课件34张PPT。第一章 常用逻辑用语1.1 命题及其关系
1.1.1 命题陈述句判断真假陈述句判断真假假真结论条件命题的判断 命题真假的判断 命题的构成 点击右图进入…Thank you for watching !
1.1 命题及其关系
1.1.1 命题
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解命题的概念，能判断给定的语句是不是命题．(重点)
2．掌握判断命题真假的方法，能判断命题的真假．(难点、易错点)
3．理解命题的结构，会分析命题的条件和结论，能把命题改写成“若p，则q”的形式．(重点)
借助命题真假的判定培养逻辑推理素养.
1．命题的定义与分类
(1)命题的定义：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．
(3)分类
命题
思考1：(1)“x－1＝0”是命题吗？
(2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？
[提示] (1)“x－1＝0”不是命题，因为它不能判断真假．
(2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题．
2．命题的结构
(1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．
(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．
思考2：命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？
[提示] 条件是：“一个数是实数”，结论是：“它的平方是非负数”．
1．语句“若a>b，则a＋c>b＋c”( )
A．不是命题 B．是真命题
C．是假命题 D．不能判断真假
B [结合不等式的性质可知，若a>b，则a＋c>b＋c，是真命题．]
2．下列语句是命题的是( )
①三角形内角和等于180°；②2>3；③一个数不是正数就是负数；④x>2；⑤2019央视猪年春晚真精彩啊！
A．①②③ B．①③④
C．①②⑤ D．②③⑤
A [①、②、③是陈述句，且能判断真假，因此是命题，④不能判断真假，⑤是感叹句，故④、⑤不是命题．]
3．把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为_______________________________________．
[答案] 若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除
命题的判断
【例1】 (1)下列语句为命题的是( )
A．x2－1＝0 B．2＋3＝8
C．你会说英语吗？ D．这是一棵大树
(2)下列语句为命题的有________．
①x∈R，x>2；②梯形是不是平面图形呢？③22 019是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.
(1)B (2)①④ [(1)A中x不确定，x2－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．
(2)①中x有范围，可以判断真假，因此是命题；②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“大”的标准不确定，无法判断真假，因此不是命题；④是陈述句且能判断真假，因此是命题；⑤是祈使句，不是命题．]
判断一个语句是否是命题的两个关键点
?1?命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.
?2?对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题.
提醒：若语句中含有变量，但变量没有给出范围，则该语句不是命题.
1．判断下列语句是不是命题，并说明理由．
(1)函数f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；
(2)x2－3x＋2＝0；
(3)若x∈R，则x2＋4x＋7>0；
(4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？
(5)一个数不是奇数就是偶数；
(6)2030年6月1日上海会下雨．
[解] (1)是命题，满足指数函数的定义，为真命题．
(2)不是命题，不能判断真假．
(3)是命题．当x∈R时，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0能判断真假．
(4)疑问句，不是命题．
(5)是命题，能判断真假．
(6)不是命题，不能判断真假．
命题真假的判断
【例2】 判断下列命题的真假，并说明理由．
(1)正方形既是矩形又是菱形；
(2)当x＝4时，2x＋1<0；
(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；
(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列．
[解] (1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．
(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1<0.
(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.
(4)是假命题，因为当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列．
命题真假的判定方法
?1?真命题的判断方法
要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证.
?2?假命题的判断方法
通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法.
2．下列命题：
①若xy＝1，则x，y互为倒数；
②同一平面内四条边相等的四边形是正方形；
③平行四边形是梯形；
④若ac2>bc2，则a>b.
其中真命题的序号是________．
①④ [①④是真命题，②同一平面内四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，③平行四边形不是梯形．]
命题的构成
【例3】 (1)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是________，q是________．
(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
①函数y＝lg x是单调函数；
②已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；
③当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.
[思路点拨] 解决此类题目的关键是找到命题的条件和结论，然后用适当的形式改写成“若p，则q”的形式．
(1)一条直线是弦的垂直平分线 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧 [命题的条件是“弦的垂直平分线”，结论是“经过圆心并且平分弦所对的弧”．因此p是“一条直线是弦的垂直平分线”，q是“这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧”．]
(2)[解] ①若函数是对数函数y＝lg x，则这个函数是单调函数．(真命题)
②已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2.(假命题)
③若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0.(假命题)
1．若一个命题有大前提，则在将其改写成“若p，则q”的形式时，大前提仍应作为大前提，不能写在条件中．
2．“若p，则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p，则q”这种形式给出的，这时，首先要把这个命题补充完整，然后确定命题的条件和结论．
3．把下列命题改写成“若p，则q”的形式．
(1)当>时，a(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
(3)同弧所对的圆周角不相等．
[解] (1)若>，则a(2)若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行．
(3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等．
1．根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．
2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写出“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中．
1．判断正误
(1)陈述句都是命题． ( )
(2)含有变量的语句也可能是命题． ( )
(3)如果一个语句判断为假，那么它就不是命题． ( )
(4)有些命题在形式上可以不是“若p，则q”的形式． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )
A．这个四边形的对角线互相平分
B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D．这个四边形是平行四边形
C [把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确．故选C.]
3．下列命题是真命题的为( )
A．若a>b，则<
B．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
C．若|x|D．若a＝b，则＝
C [对于A，若a＝1，b＝－2，则>，故A是假命题．
对于B，当a＝b＝0时，满足b2＝ac，但a，b，c不是等比数列，故B是假命题．
对于C，因为y>|x|≥0，则x2对于D，当a＝b＝－2时，与没有意义，故D是假命题．]
4．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．
(1)末位数字是0的整数能被5整除；
(2)偶函数的图象关于y轴对称；
(3)菱形的对角线互相垂直．
[解] (1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除，为真命题．
(2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称，为真命题．
(3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，为真命题．
课时分层作业(一)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列语句中是命题的是( )
A．周期函数的和是周期函数吗？
B．sin 45°＝1
C．x2＋2x－1>0
D．x2＋y2＝0
B [对于A，是疑问句，不是命题；对于C，D，不能判断真假，不是命题；对于B，是陈述句且能判断真假，是命题．]
2．下列命题中是假命题的是( )
A．a·b＝0(a≠0，b≠0)，则a⊥b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若ac2＞bc2，则a＞b
D．若α＝60°，则cos α＝
B [因为|a|＝|b|只能说明a与b的模相等，所以a＝b不一定成立，故选B.]
3．命题“垂直于同一个平面的两条直线平行”的条件是( )
A．两条直线
B．一个平面
C．垂直
D．两条直线垂直于同一个平面
D [命题的条件是“两条直线垂直于同一个平面”．]
4．下列四个命题中，真命题是( )
A．a＞b，c＞d?ac＞bd
B．a＜b?a2＜b2
C．＜?a＞b
D．a＞b，c＜d?a－c＞b－d
D [可以通过举反例的方法说明A、B、C为假命题．]
5．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )
A．4 B．2
C．0 D．－3
C [由题意知，Δ＝a2－4<0，故a＝0适合题意．]
二、填空题
6．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”的条件p：________， 结论q：________.它是________命题(填“真”或“假”)．
a>0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真 [a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．]
7．将命题“奇函数的定义域和图象均关于原点对称”，改写为“若p，则q”的形式为________．
若一个函数是奇函数，则这个函数的定义域和图象均关于原点对称 [命题若p，则q的形式为“若一个函数是奇函数，则这个函数的定义域和图象均关于原点对称”．]
8．命题“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实数解”为真命题，则实数a的取值范围为________．
(－∞，0)∪(0,1) [由题意知解得a<1，且a≠0.]
三、解答题
9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)当ac>bc时，a>b；
(2)面积相等的两个三角形全等；
(3)当ab＝0时，a＝0或b＝0.
[解] (1)若ac>bc，则a>b.
由于ac>bc，c<0时，a(2)若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等．是假命题．
(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0.真命题．
10．命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，求实数a的取值范围．
[解] 因为ax2－2ax－3>0不成立，
所以ax2－2ax－3≤0恒成立．
(1)当a＝0时，－3≤0成立；
(2)当a≠0时，应满足解之得－3≤a<0.
由(1)(2)得a的取值范围为[－3,0]．
[能力提升练]
1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是( )
A．红豆生南国 B．春来发几枝
C．愿君多采撷 D．此物最相思
A [“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.]
2．命题“第二象限角的余弦值小于0”的条件是( )
A．余弦值
B．第二象限
C．一个角是第二象限角
D．没有条件
C [原命题可改写为若一个角是第二象限角，则它的余弦值小于0，故选C.]
3．下列命题是真命题的是________．
①0是{0,1,2}的真子集；
②关于x的方程x2＋|x|－6＝0有四个实数根；
③设a，b，c是实数，若a>b，则ac2>bc2；
④若a≠0，则(a2＋1)2>a4＋a2＋1.
④ [对于①，0是集合{0,1,2}的元素，不是真子集，故①是假命题；对于②，由x2＋|x|－6＝0得|x|＝2，所以x＝±2，方程有两个实数根，故②是假命题；
对于③，当c＝0时，ac2＝bc2，故③是假命题；
对于④，当a≠0得(a2＋1)2＝a4＋2a2＋1>a4＋a2＋1，故④是真命题．]
4．命题“函数y＝log2(x2－mx＋4)的值域为R”为真命题，则实数m的取值范围为________．
(－∞，－4]∪[4，＋∞) [由题意知函数y＝x2－mx＋4的图象与x轴有交点，则Δ＝m2－4×4≥0，解得m≥4或m≤－4.]
5．已知A：5x－1>a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题．
[解] 若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x>，则x>1”．由命题为真命题可知≥1，解得a≥4；若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>”．由命题为真命题可知≤1，解得a≤4.故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若x>1，则x>”．
