课件32张PPT。第一课 圆锥曲线与方程阶段复习课圆锥曲线的定义及标准方程 圆锥曲线的几何性质 直线与圆锥曲线的综合问题 点击右图进入…Thank you for watching !章末综合测评(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列语句中是命题的为( )
①x2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？
③3＋1＝5；④x∈R,5x－3>6.
A．①③ B．②③
C．②④ D．③④
D [①不能判断真假，②是疑问句，都不是命题；③④是命题．]
2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
B [根据特称命题的否定是全称命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．]
3．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( )
A．命题p是真命题
B．命题p是特称命题
C．命题p是全称命题
D．命题p既不是全称命题也不是特称命题
C [命题p：实数的平方是非负数，是全称命题，且是真命题，故p是假命题．]
4．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
C [由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．]
5．已知命题：①若a>b，则<，②若－2≤x≤0，则(x＋2)(x－3)≤0，则下列说法正确的是( )
A．①的逆命题为真 B．②的逆命题为真
C．①的逆否命题为真 D．②的逆否命题为真
D [①的逆命题为<，则a>b，若a＝－2，b＝3，则不成立．故A错；②的逆命题为若(x＋2)(x－3)≤0，则－2≤x≤0是假命题，故B错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D正确．]
6．下列命题中为假命题的是( )
A．x∈R，sin x＝ B．x∈R，log2 x＝1
C．x∈R， >0 D．x∈R，x2≥0
A [∵>1，∴不存在x使得sin x＝，故A错误．]
7．若命题(p∨q)为真命题，则p，q的真假情况为( )
A．p真，q真 B．p真，q假
C．p假，q真 D．p假，q假
C [由(p∨q)为真命题知，p∨q为假命题，从而p与q都是假命题，故p假q真．]
8．已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x0，使2x0＜0.下列选项中为真命题的是( )
A．p B．p∨q
C．q∧p D．q
C [很明显命题p为真命题，所以p为假命题；由于函数y＝2x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以q是真命题．所以p∨q为假命题，q∧p为真命题，故选C.]
9．条件p：x≤1，且p是q的充分不必要条件，则q可以是( )
A．x>1 B．x>0
C．x≤2 D．－1
B [∵p：x≤1，∴p：x>1，
又∵p是q的充分不必要条件，
∴p?q，q推不出p，即：p是q的子集．]
10．命题p：x＋y≠3，命题q：x≠1或y≠2，则命题p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A [命题“若p，则q”的逆否命题为：“若x＝1且y＝2，则x＋y＝3”，是真命题，故原命题为真，反之不成立．]
11．已知p：x∈R，mx2＋1≤0，q：x∈R，x2＋mx＋1>0，若“p或q”为假命题，则实数m的取值范围为( )
A．[2，＋∞) B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2,2]
A [由题意知p，q均为假命题，则p，q为真命题．
p：x∈R，mx2＋1>0，故m≥0，q：x∈R，x2＋mx＋1≤0，
则Δ＝m2－4≥0，即m≤－2或m≥2，
由得m≥2.故选A.]
12．设f(x)＝x2－4x(x∈R)，则f(x)>0的一个必要不充分条件是( )
A．x<0 B．x<0或x>4
C．|x－1|>1 D．|x－2|>3
C [由f(x)＝x2－4x>0，得x<0或x>4.由|x－1|>1，得x<0或x>2.由|x－2|>3，得x<－1或x>5，所以只有C是必要不充分条件．故选C.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．命题“不等式x2＋x－6>0的解为x<－3或x>2”的逆否命题是________．
若－3≤x≤2，则x2＋x－6≤0 [“不等式x2＋x－6>0的解为x<－3或x>2”即为：“若x2＋x－6>0，则x<－3或x>2”，根据逆否命题的定义可得：若－3≤x≤2，则x2＋x－6≤0.]
14．写出命题“若x2＝4，则x＝2或x＝－2”的否命题为________．
“若x2≠4，则x≠2且x≠－2” [命题“若x2＝4，则x＝2或x＝－2”的否命题为“若x2≠4，则x≠2且x≠－2”．]
15．若命题“t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－1] [命题“t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，
则t∈R，t2－2t－a≥0是真命题，
∴Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1.
∴实数a的取值范围是(－∞，－1]．]
16．已知p：－40，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是________．
[－1,6] [p：－40?2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)将命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，同时判断它们的真假．
[解] “若p，则q”的形式：若一个四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形．(真命题)
逆命题：若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等．(真命题)
否命题：若一个四边形的一组对边不平行或不相等，则这个四边形不是平行四边形．(真命题)
逆否命题：若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的一组对边不平行或不相等．(真命题)
18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由．
(1)q：所有的矩形都是正方形；
(2)r：x0∈R，x＋2x0＋2≤0；
(3)s：至少有一个实数x0，使x＋3＝0.
[解] (1)q：至少存在一个矩形不是正方形，真命题．这是由于原命题是假命题．
(2)r：x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．这是由于x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0恒成立．
(3)s：x∈R，x3＋3≠0，假命题．这是由于当x＝－时，x3＋3＝0.
19．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠.
(1)若命题p：“x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2)若命题q：“x0∈A，x0∈B”是真命题，求m的取值范围．
[解] (1)A＝{x|－2≤x≤5}，
B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，B≠.
∵命题p：“x∈B，x∈A”是真命题，∴BA，B≠，
∴解得2≤m≤3.
(2)q为真，则A∩B≠，∵B≠，
∴m≥2，∴∴2≤m≤4.
20．(本小题满分12分)设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a≠0，q：实数x满足若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
[解] ∵p是q的必要不充分条件，
即q?p但pq，设A＝{x|p(x)}，
B＝{x|q(x)}，则BA，又B＝(2,3]，
当a>0时，A＝(a,3a)；
当a<0时，A＝(3a，a)，
∴当a>0时，有
解得1综上所述，实数a的取值范围是(1,2]．
21．(本小题满分12分)求证：方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－[证明] (1)充分性：∵－∴方程x2－2x－3m＝0的判别式Δ＝4＋12m>0，
且－3m>0，
∴方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根．
(2)必要性：若方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根，
则有解得－结合(1)(2)知，方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－22．(本小题满分12分)已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实根；q：不等式4x2＋4(m－2)x＋1>0的解集为R.若p或q为真，q为假，求实数m的取值范围．
[解] 由方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实根，得Δ＝m2－4>0，解得m>2或m<－2.
∴命题p为真时，m>2或m<－2；命题p为假时，－2≤m≤2.
由不等式4x2＋4(m－2)x＋1>0的解集为R，得方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0的根的判别式Δ′＝16(m－2)2－16<0，解得1∴命题q为真时，1∴解得m<－2或m≥3.
∴实数m的取值范围为(－∞，－2)∪[3，＋∞)．
第一课 圆锥曲线与方程
圆锥曲线的定义及标准方程
【例1】 (1)已知P为抛物线y＝x2上的动点，点P在x轴上的射影为Q，A，则|PA|＋|PQ|的最小值是( )
A． B．
C． D．10
(2)已知椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆交于点A，B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．
(1)C (2)3 [(1)抛物线的准线方程为y＝－.设抛物线的焦点为F，则F.根据抛物线的定义可得|PQ|＝|PF|－，所以|PA|＋|PQ|＝|PF|＋|PA|－.
所以|PA|＋|PQ|的最小值为|FA|－＝.
(2)如图，设椭圆的右焦点为E，连接AE，BE.由椭圆的定义得，△FAB的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|＝|AB|＋(2a－|AE|)＋(2a－|BE|)＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|.∵|AE|＋|BE|≥|AB|，∴|AB|－|AE|－|BE|≤0，∴|AB|＋|AF|＋|BF|＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|≤4a.当直线AB过点E时取等号，此时直线x＝m＝c＝1，把x＝1代入椭圆＋＝1得y＝±，∴|AB|＝3.∴当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是×3×|EF|＝×3×2＝3.]
“回归定义”解题的三点应用
应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；
应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；
应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．
提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．
1．(1)已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．以上都不对
(2)双曲线16x2－9y2＝144的左、右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝64，则∠F1PF2＝________.
(1)C (2)60° [(1)把轨迹方程5＝|3x＋4y－12|写成＝.
∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．
(2)双曲线方程16x2－9y2＝144化简为－＝1，
即a2＝9，b2＝16，所以c2＝25，
解得a＝3，c＝5，所以F1(－5,0)，F2(5,0)．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
由双曲线的定义知|m－n|＝2a＝6，又已知m·n＝64，
在△PF1F2中，由余弦定理知
cos∠F1PF2＝
＝＝
＝＝.
所以∠F1PF2＝60°.]
圆锥曲线的几何性质
【例2】 (1)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )
A．x±y＝0 B.x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
(2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F.设线段AB的中点为M，若2·＋2≥0，则该椭圆的离心率的取值范围为( )
A．(0，－1] B.
C. D．[0，－1]
(1)A (2)A [(1)椭圆C1的离心率e1＝，双曲线C2的离心率e2＝.由e1e2＝·＝·＝，解得＝，所以＝，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.
(2)因为A(－a,0)，B(0，b)，M，F(c,0)，
所以＝，
＝，
＝(c，－b)，又2·＋2≥0，所以2a2－2ac－c2≥0，即e2＋2e－2≤0，结合0求解离心率的三种方法
定义法
由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法
方程法
建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法
几何法
求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观
2．(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
(2)已知抛物线x2＝8y的焦点F到双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线的距离为，点P是抛物线x2＝8y上的一动点，P到双曲线C的右焦点F2的距离与到直线y＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的标准方程为________．
(1) (2)－y2＝1 [(1)由
得B，C，F(c,0)．
由∠BFC＝90°得·＝0，又＝，＝，∴·＝c2－a2＋＝0，又b2＝a2－c2，∴a2＝c2，即e＝＝.
(2)抛物线x2＝8y的焦点坐标F(0,2)，
设双曲线C的一条渐近线方程为y＝x，
由题意得＝，∴＝.
又P到双曲线C的右焦点F2的距离与到直线y＝－2的距离之和的最小值为3，
所以|PF|＋|PF2|≥|F1F2|＝3，
在Rt△FOF2中 ，|OF2|＝＝，
所以c＝，所以a＝2，b＝1.
即双曲线的标准方程为－y2＝1.]
直线与圆锥曲线的综合问题
[探究问题]
1．若两条直线的斜率存在且倾斜角互补时，两条直线的斜率有什么关系？
提示：两条直线的斜率互为相反数．
2．直线系kx－y＋k－1＝0有何特点(k∈R)?
提示：过定点(－1，－1)．
【例3】 已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点M，N，当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．
[思路点拨] ―→―→
[解] (1)依题意可设椭圆方程为＋y2＝1(a>1)，
则右焦点F(，0)，
由题设，知＝3，
解得a2＝3，故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设点P为弦MN的中点，由
得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，
由于直线与椭圆有两个交点，所以Δ>0，
即m2<3k2＋1， ①
所以xP＝＝－，
从而yP＝kxP＋m＝，
所以kAP＝＝－，
又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN，
则－＝－，
即2m＝3k2＋1， ②
把②代入①得2m>m2，
解得0由②得k2＝>0，解得m>，
故所求m的取值范围是.
解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：
?1?函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解.
?2?不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围.
3．如图，过抛物线y2＝x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．
[证明] 设kAB＝k(k≠0)．
∵直线AB，AC的倾斜角互补，
∴kAC＝－k(k≠0)，
即直线AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
由方程组
消去y后，整理得k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解，
∴4xB＝，即xB＝.
以－k代换xB中的k，得xC＝.
∴xB－xC＝＝－.
∴kBC＝＝
＝＝
＝＝＝－.
∴直线BC的斜率为定值．
