课件48张PPT。第三章 导数及其应用3.4 生活中的优化问题举例利润最大求函数的最值效率最高用料最省面积、体积的最值问题 用料(费用)最省问题 利润最大(成本最低)问题 点击右图进入…Thank you for watching !3.4 生活中的优化问题举例
学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解导数在解决实际问题中的作用．
2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．(重、难点)
借助导数解决实际问题，提升数学建模、数学运算的素养.
1．生活中的优化问题
(1)生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
(2)用导数解决优化问题的实质是求函数的最值．
2．用导数解决优化问题的基本思路
1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．7万件 B．9万件
C．11万件 D．13万件
B [设y＝f(x)，即f(x)＝－x3＋81x－234，故f′(x)＝－x2＋81.令f′(x)＝0，即－x2＋81＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)．
当00，函数y＝f(x)单调递增；
当x>9时，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减．
因此，当x＝9时，y＝f(x)取最大值．
故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]
2．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8 B. C．－1 D．－8
C [由题意，f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，∵0≤x≤5，∴x＝1时，f′(x)的最小值为－1，即原油温度的瞬时变化率的最小值是－1.]
3．电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y＝x3－x2－40x(x>0)．为使耗电量最小，则速度应定为__________．
40 [y′＝x2－39x－40，令y′＝0，即x2－39x－40＝0，
解得x＝40或x＝－1(舍)．
当040时，y′>0，
所以当x＝40时，函数y＝x3－x2－40x有最小值．]
面积、体积的最值问题
【例1】 用长为90 cm、宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图所示)．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
[思路点拨] ―→
―→―→
[解] 设容器的高为x cm，容器的容积为V(x)cm3，则
V(x)＝x(90－2x)(48－2x)
＝4x3－276x2＋4 320x(0＜x＜24)．
所以V′(x)＝12x2－552x＋4 320
＝12(x2－46x＋360)
＝12(x－10)(x－36)．
令V′(x)＝0，得x＝10或x＝36(舍去)．
当0＜x＜10时，V′(x)＞0，即V(x)单调递增；
当10＜x＜24时，V′(x)＜0，即V(x)单调递减．
因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝19 600(cm3)．
因此当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm3.
1．求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值．
2．实际问题中函数定义域确定的方法
(1)根据图形确定定义域，如本例中长方体的长、宽、高都大于零；
(2)根据问题的实际意义确定定义域，如人数必须为整数，销售单价大于成本价、销售量大于零等．
1．已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为________．
[设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh，
∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh.
∴h＝.
又圆柱的体积V＝πr2h，
＝(S－2πr2)＝，
V′(r)＝，
令V′(r)＝0得S＝6πr2，∴h＝2r，
因为V′(r)只有一个极值点，
故当h＝2r时圆柱的容积最大．
此时，S＝2π×＋πh2，∴h＝.]
用料(费用)最省问题
【例2】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的函数解析式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
[思路点拨] 代入数据求k的值?建造费用加上每年能源消耗费用总和得出总费用f(x)?利用导数求最值．
[解] (1)设隔热层厚度为x cm，由题设可知，每年能源消耗费用为C(x)＝，
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝，
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5，x＝－(舍去)，
当0f′(x)>0，故x＝5时，为f(x)的最小值点，
对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．
解决优化问题时应注意的问题
?1?列函数解析式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域.
?2?一般地，通过函数的极值来求得函数的最值.如果函数f?x?在给定区间内只有一个极值点或函数f?x?在开区间上只有一个点使f′?x?＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较.
2．已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水而行到B地，水速为8千米/小时，船在静水中的速度为v千米/时(8[解] 设每小时的燃料费为y1，比例系数为k，
则y1＝kv2.当v＝12时，y1＝720，
∴720＝k·122，解得k＝5，∴y1＝5v2.
∴全程的燃料费
y＝y1·＝(8y′＝＝.
令y′＝0得v＝16或v＝0(舍去)．
所以函数在v＝16时取得极值，并且是极小值．
当v0≥16时，v＝16使y最小，即全程燃料费最省．
当8可得y＝在(8，v0]上递减，
即当v＝v0时，ymin＝.
综合上述得：若v0≥16，则当v＝16千米/小时时，
全程燃料费最省；
若8则当v＝v0时，全程燃料费最省．
利润最大(成本最低)问题
[探究问题]
1．在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？
提示：根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．
2．你能列举几个有关利润的等量关系吗？
提示：(1)利润＝收入－成本．
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
【例3】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
[思路点拨] (1)根据x＝5时，y＝11，求a的值．
(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值．
[解] (1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)知，该商品每日的销售量
y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)，
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
f(x)
↗
极大值42
↘
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点，
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
1．利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”或“利润＝每件产品利润×销售件数”建立函数关系式，再用导数求最大值．
2．解答此类问题时，要认真理解相应的概念，如：成本、利润、单价、销售量、广告费等等，以免因概念不清而导致解题错误．
3．某经销商计划经营一种商品，经市场调查发现，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克，1(1)求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；
(2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该商品所获利润f(x)最大，(≈2.65)
[解] (1)由题意：x＝2时y＝800，
∴a＋b＝800，
又∵x＝3时y＝150，∴b＝300，可得a＝500，
∴y＝
(2)由题意：f(x)＝y(x－1)＝
当1f′(x)＝500(3x－5)(x－3)，
∴由f′(x)>0，得1∴f(x)在，(3,4]上递增，在上递减，
∵f＝＋450∴当x＝4时f(x)有最大值，f(4)＝1 800，
当4f(x)＝(x－1)＝2 900－≤2 900－400≈1 840，
当且仅当100x＝，
即x＝2≈5.3时取等号，
∴x＝5.3时有最大值1 840，∵1 800<1 840，
∴当x＝5.3时，f(x)有最大值1 840，即当销售价格为5.3元/千克时，使店铺所获利润最大．
1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)．
(2)求函数的导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．
2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．
1．判断正误
(1)生活中的优化问题的实质就是函数的最值问题． ( )
(2)生活中的优化问题必须运用导数解决． ( )
(3)广告牌的面积最小问题是生活中的优化问题． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
2．做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )
A．6 m B．8 m
C．4 m D．2 m
C [设底面边长为x m，高为h m，则有x2h＝256，所以h＝.所用材料的面积设为S m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2，S′＝2x－，令S′＝0，得x＝8，因此h＝＝4(m)．]
3．某件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．
115 [利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6 000(304．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
[解] 设广告的高和宽分别为x cm，y cm，
则每栏的高和宽分别为(x－20) cm， cm，其中x>20，y>25.
两栏面积之和为
2(x－20)·＝18 000，
由此得y＝＋25.
广告的面积S＝xy＝x＝＋25x，
∴S′＝＋25＝＋25.
令S′>0得x>140，
令S′<0得20∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，∴S(x)的最小值为S(140)．
当x＝140时，y＝175，即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小．
课时分层作业(二十)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )
A．150 B．200
C．250 D．300
D [由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20 000，0≤x≤390.
P′(x)＝－＋300.
由P′(x)＝0，得x＝300.
当0≤x＜300时，P′(x)＞0；当300≤x≤390时，P′(x)＜0，所以当x＝300时，P(x)最大．故选D.]
2．某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)＝x2(0A．30 B．40
C．50 D．60
B [V′(x)＝－x2＋60x＝－x(x－40)，因为00，此时V(x)单调递增；
当403．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关的统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出：y＝－t3－t2＋36t－，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是( )
A．6时 B．7时
C．8时 D．9时
C [y′＝－t2－t＋36＝－(t＋12)(t－8)．
令y′＝0，得t＝8或t＝－12(舍去)，
则当6≤t<8时，y′>0，
当8所以当t＝8时，通过该路段所用的时间最多．]
4．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则其高为( )
A. cm B．100 cm
C．20 cm D. cm
A [设圆锥的高为h cm，
则V＝π(400－h2)×h，
所以V′(h)＝π(400－3h2)．
令V′(h)＝0，得h2＝，
所以h＝.故选A.]
5．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售量为Q件，且销量Q与零售价P有如下关系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出) ( )
A．30元 B．60元
C．28 000元 D．23 000元
D [毛利润为(P－20)Q，
即f(P)＝(P－20)(8 300－170P－P2)，
f′(P)＝－3P2－300P＋11 700
＝－3(P＋130)(P－30)．
令f′(P)＝0，得P＝30或P＝－130(舍去)．
又P∈[20，＋∞)，故f(P)max＝f(P)极大值，
故当P＝30时，毛利润最大，
所以f(P)max＝f(30)＝23 000(元)．]
二、填空题
6．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．
3 [设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，所以L＝.要使用料最省，只需使圆柱表面积最小．S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·，令S′表＝2πR－＝0，得R＝3，即当R＝3时，S表最小．]
7．某厂生产某种商品x件的总成本c(x)＝1 200＋x3(单位：万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为__________件时，总利润最大．
25 [设产品的单价为p万元，根据已知，可设p2＝，
其中k为比例系数．
因为当x＝100时，p＝50，
所以k＝250 000.
所以p2＝，p＝，x>0.
设总利润为y万元，
y＝·x－1 200－x3
＝500－x3－1 200.
则y′＝－x2.
令y′＝0，得x＝25.
故当00，当x>25时，y′<0，所以，当x＝25时，函数y取得极大值，也是最大值．]
8．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝－x＋8，x∈(0,120]，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以__________千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少．
80 [当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为y升，依题意得，
y＝
＝＋－(0则y′＝－＝(0令y′＝0，得x＝80，
当x∈(0,80)时，y′<0，该函数递减；当x∈(80,120]时，y′>0，该函数递增，故当x＝80时，y取得最小值．]
三、解答题
9．某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(6(1)求年销售利润y关于每件售价x的函数关系式；
(2)求每件售价为多少时，年销售利润最大，并求出最大利润．
[解] (1)由题目条件，可设－u＝k，
∵每件售价为10元时，年销售量为28万件，
∴－28＝k，解得k＝2，
∴u＝－2＋＝－2x2＋21x＋18，
∴y＝(－2x2＋21x＋18)(x－6)＝－2x3＋33x2－108x－108(6(2)y′＝－6x2＋66x－108＝－6(x2－11x＋18)＝－6(x－2)(x－9)．
令y′＝0，得x＝9或x＝2(舍去)，
∴当x∈(6,9)时，y′>0，当x∈(9,11)时，y′<0，
∴函数y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6,9)上单调递增，在(9,11)上单调递减，
∴当x＝9时，y取最大值，且ymax＝135，
∴售价为9元时，年销售利润最大，最大利润为135万元．
10．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
[解] 设长方体的宽为x m，则长为2x m，高为h＝＝(4.5－3x)m.故长方体的体积为V(x)＝2x2(4.5－3x)＝(9x2－6x3)m3.
从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．
令V′(x)＝0，解得x＝0(舍去)或x＝1，
因此x＝1.
当00；
当1故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值．
从而最大体积V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m)3，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
故当长方体的长为2 m，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3.
[能力提升练]
1．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30千米/时，当速度为10千米/时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)是每小时400元．如果甲、乙两地相距800千米，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为( )
A．30千米/时 B．25千米/时
C．20千米/时 D．10千米/时
C [设航速为v(0≤v≤30)，燃料费为m，
则m＝kv3，
∵v＝10时，m＝25，代入上式得k＝，
则总费用y＝·m＋×400＝20v2＋，
∴y′＝40v－.
令y′＝0，得v＝20.
经判断知v＝20时，y最小，故选C.]
2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为( )
A．0.016 2 B．0.032 4
C．0.024 3 D．0.048 6
B [存款利率为x，依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048 6kx2，x∈(0,0.048 6)．所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3(00；当0.032 43．如图(1)，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器(图(2))．当这个正六棱柱容器的底面边长为__________时，其容积最大．
[设四边形较短边为x，则较长边为x，正六棱柱底面边长为1－2x，高为x，
∴V＝6××sin 60°×(1－2x)2×x＝x(1－2x)2.
V′＝(1－2x)(1－6x)，令V′＝0，得x＝或x＝(舍去)．
当00；当因此当x＝时，V有最大值，此时底面边长为1－2×＝.]
4．将边长为1 m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝，则s的最小值是________．
[如图所示，设AD＝x(0∴梯形的周长为x＋2(1－x)＋1＝3－x，
又S△ADE＝x2，∴梯形的面积为－x2，
∴s＝×(0∴s′＝×，
令s′＝0得x＝或x＝3(舍去)，
当x∈时，s′<0，s单调递减；当x∈时，s′>0，s单调递增．故当x＝时，s的最小值是.]
5．工厂生产某种产品，次品率p与日产量x(万件)间的关系为p＝(c为常数，且0(1)将日盈利额y(万元)表示为日产量x(万件)的函数；
(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率＝×100%)
[解] (1)当x>c时，p＝，
y＝·x·3－·x·＝0；
当0∴y＝·x·3－·x·＝.
∴日盈利额y(万元)与日产量x(万件)的函数关系为
y＝(c为常数，且0(2)由(1)知，当x>c时，日盈利额为0.
当0∴y′＝·＝，
令y′＝0，得x＝3或x＝9(舍去)，
∴①当00，
∴y在区间(0，c]上单调递增，
∴y最大值＝f(c)＝.
②当3≤c<6时，在(0,3)上，y′>0，在(3，c)上，y′<0，
∴y在(0,3)上单调递增，在(3，c)上单调递减．
∴y最大值＝f(3)＝.
综上，若0
