课件43张PPT。第一章 常用逻辑用语1.1 命题及其关系
1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
逆否命题互逆命题互否命题互为逆否命题逆命题否命题真真没有相同写出原命题的其他三种命题四种命题的关系及真假判断 等价命题的应用 点击右图进入…Thank you for watching !1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解命题的四种形式，能写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点)
2．理解并掌握四种命题之间的关系及其真假性之间的关系．(易混点)
3．能够利用命题的等价性解决有关问题．(难点)
借助命题的等价性解题培养数学抽象、逻辑推理素养.
1．四种命题的概念及结构
(1)四种命题的概念
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫做互逆命题，如果恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题，如果恰好是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．
(2)四种命题结构
2．四种命题间的相互关系
(1)四种命题之间的关系
(2)四种命题间的真假关系
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
思考：(1)“a＝b＝c＝0”的否定是什么？
(2)在原命题、逆命题、否命题和逆否命题四个命题中，真命题的个数会是奇数吗？
[提示] (1)“a＝b＝c＝0”的否定是“a，b，c至少有一个不等于0”．
(2)真命题的个数只能是0,2,4，不会是奇数．
1．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )
A．原命题、否命题 B．原命题、逆命题
C．原命题、逆否命题 D．逆命题、否命题
C [原命题正确，则逆否命题正确，逆命题不正确，从而否命题不正确．故选C.]
2．给出以下命题：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②若一个四边形的对角互补，则它内接于圆；
③正方形的四条边相等；
④圆内接四边形的对角互补；
⑤对角不互补的四边形不内接于圆；
⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有________；互为否命题的有______；互为逆否命题的有________．
③和⑥，②和④ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤ [互为逆命题有③和⑥，②和④；互为否命题有①和⑥，②和⑤；互为逆否命题有①和③，④和⑤.]
3．已知命题p：若x＝，则cos x＝，则命题p的逆命题为________；命题p的否命题为________；命题p的逆否命题为________．
[答案] 若cos x＝，则x＝ 若x≠，则cos x≠
若cos x≠，则x≠
写出原命题的其他三种命题
【例1】 写出下列各个命题的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)若sin α＝，则tan α＝；
(2)若a＋b是偶数，则a，b都是偶数；
(3)等底等高的两个三角形是全等三角形；
(4)当1
(5)若ab＝0，则a＝0或b＝0.
[解] (1)逆命题：若tan α＝，则sin α＝.
否命题：若sin α≠，则tan α≠.
逆否命题：若tan α≠，则sin α≠.
(2)逆命题：若a，b都是偶数，则a＋b是偶数．
否命题：若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数．
逆否命题：若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数．
(3)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．
否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．
(4)逆命题：若x2－3x＋2<0，则1否命题：若x≤1或x≥2，则x2－3x＋2≥0.
逆否命题：若x2－3x＋2≥0，则x≤1或x≥2.
(5)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0.
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0.
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0.
1．写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的方法
(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．
(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．
2．写否命题时应注意一些否定词语，列表如下：
原词语
等于
(＝)
大于
(>)
小于
(<)
是
都是
至多有
一个
否定
词语
不等于
(≠)
不大于
(≤)
不小于
(≥)
不是
不都是
至少有
两个
原词语
至少有
一个
至多有
n个
任意的
任意两个
所有的
能
否定
词语
一个也
没有
至少有
(n＋1)个
某一个
(确定的)
某两个
某些
不能
1. (1)若命题r的否命题为“若p，则q”，那么原命题r为________．
(2)写出命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的开口向下，则集合{x|ax2＋bc＋c<0，a≠0}≠”的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)若p，则q
(2)[解] 逆命题：若集合{x|ax2＋bx＋c<0，a≠0)≠，则抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的开口向下．
否命题：若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的开口向上，则集合{x|ax2＋bx＋c<0，a≠0}＝.
逆否命题：若集合{x|ax2＋bc＋c<0，a≠0}＝，则抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的开口向上．
四种命题的关系及真假判断
【例2】 (1)对于原命题：“已知a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
(2)判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．
[思路点拨] (1)只需判断原命题和逆命题的真假即可．
(2)思路一 →
(1)C [当c＝0时，ac2>bc2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac2>bc2，则a>b”是真命题，从而否命题也是真命题，故选C.]
(2)[解] 法一：原命题的逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a<0.
∵x2＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋4a<0，解得a<－<0，
∴原命题的逆否命题为真命题．
法二：∵a≥0，∴4a≥0，∴对于方程x2＋x－a＝0，根的判别式Δ＝1＋4a>0，∴方程x2＋x－a＝0有实根，故原命题为真命题．
∵原命题与其逆否命题等价，∴原命题的逆否命题为真命题．
判断命题真假的方法
?1?解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证.
?2?原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可.
2．判断下列四个命题的真假，并说明理由．
(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；
(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；
(4)“对顶角相等”的逆命题．
[解] (1)命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题．
(2)令x＝1，y＝－2，满足x>y，但x2y，则x2>y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x>y，则x2>y2”的逆否命题也是假命题．
(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，令x＝4，满足x>3，但x2－x－6＝6>0，不满足x2－x－6≤0，则该否命题是假命题．
(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角．
等价命题的应用
[探究问题]
1．命题“若x≠1，则x2－2x－3≠0”的等价命题是什么，其命题真假如何？
提示：等价命题为“若x2－2x－3＝0，则x＝1”，其为假命题．
2．当一个命题的条件与结论以否定形式出现时，为了研究方便，我们可以研究哪一个命题？
提示：一个命题与其逆否命题等价，我们可研究其逆否命题．
【例3】 证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
[思路点拨] 证明其逆否命题成立?原命题成立．
[证明] 原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)若a＋b<0，则a<－b，b<－a.
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)即原命题的逆否命题为真命题．
∴原命题为真命题．
1．若一个命题的条件或结论含有否定词时，直接判断命题的真假较为困难，这时可以转化为判断它的逆否命题．
2．当证明一个命题有困难时，可尝试证明其逆否命题成立．
3．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
[证明] “若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．
∵a＝2b＋1，
∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1
＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.
∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．
1．写四种命题时，可以按下列步骤进行：
(1)找出命题的条件p和结论q；
(2)写出条件p的否定p和结论q的否定q；
(3)按照四种命题的结构写出所求命题．
2．每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论．
3．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．
1．判断正误
(1)命题“若p，则q”的否命题为“若p，则q”． ( )
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题． ( )
(3)命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是“若A∪B≠B，则A∩B≠A”． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [原命题是真命题，从而其逆否命题是真命题，其逆命题是“若a>－6，则a>－3”，是假命题，从而其否命题也是假命题，故真命题的个数是2.]
3．命题“若m＞1，则mx2－2x＋1＝0无实根”的等价命题是________．
若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1 [原命题的等价命题是其逆否命题，由定义可知其逆否命题为：“若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1”．]
4．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．
(1)写出命题p的否命题；
(2)判断命题p的否命题的真假．
[解] (1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．
(2)命题p的否命题是真命题．
判断如下：
因为ac<0，
所以－ac>0?Δ＝b2－4ac>0?二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根?ax2＋bx＋c>0有解，
所以该命题是真命题．
课时分层作业(二)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．命题“若aA，则b∈B”的逆命题是( )
A．若aA，则bB B．若a∈A，则bB
C．若b∈B，则aA D．若bB，则aA
C [“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，所以本题的逆命题是“若b∈B，则aA”．]
2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
A [同时否定命题的条件与结论，所得命题就是原命题的否命题，故选A.]
3．若命题p的逆命题为q，命题q的否命题为r，则命题p是命题r的( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．以上都不对
C [由四种命题的关系，知命题p与命题r互为逆否命题．]
4．在下列四个命题中，为真命题的是( )
A．“x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题
B．“若b＝3，则b2＝9”的逆命题
C．若ac>bc，则a>b
D．“相似三角形的对应角相等”的逆否命题
D [A中命题的否命题为“x≠2时，x2－5x＋6≠0”，是假命题；B中命题的逆命题为“若b2＝9，则b＝3”，是假命题；C中当c<0时，为假命题；D中原命题与其逆否命题等价，都是真命题．]
5．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是( )
A．不拥有的人们会幸福
B．幸福的人们不都拥有
C．拥有的人们不幸福
D．不拥有的人们不幸福
D [“幸福的人们都拥有”我们可将其化为：如果人是幸福的，则这个人拥有某种食品，它的逆否命题为：如果这个人没有拥有某种食品，则这个人是不幸福的，即“不拥有的人们就不幸福”，故选D.]
二、填空题
6．命题“若x2<4，则－2若x≤－2或x≥2，则x2≥4 [命题“若x2<4，则－27．已知命题“若m－1[1,2] [逆命题为“若1则，解得1≤m≤2.]
8．命题“若x≠1，则x2－1≠0是________命题(填“真、假”)．
假 [命题的条件和结论都是否定形式，可以化为判断其逆否命题的真假，其逆否命题为“若x2－1＝0，则x＝1”，因为x2－1＝0时，x＝±1，所以该命题为假命题，从而原命题是假命题．]
三、解答题
9．写出命题“若x2－3x＋2≠0，则x≠1且x≠2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
[解] ∵原命题是“若x2－3x＋2≠0，则x≠1且x≠2”，
∴它的逆命题是：若x≠1且x≠2，则x2－3x＋2≠0，是真命题；
否命题是：若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2，是真命题；
逆否命题是：若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0，是真命题．
10．证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.
[证明] 将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”．
由于m＋n>2，则m2＋n2≥(m＋n)2>×22＝2，所以m2＋n2≠2.
故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．
[能力提升练]
1．命题“若x，y都是奇数，则x＋y也是奇数”的逆否命题是( )
A．若x＋y是奇数，则x与y不都是奇数
B．若x＋y是奇数，则x与y都不是奇数
C．若x＋y不是奇数，则x与y不都是奇数
D．若x＋y不是奇数，则x与y都不是奇数
C [由于“x，y都是奇数”的否定表达是“x，y不都是奇数”，“x＋y是奇数”的否定表达是“x＋y不是奇数”，故原命题的逆否命题为若x＋y不是奇数，则x，y不都是奇数，故选C.]
2．若命题“若xm＋1，则x2－2x－3>0”的逆命题为真、逆否命题为假，则实数m的取值范围是( )
A．(－1,2) B．(0,2]
C．[－1,1) D．[0,2]
D [由已知，易得{x|x2－2x－3>0}{x|xm＋1}．又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，∴或∴0≤m≤2.]
3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数为________．
1 [易判断原命题为真命题，故其逆否命题也是真命题．逆命题：若一个四边形对角线互相垂直，则该四边形为菱形，为假命题．故原命题的否命题也是假命题．]
4．下列命题中为假命题的是________(填序号)．
①“若k>0，则关于x的方程x2＋2x＋k＝0有实根”的否命题；
②“若向量a，b满足a·b＝0，则a＝0或b＝0”的逆命题；
③“梯形不是平行四边形”的逆否命题．
① [对于①，“若k>0，则关于x的方程x2＋2x＋k＝0有实根”的否命题为“若k≤0，则关于x的方程x2＋2x＋k＝0无实根”，当k≤0时，Δ＝4－4k>0.所以方程有实根，所以①为假命题．对于②，“若向量a，b满足a·b＝0，则a＝0或b＝0”的逆命题是“若a＝0或b＝0，则a·b＝0”，所以②是真命题．对于③，“梯形不是平行四边形”是真命题，所以其逆否命题也为真命题，所以③为真命题．]
5．已知数列{an}是等比数列，命题p：若a1[解] 命题p的逆命题：已知数列{an}是等比数列，若数列{an}是递增数列，则a1命题p的否命题：已知数列{an}是等比数列，若a1≥a2或a2≥a3，则数列{an}不是递增数列；
命题p的逆否命题：已知数列{an}是等比数列，若数列{an}不是递增数列，则a1≥a2或a2≥a3.
设数列{an}的公比为q，若a1当a1>0时，解得q>1，此时数列{an}是递增数列；
当a1<0时，解得0反之，若数列{an}是递增数列，显然有a1所以命题p及其逆命题都是真命题．
由于命题p的逆否命题与命题p是等价命题，命题p的否命题与命题p的逆命题也是等价命题，
所以命题p的逆命题、否命题与逆否命题都是真命题．
