用导数求函数解析式
[探究问题]
对于函数y＝f(x)而言，f′(x)与f′(a)相同吗？
提示：不同，f′(x)是函数y＝f(x)的导数，而f′(a)是f′(x)在x＝a处的函数值．
【例3】 (1)已知函数f(x)＝＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；
(2)设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcos x.
[思路点拨]
(1)―→―→―→
(2)―→
[解] (1)由题意得f′(x)＝＋2f′(1)，
令x＝1，得f′(1)＝＋2f′(1)．
则f′(1)＝－1.
所以f(x)＝－2x，
得f(e)＝－2e＝－2e，
f(1)＝－2，
由f(e)－f(1)＝－2e＋2<0，
得f(e)(2)由已知f′(x)＝[(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x]′
＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cos x]′
＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′cos x＋(cx＋d)(cos x)′
＝asin x＋(ax＋b)cos x＋ccos x－(cx＋d)sin x
＝(a－cx－d)sin x＋(ax＋b＋c)cos x.
又∵f′(x)＝xcos x，
∴即
解得a＝d＝1，b＝c＝0.
解答此类问题的关键是准确求导，然后借助恒等式等方程思想求解相应参数.
3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝( )
A．－e B．－1
C．1 D．e
B [∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x，
∴f′(x)＝2f′(1)＋，
又f′(1)＝2f′(1)＋1，
∴f′(1)＝－1，故选B.]
求函数的导数要准确把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题．
1．判断正误
(1)[x2f(x)]′＝2xf′(x)． ( )
(2) ＝. ( )
(3) ＝sin x． ( )
(4)(ln 5x)′＝. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．已知f(x)＝x3＋3x＋ln 3，则f′(x)为( )
A．3x2＋3x B．3x2＋3xln 3＋
C．3x2＋3xln 3 D．x3＋3xln 3
C [f′(x)＝(x3)′＋(3x)′＋(ln 3)′＝3x2＋3xln 3，故选C.]
3．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象过点(1,5)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式为____________．
f(x)＝2x3－9x2＋12x [因为f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，f′(1)＝0，f′(2)＝0，f(1)＝5，所以
解得
故函数f(x)的解析式是f(x)＝2x3－9x2＋12x.]
4．设f(x)＝ax2－bsin x，且f′(0)＝1，f′＝，求a，b的值．
[解] f′(x)＝2ax－bcos x，则
即解得
课时分层作业(十六)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列运算中正确的是( )
A．(ln x－3sin x)′＝(ln x)′－3′·(sin x)′
B．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋bx′
C.＝
D．(cos x·sin x)′＝(sin x)′cos x＋(cos x)′cos x
B [结合导数的运算法则可知B正确．]
2．已知f(x)＝，则f′(x)＝( )
A. B.－1
C．1－ln x D.
D [f′(x)＝＝＝，所以选D.]
3．对于函数f(x)＝＋ln x－，若f′(1)＝1，则k等于( )
A. B.
C．－ D．－
A [f′(x)＝＋＋，
∴f′(1)＝－e＋1＋2k＝1，
∴k＝.]
4．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2
A [∵y′＝＝，
∴k＝y′|x＝－1＝＝2，
∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，
即y＝2x＋1.故选A.]
5．已知曲线y＝，则曲线的切线斜率取得最小值时的切线方程为( )
A．x＋4y－2＝0 B．x－4y＋2＝0
C．4x＋2y－1＝0 D．4x－2y－1＝0
A [y′＝＝，因为ex>0，所以ex＋≥2＝2，当且仅当ex＝，即x＝0时等号成立)，则ex＋＋2≥4，故y′＝≥－(当x＝0时等号成立)．当x＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为，切线的方程为y－＝－·(x－0)，则x＋4y－2＝0.]
二、填空题
6．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)的值为________．
－ [因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋.令x＝2，则f′(2)＝2×2＋3f′(2)＋，即2f′(2)＝－，所以f′(2)＝－.]
7．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝__________.
2 [设ex＝t，则x＝ln t，故f(t)＝ln t＋t，
从而f(x)＝ln x＋x，由f′(x)＝＋1，得f′(1)＝2.]
8．已知f(x)＝ex－x，则过原点且与曲线y＝f(x)相切的直线方程为__________．
y＝(e－1)x [设切点坐标为(x0，ex0－x0)．由题意，可得切线斜率k＝f′(x0)＝ex0－1，所以切线方程为y＝(ex0－1)x－x0ex0＋ex0.又切线过原点，所以－x0ex0＋ex0＝0，则x0＝1，所以切线方程为y＝(e－1)x.]
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝x3sin x；(2)y＝；(3)y＝cos x＋x；
(4)y＝ln x－；(5)y＝(x＋1)(x－1)(x2＋1)；(6)y＝tan x.
[解] (1)y′＝(x3sin x)′＝(x3)′sin x＋x3(sin x)′＝3x2sin x＋x3cos x.
(2)y′＝＝
＝＝－.
(3)y′＝(cos x＋x)′＝(cos x)′＋(x)′＝－sin x＋x＝－sin x＋.
(4)y′＝＝(ln x)′－＝－ln＝＋ln 2.
(5)由于y＝(x＋1)(x－1)(x2＋1)＝(x2－1)(x2＋1)＝x4－1，所以y′＝(x4－1)′＝4x3.
(6)由于y＝tan x＝，
所以y′＝＝
＝＝.
10．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
[解] 因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，
又因为f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.
令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b.又因为f′(2)＝－b，
所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.
所以f(x)＝x3－x2－3x＋1，f(1)＝－.
又因为f′(1)＝2a＝－3，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.
[能力提升练]
1．设曲线f(x)＝ax－ln x在点(1，f(1))处的切线与y＝2x平行，则a＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
D [f′(x)＝a－，由题意得f′(1)＝2，即a－1＝2，所以a＝3.]
2．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为( )
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
C [∵f(x)＝x2－2x－4ln x，∴f′(x)＝2x－2－>0，
整理得>0，
又因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以x>2.]
3．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________．
1 [∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，
∴f′＝－f′×＋，得f′＝－1.
∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x，∴f＝1.]
4．若曲线f(x)＝acos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b的值为__________．
1 [∵f′(x)＝－asin x，∴f′(0)＝0.又g′(x)＝2x＋b，
∴g′(0)＝b，∴b＝0.又g(0)＝1＝m，∴f(0)＝a＝m＝1，∴a＋b＝1.]
5．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明曲线y＝f(x)上任意一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
[解] (1)f′(x)＝a＋.
又曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0，
∴∴∴
∴f(x)的解析式为f(x)＝x－.
(2)证明：设点为曲线y＝f(x)上任意一点，则切线的斜率k＝1＋，切线方程为y－＝(x－x0)，令x＝0，得y＝－.
由得
∴曲线y＝f(x)上任意一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积S＝|2x0|＝6，为定值.
