课件42张PPT。第三章 导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.3 函数的最大(小)值与导数极值点连续不断最大值最小值最小值极值端点处最大值求函数的最值 由函数的最值求参数 与最值有关的恒成立问题 点击右图进入…Thank you for watching !3.3.3 函数的最大(小)值与导数
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能够区分极值与最值两个不同的概念．(易混点)
2．掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法．(重点)
3．能根据函数的最值求参数的值．(难点)
1.通过学习导数与最值的关系，培养学生数学直观的素养．
2．借助函数最值的求法，提升逻辑推理和数学运算的素养.
1．函数f(x)在区间[a，b]上的最值
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得．
思考：若函数f(x)在区间[a，b]上只有一个极大值点x0，则f(x0)是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值吗？
[提示] 根据极大值和最大值的定义知，f(x0)是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值．
2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
1．下列说法正确的是( )
A．函数的极大值就是函数的最大值
B．函数的极小值就是函数的最小值
C．函数的最值一定是极值
D．在闭区间上的连续函数一定存在最值
D [极值有可能是最值，但最值未必是极值，故选D.]
2．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是( )
A．π－1 B.－1
C．π D．π＋1
C [y′＝1－cos x>0，故函数y＝x－sin x，x∈是增函数，因此当x＝π时，函数有最大值，且ymax＝π－sin π＝π.]
3．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )
A．－2 B．0
C．2 D．4
C [f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.
由f(－1)＝－2，f(0)＝2，f(1)＝0得f(x)max＝f(0)＝2.]
求函数的最值
【例1】 求下列各函数的最值．
(1)f(x)＝2x3－3x2－12x＋5，x∈[－2,1]；
(2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]．
[解] (1)f′(x)＝6x2－6x－12，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝2，
又x∈[－2,1]，故x＝－1，且f(－1)＝12.
又因为f(－2)＝1，f(1)＝－8，
所以，当x＝－1时，f(x)取最大值12；
当x＝1时，f(x)取最小值－8.
(2)∵f(x)＝3ex－exx2，
∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)
＝－ex(x2＋2x－3)
＝－ex(x＋3)(x－1)．
∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)＜0，
即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，
∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；
x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.
求函数在闭区间上最值的步骤
?1?求f′?x?，解方程f′?x?＝0；
?2?确定在闭区间上方程f′?x?＝0的根；
?3?求极值、端点值，确定最值.
1．求函数f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]上的最大值和最小值．
[解] f′(x)＝＋cos x，
令f′(x)＝0，且x∈[0,2π]，
解得x＝或x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0
2π
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
0
↗
极大值
＋
↘
极小值
－
↗
π
∴当x＝0时，f(x)有最小值，为f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值，为f(2π)＝π.
由函数的最值求参数
【例2】 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
[解] 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
(1)当a>0时，且x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－7a＋b
↗
b
↘
－16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3
∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
已知函数最值求参数值?范围?的思路
已知函数在某区间上的最值求参数的值?范围?是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围.
2．设[解] 令f′(x)＝3x2－3ax＝0，得x1＝0，x2＝a.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0，a)
a
(a,1)
1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－1－
a＋b
↗
b
↘
－
＋b
↗
1－a
＋b
由表可知，f(x)的极大值为f(0)＝b，极小值为f(a)＝b－，而f(0)>f(a)，f(1)>f(－1)，故需比较f(0)与f(1)及f(－1)与f(a)的大小．
因为f(0)－f(1)＝a－1>0，
所以f(x)的最大值为f(0)＝b＝1.
又f(－1)－f(a)＝(a＋1)2(a－2)<0，
所以f(x)的最小值为
f(－1)＝－1－a＋b＝－a，
所以－a＝－，a＝.所以a＝，b＝1.
与最值有关的恒成立问题
[探究问题]
1．对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若f(x)≥c或f(x)≤c恒成立，则c满足的条件是什么？
提示：c≤f(x)min或c≥f(x)max.
2．对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若存在x0∈[a，b]，使得f(x)≥c或f(x)≤c成立，则c满足的条件是什么？
提示：c≤f(x)max或c≥f(x)min.
【例3】 设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
[思路点拨] (1)利用配方法，即可求出二次函数f(x)的最小值h(t)；
(2)构造函数g(t)＝h(t)－(－2t＋m)，只需使g(t)在(0,2)上的最大值小于零即可求得m的取值范围．
[解] (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t
(0,1)
1
(1,2)
g′(t)
＋
0
－
g(t)
↗
极大值1
－m
↘
∴g(t)在(0,2)内有最大值g(1)＝1－m.h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m<0.∴m的取值范围为(1，＋∞)．
(变条件)若将本例(2)的条件改为“存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立”，则实数m的取值范围如何求解？
[解] 令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t
0
(0,1)
1
(1,2)
2
g′(t)
＋
0
－
g(t)
－1－m
↗
极大值
1－m
↘
－3－m
∴g(t)在[0,2]上有最小值g(2)＝－3－m，
存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立，
等价于g(t)的最小值g(2)<0.∴－3－m<0，
∴m>－3，所以实数m的取值范围为(－3，＋∞)．
分离参数求解不等式恒成立问题
1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值．
2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论．
3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．
1．判断正误
(1)函数的最大值一定是函数的极大值． ( )
(2)开区间上的单调连续函数无最值． ( )
(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．函数y＝的最大值为( )
A．e－1 B．e
C．e2 D.
A [函数y＝的定义域为(0，＋∞)．
y′＝，由＝0得x＝e，
当00，
当x>e时，y′<0.
因此当x＝e时，函数y＝有最大值，且ymax＝＝e－1.]
3．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M，N，则M－N的值为( )
A．2 B．4
C．18 D．20
D [f′(x)＝3x2－3，
令f′(x)＝0得x＝±1.
当0≤x<1时，f′(x)<0；
当10.
则f(1)最小，又f(0)＝－a，f(3)＝18－a，
f(3)>f(0)，所以最大值为f(3)，即M＝f(3)，
N＝f(1)，所以M－N＝f(3)－f(1)
＝(18－a)－(－2－a)＝20.]
4．设函数f(x)＝x2ex，x∈[－2,2]，若f(x)>m恒成立，求实数m的取值范围．
[解] f′(x)＝xex＋x2ex＝x(x＋2)，
由f′(x)＝0得x＝－2或x＝0.
当x∈[－2,2]时，
f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x
－2
(－2,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
0
－
0
＋
f(x)
↘
0
↗
2e2
当x＝0时，f(x)min＝f(0)＝0，
要使f(x)>m对x∈[－2,2]恒成立，
只需m即实数m的取值范围为(－∞，0)．
课时分层作业(十九)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．函数f(x)＝x＋cos x在[0，π]上的( )
A．最小值为0，最大值为
B．最小值为0，最大值为＋1
C．最小值为1，最大值为
D．最小值为1，最大值为π－1
D [f′(x)＝1－sin x，由x∈[0，π]知，f′(x)≥0，即f(x)在[0，π]上是增函数，所以f(x)max＝f(π)＝π－1，f(x)min＝f(0)＝1.]
2．函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0,2]上的最大值是3，则a等于( )
A．3 B．1
C．2 D．－1
B [f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0得x＝1或x＝－(舍)．
由f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2知
f(x)max＝f(2)＝a＋2＝3，解得a＝1.]
3．已知函数f(x)＝ax3＋c，且f′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c的值为( )
A．1 B．4
C．－1 D．0
B [∵f′(x)＝3ax2，
∴f′(1)＝3a＝6，∴a＝2.
当x∈[1,2]时，f′(x)＝6x2＞0，即f(x)在[1,2]上是增函数，
∴f(x)max＝f(2)＝2×23＋c＝20，
∴c＝4.]
4．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( )
A．0≤a＜1 B．0＜a＜1
C．－1＜a＜1 D．0＜a＜
B [∵f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0得x2＝a.
∴x＝±.
又∵f(x)在(0,1)内有最小值，
∴0＜＜1，∴0＜a＜1.故选B.]
5．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则m的取值范围是( )
A．m≥ B．m>
C．m≤ D．m<
A [∵f′(x)＝2x3－6x2，
令f′(x)＝0得x＝0或x＝3，
验证可知x＝3是函数的最小值点，
故f(x)min＝f(3)＝3m－，
由f(x)＋9≥0恒成立，得f(x)≥－9恒成立，
即3m－≥－9，∴m≥.]
二、填空题
6．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为1，则m＝________.
1 [f′(x)＝－3x2＋6x，x∈[－2,2]．
令f′(x)＝0，得x＝0，或x＝2，
当x∈(－2,0)时，f′(x)<0，
当x∈(0,2)时，f′(x)>0，
∴当x＝0时，f(x)有极小值，也是最小值．
∴f(0)＝m＝1.]
7．设函数f(x)＝x3－－2x＋5，若对任意x∈[－1,2]，都有f(x)>m，则实数m的取值范围是________．
[f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，则x＝1或x＝－.
f(－1)＝－，f＝，f(1)＝，f(2)＝7，∴m<.]
8．已知a为实数，函数f(x)＝(x2－4)(x－a)，若f′(－1)＝0，则函数f(x)在[－2,2]上的最大值为________．
[∵f(x)＝(x2－4)(x－a)
＝x3－ax2－4x＋4a，
∴f′(x)＝3x2－2ax－4，又f′(－1)＝0，∴3＋2a－4＝0，即a＝，
∴f′(x)＝3x2－x－4.
令f′(x)＝0得x1＝－1，x2＝.
又f(－2)＝0，f(－1)＝，f＝－，f(2)＝0，
∴f(x)在[－2,2]上的最大值为.]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x＋1.
(1)求a，b的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．
[解] (1)依题意可知点P(1，f(1))为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，f(1)＝3×1＋1＝4，
∴f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2，又由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5得，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
而由切线y＝3x＋1的斜率可知f′(1)＝3，
∴3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0，
由解得∴a＝2，b＝－4.
(2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，
f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝或x＝－2.
x∈[－3,1]，当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x
－3
(－3，－2)
－2
1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
8
↗
极大值
↘
极小值
↗
4
∴f(x)的极大值为f(－2)＝13，极小值为f＝，
又f(－3)＝8，f(1)＝4，
∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13.
10．已知函数f(x)＝xln x.
(1)求f(x)的最小值；
(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围．
[解] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋ln x，
令f′(x)>0，解得x>；
令f′(x)<0，解得0所以当x＝时，f(x)取得最小值－.
(2)由题意，得f(x)≥ax－1在[1，＋∞)上恒成立，
即不等式a≤ln x＋在x∈[1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝ln x＋，
则g′(x)＝－＝，
当x>1时，g′(x)>0，
故g(x)在(1，＋∞)上是增函数，
所以g(x)的最小值是g(1)＝1.
因此a≤g(x)min＝g(1)＝1，
故a的取值范围为(－∞，1]．
[能力提升练]
1．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
A [令u(x)＝f(x)－g(x)，则u′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，∴u(x)在[a，b]上为减函数，
∴u(x)在[a，b]上的最大值为u(a)＝f(a)－g(a)．]
2．设直线x＝m与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小值时m的值为( )
A．1 B. C. D.
D [|MN|＝x2－ln x，令F(x)＝x2－ln x，F′(x)＝2x－＝，当0时，F′(x)>0，所以当x＝时，F(x)有极小值也就是最小值，故选D.]
3．若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．
－1 [f′(x)＝＝，当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当－0，f(x)单调递增，当x＝时，f(x)＝＝，＝<1，不合题意．∴f(x)max＝f(1)＝＝，a＝－1.]
4．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对任意的x∈(0,1]都有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围为________．
[4，＋∞) [∵x∈(0,1]，
∴f(x)≥0可化为a≥－.
设g(x)＝－，则g′(x)＝.
令g′(x)＝0，得x＝.
当 00；
当∴g(x)在(0,1]上有极大值g＝4，
它也是最大值，故a≥4.]
5．设f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋f′(x)．
(1)求g(x)的单调区间和最小值；
(2)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)<对任意x>0成立．
[解] (1)由题设知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝，所以g(x)＝ln x＋，
所以g′(x)＝.
令g′(x)＝0，得x＝1，
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，
故(0,1)是g(x)的单调递减区间；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，
故(1，＋∞)是g(x)的单调递增区间．
因为x＝1是g(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，也是最小值点，所以最小值为g(1)＝1.
(2)因为g(a)－g(x)<对任意x>0成立，
即ln a0成立．
由(1)知，g(x)的最小值为1，
所以ln a<1，解得0所以a的取值范围为(0，e)．
