课件51张PPT。模块复习课互为逆否命题 既不充分也不必要必要充分不必要必要不充分和 y轴x轴(0,1)差的绝对值 (1，＋∞) 相等 [0，＋∞) 1x轴y轴(0,0)0 cos x 异号单调递增单调递减0× × √ × × √ × × × × × × √ √ × × √ √ × √ √ √ √ √ × √ √ √ √ √ Thank you for watching !
一、常用逻辑用语
1．命题及其关系
(1)原命题：若p，则q.则
逆命题：若q，则p.
否命题：若p，则q.
逆否命题：若q，则p.
(2)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．
2．充分条件与必要条件
(1)若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)若p?q，则p是q的充要条件．
(3)若p?q，qp，则p是q的充分不必要条件．
(4)若pq，q?p，则p是q的必要不充分条件．
(5)若pq，qp，则p是q的既不充分也不必要条件．
3．简单的逻辑联结词
(1)命题p∧q的真假：“全真则真”“一假则假”．
(2)命题p∨q的真假：“一真则真”“全假则假”．
(3)命题p的真假：p与p的真假性相反．
4．全称命题与特称命题的否定
(1)全称命题的否定
p：x∈M，p(x)．
p：x0∈M，p(x0)．
(2)特称命题的否定
p：x0∈M，p(x0)．
p：x∈M，p(x)．
二、圆锥曲线与方程
1．椭圆
(1)椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
(2)椭圆的标准方程
焦点在x轴上：＋＝1(a>b>0)，
焦点在y轴上：＋＝1(a>b>0)．
(3)椭圆的几何性质
①范围：对于椭圆＋＝1(a>b>0)，
－a≤x≤a，－b≤y≤b.
②对称性：椭圆＋＝1或＋＝1(a>b>0)，
关于x轴、y轴及原点对称．
③顶点：椭圆＋＝1的顶点坐标为A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．
④离心率：e＝，离心率的范围是e∈(0,1)．
⑤a，b，c的关系：a2＝b2＋c2.
2．双曲线
(1)双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．
(2)双曲线的标准方程
焦点在x轴上：－＝1(a>0，b>0)，
焦点在y轴上：－＝1(a>0，b>0)．
(3)双曲线的几何性质
①范围：对于双曲线－＝1(a>0，b>0)，
y≥a或y≤－a，x∈R.
②对称性：双曲线－＝1或－＝1(a>0，b>0)，
关于x轴、y轴及原点对称．
③顶点：双曲线－＝1(a>0，b>0)的顶点坐标为A1(－a，0)，A2(a,0)，双曲线－＝1(a>0，b>0)的顶点坐标为A1′(0，－a)，A2′(0，a)．
④渐近线：双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.
⑤离心率：e＝，双曲线离心率的取值范围是e∈(1，＋∞)
⑥a，b，c的关系：c2＝a2＋b2.
3．抛物线
(1)抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
(2)抛物线的标准方程
焦点在x轴上：y2＝±2px(p>0)，
焦点在y轴上：x2＝±2py(p>0)．
(3)抛物线的几何性质
①范围：对于抛物线x2＝2py(p>0)，
x∈R，y∈[0，＋∞)．
②对称性：抛物线y2＝±2px(p>0)，关于x轴对称，
抛物线x2＝±2py(p>0)，关于y轴对称．
③顶点：抛物线y2＝±2px和x2＝±2py(p>0)的顶点坐标为(0,0)．
④离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义知e＝1.
三、导数及其应用
1．导数的几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点x＝x0处的切线的斜率，其切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)．
2．导数的计算
(1)基本初等函数的导数公式
①若f(x)＝c，则f′(x)＝0.
②若f(x)＝xα(α∈Q*)，则f′(x)＝αxα－1.
③若f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos_x.
④若f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin_x.
⑤若f(x)＝ax，则f′(x)＝axln_a(a>0)．
⑥若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex.
⑦若f(x)＝logax，则f′(x)＝(a>0，且a≠1)．
⑧若f(x)＝ln x，则f′(x)＝.
(2)导数的运算法则
①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
③′＝(g(x)≠0)．
3．导数在研究函数中的应用
(1)函数的单调性与导数
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
(2)函数的极值与导数
可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的条件：
①f′(x)＝0，
②f′(x)在x＝x0两侧异号．
(3)函数的最大(小)值与导数
对于图象连续不断的函数，在闭区间上一定有最值，在开区间上不一定有最值．
1．命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”． (×)
[提示] 否命题为若p，则q.
2．命题“若p则q”的等价命题是“若p，则q”． (×)
3．一个命题的逆命题和否命题真假性相同． (√)
4．“p是q的充分条件”与“p的充分条件是q”，两个说法相同． (×)
[提示] “p是q的充分条件”即p?q，“p的充分条件是q”即q?p，故两个说法不同．
5．“x＝3”是“x2－4x＋3＝0”的充分不必要条件． (√)
6．“x>2”是“x>3”的充分不必要条件． (×)
[提示] x>2x>3，但x>3?x>2，故“x>2”是“x>3”的必要不充分条件．
7．若命题p∨q是真命题，则命题p是真命题． (×)
[提示] 命题p可能是假命题．
8．若命题p∧q是假命题，则命题p是假命题． (×)
[提示] 命题p可能是真命题．
9．命题“x>0，x2－2x>0”的否定为“x0<0，x－2x0≤0”．
(×)
[提示] 否定为x0>0，x－2x0≤0.
10．命题“有些平行四边形是矩形”的否定为“有些平行四边形不是矩形”． (×)
[提示] 否定为任何一个平行四边形都不是矩形．
11．椭圆＋＝1上的点到椭圆两焦点的距离之和为10.(×)
[提示] 椭圆上的点到两焦点的距离之和为14.
12．椭圆＋＝1的焦点坐标为(±5,0)． (×)
[提示] 焦点坐标为(±，0)．
13．椭圆上一点到一个焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c. (√)
14．双曲线－＝1的焦点坐标为(±5,0)． (√)
15．双曲线－＝1上的点到双曲线两焦点的距离之差为14.
(×)
[提示] 双曲线上的点到两焦点的距离之差为±14.
16．双曲线的左焦点到双曲线左支的最小距离为a－c，到双曲线右支的最小距离为a＋c. (×)
17．双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x. (√)
18．抛物线x2＝4y的焦点坐标为(0,1)． (√)
19．抛物线y2＝16x的焦点到准线的距离为16. (×)
[提示] 焦点到准线的距离为8.
20．抛物线y2＝8x的最短焦点弦长为8. (√)
21．曲线y＝x2在点x＝1处的切线斜率为2. (√)
22．若f(x)＝2x，则f′(x)＝2xln 2. (√)
23．若xf′(x)－f(x)>0，则函数y＝在(0，＋∞)上是增函数． (√)
24．若函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0. (√)
25．若f′(x0)＝0，则x＝x0是函数y＝f(x)的极值点． (×)
[提示] 不一定，只有当在x＝x0的左右两侧f′(x)符号相反时，x＝x0才是函数y＝f(x)的极值点．
26．若函数f(x)＝ax3－1在R上是减函数，则a<0. (√)
27．若函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d无极值点，则b2－3ac≤0.
(√)
28．若函数f(x)在区间(a，b)上只有一个极值点x＝x0，则f(x0)一定是函数f(x)的最值． (√)
29．函数f(x)＝x3－3x＋1在区间[－3,0]上的最大值为3，最小值为－17. (√)
30．若直线y＝a与函数f(x)＝x3－x2－3x＋1的图象相切，则a＝－8或a＝. (√)
1.(2019·全国卷Ⅱ)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为( )
A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
[答案] C
2．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
C [不妨设a>0，因为椭圆C的一个焦点为(2,0)，所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝.]
3．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
A [法一：由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，所以＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选A.
法二：由e＝＝＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选A.]
4．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )
A. B．2
C．2 D．3
C [抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝(x－1)．
联立得方程组
解得或
∵点M在x轴的上方，
∴M(3,2)．
∵MN⊥l，
∴N(－1,2)．
∴|NF|＝＝4，
|MF|＝|MN|＝＝4.
∴△MNF是边长为4的等边三角形．
∴点M到直线NF的距离为2.
故选C.]
5．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )
A．1－ B．2－
C. D.－1
D [由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝c.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即c＋c＝2a，所以(＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝＝＝－1.故选D.]
6．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln x在点(1,0)处的切线方程为________．
y＝2x－2 [由题意知，y′＝，所以曲线在点(1,0)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝2，故所求切线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.]
7．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y＝x2＋在点(1,2)处的切线方程为________．
x－y＋1＝0 [∵y′＝2x－，∴y′|x＝1＝1，
即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k＝1，
∴切线方程为y－2＝x－1，
即x－y＋1＝0.]
8．(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．
2x－y＝0 [设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ex－1＋x.
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝ex－1＋x.
∵当x＞0时，f′(x)＝ex－1＋1，
∴f′(1)＝e1－1＋1＝1＋1＝2.
∴曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，
即2x－y＝0.]
9．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝aex－ln x－1.
(1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；
(2)证明：当a≥时，f(x)≥0.
[解] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－.
由题设知，f′(2)＝0，所以a＝.
从而f(x)＝ex－ln x－1，f′(x)＝ex－.
当0当x>2时，f′(x)>0.
所以f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．
(2)证明：当a≥时，f(x)≥－ln x－1.
设g(x)＝－ln x－1，则g′(x)＝－.
当01时，g′(x)>0.所以x＝1是g(x)的最小值点．
故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0.
因此，当a≥时，f(x)≥0.
10．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．
(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
(2)证明：∠ABM＝∠ABN.
[解] (1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得点M的坐标为(2,2)或(2，－2)．所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.
(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN.
当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.
由得ky2－2y－4k＝0，
可知y1＋y2＝，y1y2＝－4.
直线BM，BN的斜率之和为
kBM＋kBN＝＋＝.①
将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得
x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0.
所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.
综上，∠ABM＝∠ABN.
模块综合测评
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
D [设a＝1，b＝－2，则有a>b，但a2ba2>b2；设a＝－2，b＝1，显然a2>b2，但ab2a>b.故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．]
2．命题“x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )
A．x∈(－∞，0)，x3＋x<0
B．x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C．x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0
D．x0∈[0，＋∞)，x＋x0≥0
C [原命题的否定为：x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0.故选C.]
3．函数f(x)＝exln x在点(1，f(1))处的切线方程是( )
A．y＝2e(x－1) B．y＝ex－1
C．y＝x－e D．y＝e(x－1)
D [因为f′(x)＝ex，
所以f′(1)＝e.
又f(1)＝0，
所以所求的切线方程为y＝e(x－1)．]
4．下列说法中正确的是( )
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价
C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
D [否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选D.]
5．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( )
A. B．2
C. D．2
D [法一：由离心率e＝＝，得c＝a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C的渐近线的距离为＝2.故选D.
法二：离心率e＝的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，由点到直线的距离公式得点(4,0)到C的渐近线的距离为＝2.故选D.]
6．若函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )
A．－10 B．－71
C．－15 D．－22
B [f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．
由f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.
又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，
∴f(x)min＝k－76＝－71.]
7．已知F1(－3,0)，F2(3,0)是椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2＝α.当α＝时，△F1PF2面积最大，则m＋n的值是( )
A．41 B．15
C．9 D．1
B [由S△F1PF2＝|F1F2|·yP＝3yP，知P为短轴端点时，△F1PF2面积最大．此时∠F1PF2＝，得a＝＝2，b＝＝，故m＋n＝15.]
8．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)与圆D：x2＋y2－2ax＋a2＝0交于A，B两点，若四边形OADB(O为原点)是菱形，则椭圆C的离心率为( )
A. B.
C. D.
B [由已知可得圆D：(x－a)2＋y2＝a2，圆心D(a,0)，则菱形OADB对角线的交点的坐标为，将x＝，代入圆D的方程得y＝±，不妨设点A在x轴上方，即A，代入椭圆C的方程可得＋＝1，所以a2＝b2＝a2－c2，解得a＝2c，所以椭圆C的离心率e＝＝.]
9．若直线y＝2x与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )
A．(1, ) B．(，＋∞)
C．(1, ] D．[，＋∞)
B [双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y＝x.由条件知，应有>2，
故e＝＝＝>.]
10．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
B [易知抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线的方程为y＝x－，即x＝y＋，代入y2＝2px得y2＝2p＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.]
11．若不等式2xln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，4]
C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)
B [由2xln x≥－x2＋ax－3，
得a≤2ln x＋x＋，
设h(x)＝2ln x＋x＋(x>0)，
则h′(x)＝.
当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，
所以h(x)min＝h(1)＝4.
所以a≤h(x)min＝4.
故a的取值范围是(－∞，4]．
12．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
A．(－3,0)∪(3，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
D [f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，
则f(x)g(x)是奇函数．
又当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，
即[f(x)g(x)]′>0，
所以F(x)＝f(x)g(x)在(－∞，0)上是增函数，
又g(－3)＝g(3)＝0，故F(－3)＝F(3)＝0.
所以不等式f(x)g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．
3 [因为f(x)＝(2x＋1)ex，
所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，
所以f′(0)＝3e0＝3.]
14．命题“x0∈R,2x－3ax0＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
[－2，2] [∵x0∈R,2x－3ax0＋9<0为假命题，
∴x∈R,2x2－3ax＋9≥0为真命题，
∴Δ＝9a2－4×2×9≤0，即a2≤8，
∴－2≤a≤2.]
15．若函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1在区间(0,4)上是减函数，则k的取值范围是________．
[f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x.
当k<0时，f′(x)<0在区间(0,4)上恒成立，
即f(x)在区间(0,4)上是减函数，故k<0满足题意．
当k≥0时，则由题意，知
解得0≤k≤.
综上，k的取值范围是.]
16．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为________．
[如图所示，在△AFB中，
|AB|＝10，|BF|＝8，
cos∠ABF＝，
由余弦定理可得|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB||BF|cos∠ABF
＝100＋64－2×10×8×＝36.
∴|AF|＝6，∠BFA＝90°.
设F′为椭圆右焦点，连接BF′，AF′.
根据对称性，可得四边形AFBF′是矩形，
∴|BF′|＝6，|FF′|＝10，
∴2a＝8＋6＝14,2c＝10，
则e＝＝.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知命题p：方程＋＝1(a>0)表示双曲线，命题q：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆．
(1)若命题q为真命题，求m的取值范围；
(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
[解] (1)∵命题q为真命题，
∴2－m>m－1>0，
∴1(2)方程＋＝1(a>0)表示双曲线，
则(m－3a)(m－4a)<0(a>0)，
解得3a∵p是q的充分不必要条件，
∴(等号不同时取得)，
解得≤a≤.
18．(本小题满分12分)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点M(m,4)到其焦点的距离为5.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若过点M的双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个顶点为抛物线C的焦点，求该双曲线的渐近线方程．
[解] (1)由抛物线的定义可得4＋＝5，解得p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)把M(m,4)代入x2＝4y可得m＝±4，
所以M点的坐标为(±4,4)，
∵抛物线x2＝4y的焦点为(0,1)，
∴a＝1，
∴双曲线的方程为y2－＝1(b>0)，
代入M(±4,4)得b2＝，b＝，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，
即为y＝±x.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x(x＋a)－ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的极值；
(2)若f(x)是区间内的单调函数，求实数a的取值范围．
[解] (1)当a＝－1时，
f′(x)＝2x－1－＝
＝(x>0)，
所以f(x)在区间(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
于是f(x)有极小值f(1)＝0，无极大值．
(2)易知f′(x)＝2x＋a－在区间上单调递增，
又由题意可得f′(x)＝2x＋a－＝0在上无解．
即f′≥0或f′(1)≤0，
解得a≥1或a≤－1，
即a的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
20．(本小题满分12分)某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
[解] (1)设商品降低x元时，多卖出的商品件数为kx2，若记商品在一个星期的销售利润为f(x)，
则依题意有f(x)＝(30－x－9)·(432＋kx2)
＝(21－x)(432＋kx2)，
又由已知条件24＝k·22，于是有k＝6，
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,30]．
(2)根据(1)，有f′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12)．
当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：
x
[0,2)
2
(2,12)
12
(12,30]
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
故x＝12时，f(x)取到极大值．
因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，
所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．
21．(本小题满分12分)(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程；
(2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥0.
[解] (1)f′(x)＝，f′(0)＝2.
因此曲线y＝f(x)在(0，－1)处的切线方程是2x－y－1＝0.
(2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥(x2＋x－1＋ex＋1)e－x.
令g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1，则g′(x)＝2x＋1＋ex＋1.
当x<－1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>－1时，g′(x)>0，g(x)单调递增．所以g(x)≥g(－1)＝0.
因此f(x)＋e≥0.
22．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知动直线y＝k(x＋1)与椭圆C相交于A，B两点．
①若线段AB中点的横坐标为－，求斜率k的值；
②若点M，求证：·为定值．
[解] (1)因为＋＝1(a>b>0)满足a2＝b2＋c2，＝，×b×2c＝，
解得a2＝5，b2＝，
则椭圆C的方程为＋＝1.
(2)①设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由(1)将y＝k(x＋1)代入＋＝1，
得(1＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－5＝0，
Δ＝36k4－4(3k2＋1)(3k2－5)
＝48k2＋20>0，
x1＋x2＝－.
因为AB中点的横坐标为－，
所以－＝－，
解得k＝±.
②证明：由①知x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以·＝·
＝＋y1y2
＝＋k2(x1＋1)·(x2＋1)
＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＋k2
＝(1＋k2)＋＋＋k2
＝＋＋k2
＝＋＋k2＝.
即·为定值．
