课件48张PPT。第三章 导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.1 函数的单调性与导数减增减增平缓快陡峭导数与函数图象的关系 利用导数求函数的单调区间 已知函数的单调性求参数的取值范围 点击右图进入…Thank you for watching !3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.1 函数的单调性与导数
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解函数的单调性与导数的关系．(重点)
2．能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间．(重点)
3．能根据函数的单调性求参数．(难点)
1．通过学习函数单调性与导数的关系，培养学生数学抽象与直观想象的素养．
2．借助导数求函数的单调性，培养逻辑推理和数学运算的素养.
1．函数的单调性与导数的关系
(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：
导数
函数的单调性
f′(x)>0
单调递增
f′(x)<0
单调递减
f′(x)＝0
常函数
(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：
函数的单调性
导数
单调递增
f′(x)≥0
单调递减
f′(x)≤0
常函数
f′(x)＝0
思考：在区间(a，b)内，函数f(x)单调递增是f′(x)>0的什么条件？
[提示] 必要不充分条件．
2．函数的变化快慢与导数的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．
1．函数y＝x3＋x的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
D [y′＝3x2＋1>0，故选D.]
2．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上( )
A．增函数 B．减函数
C．先增后减 D．先减后增
A [∵f(x)＝2x－sin x，∴f′(x)＝2－cos x>0，∴f(x)在R上是增函数．]
3．若函数f(x)的导数f′(x)＝x(x－2)，则f(x)在区间________上单调递减．
[0,2] [∵f′(x)＝x(x－2)，由f′(x)≤0得，0≤x≤2，
∴f(x)在[0,2]上单调递减．]
导数与函数图象的关系
【例1】 (1)f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
(2)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的 ( )
(1)D (2)C [(1)由f′(x)>0(f′(x)<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势．由已知可得x的取值范围和f′(x)的正、负，f(x)的增减变化情况如下表所示：
x
(－∞，0)
(0,2)
(2，＋∞)
f′(x)
＋
－
＋
f(x)
↗
↘
↗
由表可知f(x)在(－∞，0)内递增，在(0,2)内递减，在(2，＋∞)内递增，满足条件的只有D，故选D.
(2)由函数y＝f(x)的图象的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表：
x
(－1，b)
(b，a)
(a,1)
f(x)
↘
↗
↘
f′(x)
－
＋
－
由表可知函数y＝f′(x)的图象，当x∈(－1，b)时，函数图象在x轴下方；当x∈(b，a)时，函数图象在x轴上方；当x∈(a,1)时，函数图象在x轴下方．故选C.]
对于原函数图象，要看其在哪个区间内单调递增，则在此区间内导数值大于零.在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零.根据导数值的正负可判定导函数图象.
1．函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)<0的解集为__________．
∪(2,3) [根据导数和图象单调性的关系知当x∈∪(2,3)时f′(x)<0.]
利用导数求函数的单调区间
【例2】 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝3x2－ln x；
(2)f(x)＝－ax3＋x2＋1(a≤0)．
[思路点拨] ―→―→
―→
[解] (1)函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝6x－＝，
令f′(x)>0，则>0.
又x>0，则6x2－1>0，解得x>.
所以函数的单调增区间为.
令f′(x)<0，则<0，解得0
所以函数的单调减区间为.
(2)因为f′(x)＝－ax2＋2x(a≤0)，
当a＝0时，f′(x)＝2x，函数在(－∞，0)上是递减的，在(0，＋∞)上是递增的，
当a<0时，令f′(x)>0，
则－ax2＋2x>0，解得x>0或x<，
所以函数的单调增区间为，(0，＋∞)．
令f′(x)<0，则－ax2＋2x<0，解得所以函数的单调减区间为.
综上，当a＝0时，函数在(－∞，0)上是递减的，在(0，＋∞)上是递增的；
当a<0时，函数在和(0，＋∞)上是递增的，在上是递减的．
利用导数求函数f?x?的单调区间的一般步骤
?1?确定函数f?x?的定义域；
?2?求导数f′?x?；
?3?在函数f?x?的定义域内解不等式f′?x?>0和f′?x?<0；
?4?根据?3?的结果确定函数f?x?的单调区间.
提醒：如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开.
2．求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝ex－x.
[解] (1)函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝.
令f′(x)>0，即1－ln x>0，解得0令f′(x)<0，即1－ln x<0，解得x>e.
所以函数的单调递增区间是(0，e)，递减区间是(e，＋∞)．
(2)函数定义域为R，
f′(x)＝
＝.
令f′(x)>0，即4－x2>0，解得－2令f′(x)<0，即4－x2<0，解得x<－2或x>2；
所以函数的单调递增区间是(－2,2)，递减区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)．
(3)函数定义域为R，f′(x)＝ex－1.
令f′(x)>0，即ex－1>0，解得x>0；
令f′(x)<0，即ex－1<0，解得x<0；
所以函数的单调递增区间是(0，＋∞)，递减区间是(－∞，0)．
已知函数的单调性求参数的取值范围
[探究问题]
1．在区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？
提示：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)＞0是y＝f(x)在某个区间上递增的充分条件．
2．一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有什么关系？
提示：
函数的单调性
导数
单调递增
f′(x)≥0且f′(x)不恒为0
单调递减
f′(x)≤0且f′(x)不恒为0
常函数
f′(x)＝0
【例3】 已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x.
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．
[思路点拨] (1)
(2)―→
[解] (1)h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，
所以h′(x)＝－ax－2.
因为h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，
所以当x∈(0，＋∞)时，－ax－2<0有解，
即a>－有解．
设G(x)＝－，所以只要a>G(x)min即可．
而G(x)＝－1，所以G(x)min＝－1，
所以a>－1.所以a的取值范围是(－1，＋∞)．
(2)因为h(x)在[1,4]上单调递减，
所以x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥－恒成立，
所以a≥G(x)max，而G(x)＝－1.
因为x∈[1,4]，所以∈，
所以G(x)max＝－(此时x＝4)，
所以a≥－.
当a＝－时，h′(x)＝＋x－2＝＝.
∵x∈[1,4]，∴h′(x)＝≤0，
即h(x)在[1,4]上为减函数．
故实数a的取值范围是.
1．利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
2．恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.
(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
3．已知函数f(x)＝x3－ax－1，
(1)若f(x)在区间(1，＋∞)内为增函数，求a的取值范围；
(2)若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的值．
[解] (1)因为f′(x)＝3x2－a，
且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，
所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，
即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，
所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，即a≤3.
(2)f′(x)＝3x2－a.
①当a≤0时，f′(x)≥0，无减区间，不满足条件．
②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±；
当－＜x＜时，f′(x)＜0.
因此f(x)在上为减函数．
所以＝1，即a＝3.
1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．
2．在利用导数讨论函数的单调性时，首先要确定函数的定义域，在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调性．
3．如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“∪”连接，可用“，”隔开或用“和”连接．
特别提醒：(1)在对函数划分单调区间时，除了注意使导数等于零的点，还要注意在定义域内不连续的点和不可导的点．
(2)当不等式f′(x)>0或f′(x)<0不易求解时，可通过列表的方法求函数f(x)的单调区间．
(3)区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影响.
1．判断正误
(1)“在区间I上，f′(x)<0”是“f(x)在I上单调递减”的充分不必要条件．
( )
(2)若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f(x)在(a，b)上各点处的切线的倾斜角都是锐角． ( )
(3)单调递增函数的导函数也是单调递增函数． ( )
(4)如果函数f(x)在(a，b)上变化得越快，其导数就越大． ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．函数f(x)＝x＋ln x在(0,6)上是( )
A．增函数
B．减函数
C．在上是减函数，在上是增函数
D．在上是增函数，在上是减函数
A [∵f(x)＝x＋ln x的定义域为(0，＋∞)，
又f′(x)＝1＋>0，∴f(x)在(0,6)上是增函数．]
3．在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式x·f′(x)<0的解集为( )
A．(－∞，－1)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－2，－1)∪(1,2)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
A [当x>0时，f′(x)<0，此时0当x<0时，f′(x)>0，此时x<－1，
因此xf′(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．]
4．若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
[解] 因为f′(x)＝3ax2－2x＋1，
由题意可知f(x)在R上是增加的，
所以f′(x)≥0对x∈R恒成立，
即3ax2－2x＋1≥0在R上恒成立．
所以
解得a≥.
当a＝时，f′(x)＝x2－2x＋1＝0，
有且只有f′(1)＝0.
所以实数a的取值范围为.
课时分层作业(十七)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数
B．在(1,3)上f(x)是减函数
C．在(4,5)上f(x)是增函数
D．在(－3，－2)上f(x)是增函数
C [由f(x)与f′(x)的关系结合图象可知C正确．]
2．函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为( )
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C．(0,1] D．(0，＋∞)
C [∵f(x)＝x－ln x，x∈(0，＋∞)，
∴f′(x)＝1－，
由f′(x)≤0得03．函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，0)
B．(0，＋∞)
C．(－∞，－3)和(1，＋∞)
D．(－3,1)
D [y′＝－2xex＋(3－x2)ex＝(－x2－2x＋3)ex，令(－x2－2x＋3)ex>0，由于ex>0，则－x2－2x＋3>0，解得－34．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝－x＋ln x
B [对于y＝xex，y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)>0，
∴y＝xex在(0，＋∞)内为增函数．]
5．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．a＝1
C．(－∞，1] D．(0,1)
A [由题意可知f′(x)＝3x2－2ax－1≤0在(0,1)上恒成立，
由得∴a≥1，故选A.]
二、填空题
6．若函数f(x)＝，则f(x)的单调递减区间为__________．
(－∞，0)和(0,1) [f′(x)＝＝，令f′(x)<0，得x<0或07．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是__________．
[1，＋∞) [由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增?f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．
由于k≥，而0<<1，所以k≥1.
即k的取值范围为[1，＋∞)．]
8．若函数f(x)＝2ln x＋x2－5x＋c在区间(m，m＋1)上为减函数，则实数m的取值范围是__________．
[∵函数f(x)＝2ln x＋x2－5x＋c，∴f′(x)＝＋2x－5＝(x>0)．令f′(x)<0，得三、解答题
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，且f′(－1)＝－4，f′(1)＝0.
(1)求a和b；
(2)试确定函数f(x)的单调区间．
[解] (1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx，
∴f′(x)＝x2＋2ax＋b，
由得
解得a＝1，b＝－3.
(2)由(1)得f(x)＝x3＋x2－3x.
f′(x)＝x2＋2x－3＝(x－1)(x＋3)．
由f′(x)>0得x>1或x<－3；
由f′(x)<0得－3∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3,1)．
10．已知函数f(x)＝ln x－ax2＋(2－a)x，讨论f(x)的单调性．
[解] f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－2ax＋(2－a)
＝－.
①若a≤0，则f′(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②若a>0，则由f′(x)＝0，得x＝，
且当x∈时，f′(x)>0，
当∈时，f′(x)<0，
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．
[能力提升练]
1．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)可能为( )
D [由函数的图象知：当x＜0时，函数单调递增，导数应始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，导数应先正后负再正，对照选项，只有D正确．]
2．若f(x)＝，eA．f(a)>f(b) B．f(a)＝f(b)
C．f(a)1
A [∵f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，
当f′(x)>0时，0当f′(x)<0时，x>e；
∴f(x)在(e，＋∞)上单调递减，
又ef(b)，故选A.]
3．已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为________．
(－1，＋∞) [设g(x)＝f(x)－2x－4，
则g′(x)＝f′(x)－2.
∵对任意x∈R，f′(x)>2，∴g′(x)>0.
∴g(x)在R上为增函数．
又g(－1)＝f(－1)＋2－4＝0，
∴x>－1时，g(x)>0.
∴由f(x)>2x＋4，得x>－1.]
4．若函数y＝－x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是________．
(0，＋∞) [∵y′＝－4x2＋a，且函数有三个单调区间，
∴方程y′＝－4x2＋a＝0有两个不等的实根，
∴Δ＝02－4×(－4)×a>0，
∴a>0.]
5．已知函数f(x)＝x2＋2aln x.
(1)试讨论函数f(x)的单调区间；
(2)若函数g(x)＝＋f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围．
[解] (1)f′(x)＝2x＋＝，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
①当a≥0时，f′(x)>0，
f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
②当a<0时，
f′(x)＝，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，)
，＋∞
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
↗
由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；
单调递增区间是(，＋∞)．
(2)由g(x)＝＋x2＋2aln x，
得g′(x)＝－＋2x＋，
由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，
则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，
即－＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立，
即a≤－x2在[1,2]上恒成立，
令h(x)＝－x2，
则h′(x)＝－－2x＝－<0，
x∈[1,2]，
所以h(x)在[1,2]上为减函数，
h(x)min＝h(2)＝－，
所以a≤－.
故实数a的取值范围为.
