课件43张PPT。第三章 导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.2 函数的极值与导数f(a) 极值点极值求函数的极值 已知函数极值求参数函数极值的综合应用 点击右图进入…Thank you for watching !3.3.2 函数的极值与导数
学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解极值的概念，理解极值与导数的关系．(难点)
2．掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值．(重点)
3．会根据函数的极值求参数的值．(难点)
1．通过学习极值的概念，培养学生数学抽象与直观想象的素养．
2．借助极值的求法，提升逻辑推理与数学运算的素养.
1．极值点与极值的概念
(1)极小值点与极小值
如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)极大值点与极大值
如(1)中图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
思考：区间[a，b]的端点a，b能作为极大值点或极小值点吗？
[提示] 不能，极大值点和极小值点只能是区间内部的点．
2．极值的定义
(1)极小值点、极大值点统称为极值点．
(2)极大值与极小值统称为极值．
3．求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值.
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
1．函数y＝x3＋1的极大值是( )
A．1 B．0
C．2 D．不存在
D [y′＝3x2≥0，则函数y＝x3＋1在R上是增函数，不存在极大值．]
2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
C [当f′(x)的符号由正变负时，f(x)有极大值，当f′(x)的符号由负变正时，f(x)有极小值．由函数图象易知，函数有两个极大值点，两个极小值点．]
3．下列说法不正确的是( )
A．函数y＝x2有极小值
B．函数y＝sin x有无数个极值
C．函数y＝2x没有极值
D．x＝0是函数y＝x3的极值点
D [∵y＝x3，∴y′＝3x2≥0，∴y＝x3无极值．(或者直接观察图象可知A，B，C正确，D错误)]
求函数的极值
【例1】 求函数f(x)＝x2e－x的极值．
[解] 函数的定义域为R，
f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′
＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x(2－x)e－x＝0，
解得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
极小
值0
↗
极大
值4e－2
↘
因此当x＝0时，f(x)有极小值，
并且极小值为f(0)＝0；
当x＝2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)＝4e－2＝.
求函数极值和极值点的四步骤
?1?确定函数的定义域；
?2?求方程f′?x?＝0的根；
?3?用方程f′?x?＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；
?4?由f′?x?在方程f′?x?＝0的根左右的符号，来判断f?x?在这个根处取极值的情况.
1．求下列函数的极值点和极值．
(1)f(x)＝x3－x2－3x＋3；
(2)f(x)＝＋3ln x.
[解] (1)f′(x)＝x2－2x－3.
令f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以x＝－1是函数f(x)的极大值点，且f(x)极大值＝，x＝3是函数f(x)的极小值点，且f(x)极小值＝－6.
(2)函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＋＝，
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
极小值
↗
所以x＝1是函数f(x)的极小值点，且f(x)极小值＝3，无极大值点及无极大值．
已知函数极值求参数
【例2】 已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.
(1)试求常数a，b，c的值；
(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由．
[解] (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)，
∵x＝±1是函数的极值点，
∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．
由根与系数的关系，得
又∵f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.
(2)由(1)得f(x)＝x3－x，
∴f′(x)＝x2－
＝(x－1)(x＋1)．
令f′(x)>0，得x<－1或x>1；
令f′(x)<0，得－1
∴函数f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在区间(－1,1)上是减函数．
因此，x＝－1是函数的极大值点；x＝1是函数的极小值点．
已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：
?1?根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
?2?因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
2．(1)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＝________，b＝________.
(2)若函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点，则a的取值范围为________．
(1)2 9 (2)(－∞，1) [(1)∵f′(x)＝3x2＋6ax＋b，且函数f(x)在x＝－1处有极值0，
∴
则
解得或
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈(－∞，－3)时，f′(x)>0，
此时f(x)为增函数；
当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，
此时f(x)为减函数；
当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，
此时f(x)为增函数．
故f(x)在x＝－1处取得极小值，
∴a＝2，b＝9.
(2)∵f′(x)＝x2－2x＋a，
由题意得方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根，
∴Δ＝4－4a>0，解得a<1.]
函数极值的综合应用
[探究问题]
1．如何画三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的大致图象？
提示：求出函数的极值点和极值，根据在极值点左右两侧的单调性画出函数的大致图象．
2．三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋c(a≠0)的图象和x轴一定有三个交点吗？
提示：不一定，三次函数的图象和x轴交点的个数和函数极值的大小有关，可能有一个也可能有两个或三个．
【例3】 已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
[思路点拨]
[解] 因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，
所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，
所以a＝1，
所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，
由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，f′(x)>0；
当－1当x>1时，f′(x)>0.
所以f(x)的单调增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；单调减区间为(－1,1)，
f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，
在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
作出f(x)的大致图象如图所示．
因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的图象可知，m的取值范围是(－3,1)．
利用导数研究方程根的个数
利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.
3．已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.
(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；
(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根．
[解] (1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，
得f′(x)＝－3x2＋3,
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；
当x∈(－1,1)时，f′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.
所以函数f(x)的极小值为f(－1)＝a－2；极大值为f(1)＝a＋2.
由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示．
(2)结合图象，当极大值a＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根，所以a＝－2满足条件；当极小值a－2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＝2满足条件．
综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．
1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．
2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．
3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．
1．判断正误
(1)导数值为0的点一定是函数的极值点． ( )
(2)极大值一定比极小值大． ( )
(3)函数f(x)＝有极值． ( )
(4)函数的极值点一定是其导函数的变号零点． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)( )
A．在(－∞，0)上为减函数
B．在x＝0处取极小值
C．在(4，＋∞)上为减函数
D．在x＝2处取极大值
C [结合图象可知，当x>4时，f′(x)<0，∴f(x)在(4，＋∞)上为减函数．]
3．若x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则有( )
A．a＝－2，b＝4 B．a＝－3，b＝－24
C．a＝1，b＝3 D．a＝2，b＝－4
B [f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意有x＝－2和x＝4是方程3x2＋2ax＋b＝0的两个根，所以有－＝－2＋4，＝－2×4，解得a＝－3，b＝－24.]
4．已知函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
试求：(1)函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．
[解] (1)f′(x)＝3x2－6，
令f′(x)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
因为当x>或x<－时，f′(x)>0；
当－所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；
单调递减区间为(－，)．
当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；
当x＝时，f(x)有极小值5－4.
(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示．
所以，当5－4直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根．
所以实数a的取值范围为(5－4，5＋4)．
课时分层作业(十八)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极小值是( )
A．a＋b＋c B．3a＋4b＋c
C．3a＋2b D．c
D [由f′(x)的图象知，当x<0时，f′(x)<0，
当00，当x>2时，f′(x)<0，
因此当x＝0时，f(x)有极小值，且f(0)＝c，故选D.]
2．设函数f(x)＝xex，则( )
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
D [∵f(x)＝xex，
∴f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)．
∴当f′(x)≥0时，
ex(1＋x)≥0，即x≥－1，
∴x≥－1时，函数f(x)为增函数．
同理可求，x<－1时，函数f(x)为减函数．
∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．]
3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( )
A．(－1,2)
B．(－3,6)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
D [f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
∵函数f(x)既有极大值又有极小值，
∴方程f′(x)＝0有两个不相等的实根．
∴Δ＝4a2－12(a＋6)>0，
即a2－3a－18＞0，解之得a＞6或a＜－3.]
4．若函数f(x)＝2x3－3x2＋a的极大值为6，则a的值是( )
A．0 B．1
C．5 D．6
D [∵f(x)＝2x3－3x2＋a，
∴f′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1，
经判断易知极大值为f(0)＝a＝6.]
5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为( )
A．，0 B．0，
C．－，0 D．0，－
A [f′(x)＝3x2－2px－q，
由f′(1)＝0，f(1)＝0得，
解得
∴f(x)＝x3－2x2＋x.
由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝或x＝1，易得当x＝时f(x)取极大值.当x＝1时f(x)取极小值0.]
二、填空题
6．若函数f(x)＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于__________．
－19 [f′(x)＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．
由f′(x)＝0，得x＝0或4.
且当x>4或x<0时，f′(x)<0；当00.
所以x＝4时函数取到极大值，故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19.]
7．函数f(x)＝aln x＋bx2＋3x的极值点为x1＝1，x2＝2，则a＝________，b＝________.
－2 － [f′(x)＝＋2bx＋3＝，
∵函数的极值点为x1＝1，x2＝2，
∴x1＝1，x2＝2是方程f′(x)＝＝0的两根，也即2bx2＋3x＋a＝0的两根．
∴由根与系数的关系知
解得]
8．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为__________．
[1,5) [f′(x)＝3x2＋2x－a，由题意知
即解得1≤a<5.]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋4在x＝1处取得极值.
(1)求a，b的值；
(2)求函数的另一个极值．
[解] (1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋4，
∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
由题意知f′(1)＝0，f(1)＝，
即
解得
(2)由(1)知f(x)＝x3－x2－2x＋4，
∴f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，
令f′(x)＝0得x＝－或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴函数的另一个极值在x＝－处取得，是极大值，极大值为f＝.
10．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？
[解] (1)f′(x)＝3x2－2x－1，
令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x)的极大值是f＝＋a，
极小值是f(1)＝a－1.
(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0.
x取足够小的负数时，有f(x)<0.
所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．
由(1)知f(x)极大值＝f＝＋a，
f(x)极小值＝f(1)＝a－1.
∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，
∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，
即＋a<0或a－1>0.
∴a<－或a>1.
∴当a∈∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．
[能力提升练]
1．已知a∈R，且函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则( )
A．a<－1 B．a>－1
C．a<－ D．a>－
A [因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a.
令y′＝0，即ex＋a＝0，则ex＝－a，即x＝ln(－a)，又因为x>0，所以－a>1，即a<－1.]
2．若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间内有极值点，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
C [因为函数f(x)＝－x2＋x＋1，所以f′(x)＝x2－ax＋1.
若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间内有极值点，
则f′(x)＝x2－ax＋1在区间内有零点．
由x2－ax＋1＝0，得a＝x＋.
因为x∈，y＝x＋在上递减，在(1,3)上递增，所以2≤a<.
又因为当a＝2时，f′(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，不符合题意，所以a≠2.故选C.]
3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则f(2)的值为________．
18 [f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
由题意，得即
解得或
当a＝4，b＝－11时，令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
显然函数f(x)在x＝1处取极小值，符合题意，此时f(2)＝18.
当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
∴f(x)没有极值，不符合题意．
综上可知，f(2)＝18.]
4．已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
[由题意知，x>0，
f′(x)＝ln x＋1－2ax，
由于函数f(x)有两个极值点，则f′(x)＝0有两个不等的正根，即函数y＝ln x＋1与y＝2ax的图象有两个不同的交点，则a>0.
设函数y＝ln x＋1的图象上任一点(x0,1＋ln x0)处的切线为l，则k＝，
当l过坐标原点时，＝，解得x0＝1，
令2a＝1?a＝，结合图象(图略)知，05．已知函数f(x)＝x2－2ln x，h(x)＝x2－x＋a.
(1)求函数f(x)的极值；
(2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
[解] (1)f(x)的定义域是(0，＋∞)．
令f′(x)＝2x－＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)在x＝1处取得极小值，又f(1)＝1，
所以f(x)的极小值为1，无极大值．
(2)k(x)＝f(x)－h(x)＝x－2ln x－a(x>0)，
所以k′(x)＝1－，
令k′(x)>0，得x>2，令k′(x)<0，得0所以k(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．
要使函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点，
则需
所以2－2ln 2