课件41张PPT。第一章 常用逻辑用语1.2 充分条件与必要条件
1.2.1 充分条件与必要条件
1.2.2 充要条件充分必要必要充分? 互为充要充分必要充要充分条件、必要条件、充要条件的判断充要条件的探求与证明 充分条件、必要条件、充要条件的应用点击右图进入…Thank you for watching !1.2 充分条件与必要条件
1.2.1 充分条件与必要条件
1.2.2 充要条件
学 习 目 标
核 心 素 养
1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)
2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)
3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)
1．通过充分条件与必要条件的学习，培养学生的数学抽象、逻辑推理的素养．
2．借助命题间的条件关系求参数范围问题，提升学生的数学运算素养.
1．充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p?q
pq
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？
(2)以下五种表述形式：①p?q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？
[提示] (1)相同，都是p?q. (2)等价
2．充要条件
(1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
概括地说，如果p?q，那么p与q互为充要条件．
(2)若p?q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．
(3)若q?p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．
(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
[提示] (1)正确．若p是q的充要条件，则p?q，即p等价于q.
(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
1．“x>2”是“x2－3x＋2>0”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A [由x2－3x＋2>0得x>2或x<1，故选A.]
2．用“充分条件”和“必要条件”填空：
(1)“a>0，b>0”是“a＋b>0”的________；
(2)“tan θ＝1”是“θ＝”的________；
(3)若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的________．
(1)充分条件 (2)必要条件 (3)充分条件 [(1)∵a>0，b>0，∴a＋b>0，故“a>0，b>0”是“a＋b>0”的充分条件．
(2)∵tan θ＝1，∴θ＝＋kπ，k∈Z，故“tan θ＝1”是“θ＝”的必要条件．
(3)由题意可知p?q，q?r，∴p?r，即p是r的充分条件．]
3．下列各题中，p是q的充要条件的是________(填序号)．
(1)p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；
(2)p：x>0，y>0，q：xy>0；
(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c.
(1)(3) [在(1)(3)中，p?q，所以(1)(3)中p是q的充要条件，在(2)中，q?p，所以(2)中p不是q的充要条件．]
充分条件、必要条件、充要条件的判断
【例1】 指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．
(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；
(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；
(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；
(4)p：a＜b，q：＜1.
[思路点拨] 判断p?q与q?p是否成立，当p，q是否定形式，可判断q是p的什么条件．
[解] (1)在△ABC中，显然有∠A>∠B?BC>AC，所以p是q的充分必要条件．
(2)因为x＝2且y＝6?x＋y＝8，即q?p，但p?q，所以p是q的充分不必要条件．
(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．
(4)由于a＜b，当b＜0时，＞1；
当b＞0时，＜1，故若a＜b，不一定有＜1；
当a＞0，b＞0，＜1时，可以推出a＜b；
当a＜0，b＜0，＜1时，可以推出a＞b.
因此p是q的既不充分也不必要条件．
充分条件与必要条件的判断方法
(1)定义法
(2)等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．
(3)逆否法：这是等价法的一种特殊情况．
若p?q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；
若p?q，且q p，则p是q的必要不充分条件；
若p?q，则p与q互为充要条件；
若p q，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．
1．用“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”填空：
(1)“x2＝4”是“x＝－2”的________条件；
(2)“函数f(x)＝cos(2x＋θ)是偶函数”是“θ＝kπ(k∈Z)”的________条件；
(3)“a>b”是“<”的________条件；
(4)“lg(x－y)>0”是“x－y>0”的________条件．
(1)必要不充分 (2)充要 (3)既不充分也不必要 (4)充分不必要 [(1)∵x2＝4，∴x＝±2，∴x2＝4是x＝－2的必要不充分条件．
(2)由f(x)＝cos(2x＋θ)为偶函数可知，θ＝kπ，k∈Z，
∴函数f(x)＝cos(2x＋θ)是偶函数是θ＝kπ，k∈Z的充要条件．
(3)当a＝1，b＝－1时，<不成立；反之，当a＝－1，b＝1时，a>b不成立，故a>b是<的既不充分也不必要条件．
(4)由lg(x－y)>0得x－y>1；反之若x－y>0，未必有lg(x－y)>0，故lg(x－y)>0是x－y>0的充分不必要条件．]
充要条件的探求与证明
【例2】 (1)“x2－4x<0”的一个充分不必要条件为( )
A．0C．x>0 D．x<4
(2)已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.
[思路点拨] (1)先解不等式x2－4x<0得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式x2－4x<0的解集的子集．
(2)充要条件的证明可用其定义，即条件?结论且结论?条件．如果每一步的推出都是等价的(?)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“?”写出证明．
(1)B [由x2－4x<0得0(2)[解] 法一：充分性：由xy>0及x>y，得>，即<.
必要性：由<，得－<0，即<0.
因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0.
所以<的充要条件是xy>0.
法二：<?－<0?<0.
由条件x>y?y－x<0，故由<0?xy>0.
所以<?xy>0，
即<的充要条件是xy>0.
充要条件的证明
?1?证明p是q的充要条件，既要证明命题“p?q”为真，又要证明“q?p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性.
?2?证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论.
2．不等式x(x－2)<0成立的一个必要不充分条件是( )
A．x∈(0,2) B．x∈[－1，＋∞)
C．x∈(0,1) D．x∈(1,3)
B [由x(x－2)<0得03．(2019·全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
[答案] B
充分条件、必要条件、充要条件的应用
[探究问题]
1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？
提示：若p是q的充分不必要条件，则AB，若p是q的必要不充分条件，BA.
2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若MN，则p是q的什么条件？若NM，M＝N呢？
提示：若MN，则p是q的充分条件，若NM，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q的充要条件．
【例3】 已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．
[思路点拨] →→
{m|m≥9}(或[9，＋∞)) [由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的充分不必要条件，所以p?q且qp.
即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，
所以或解得m≥9.
所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．]
利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围
?1?化简p，q两命题；
?2?根据p与q的关系?充分、必要、充要条件?转化为集合间的关系；
?3?利用集合间的关系建立不等关系；
?4?求解参数范围.
4．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，求实数a的值．
[解] p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.
q：ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；当a≠0时，x＝－.
由题意知pq，q?p，故a＝0舍去；当a≠0时，应有－＝2或－＝－3，解得a＝－或a＝.
综上可知，a＝－或a＝.
1．充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断．
(2)等价法：利用逆否命题的等价性判断，即要证p?q，只需证它的逆否命题q?p即可；同理要证q?p，只需证p?q即可．
(3)利用集合间的包含关系进行判断．
2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．
1．判断正误
(1)x＝1是(x－1)(x－2)＝0的充分条件． ( )
(2)α＝是sin α＝的必要条件． ( )
(3)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题． ( )
(4)“若p，则q”是真命题，则p是q的必要条件． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．下列条件中，是x2<4的必要不充分条件的是( )
A．－2≤x≤2 B．－2C．0A [由x2<4得－23．若“x＜m”是“(x－1)(x－2)＞0”的充分不必要条件，则m的取值范围是________．
(－∞，1] [由(x－1)(x－2)＞0可得x＞2或x＜1，
由已知条件，知{x|x＜m}{x|x＞2或x＜1}，
∴m≤1.]
4．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实数根的充要条件是m≥2.
[证明] (1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，所以方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两根为x1，x2，
由根与系数的关系知，x1·x2＝1>0，所以x1，x2同号．
又x1＋x2＝－m≤－2<0，所以x1，x2同为负数．
即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2.
(2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0有两个负实根，设其为x1，x2，且x1x2＝1，
所以即
所以m≥2，即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的必要条件是m≥2.
综上可知，m≥2是x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分必要条件．
课时分层作业(三)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“AB”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，AB，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“AB”的充分不必要条件．]
2．设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
D [当数列{an}的首项a1<0时，若q>1，则数列{an}是递减数列；当数列{an}的首项a1<0时，要使数列{an}为递增数列，则01”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．]
3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
A [由函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称可得－＝1，即m＝－2，且当m＝－2时，函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，故选A.]
4．设p是q的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件，s是r的充要条件，则s是p的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [由题可知，，故s是p的必要不充分条件．]
5．若x>2m2－3是－1A．[－3,3]
B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
D．[－1,1]
D [由x>2m2－3是－1二、填空题
6．设集合A＝{x|x(x－1)<0}，B＝{x|0充分不必要 [A＝{x|x(x－1)<0}＝{x|07．“a>0”是“函数y＝ax2＋x＋1在(0，＋∞)上单调递增的________条件．”
充分不必要 [当a>0时，y＝a＋1－，在上单调递增，因此在(0，＋∞)上单调递增，故充分性成立．
当a＝0时，此时y＝x＋1, 在R上单调递增，
因此在(0，＋∞)上单调递增．故必要性不成立．
综上，“a>0”是“函数y＝ax2＋x＋1在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件．]
8．若p：x(x－3)<0是q：2x－3[3，＋∞) [由x(x－3)<0得0由p是q的充分不必要条件知{x|0所以(m＋3)≥3，解得m≥3.]
三、解答题
9．分别指出下列题目中p是q的什么条件：
(1)p：x－2＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(3)p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根；
(4)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等．
[解] (1)∵x－2＝0?(x－2)(x－3)＝0，而(x－2)(x－3)＝0，则x＝2或3，故不能推出x－2＝0，
∴p是q的充分不必要条件．
(2)∵两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等?两个三角形相似，∴p是q的必要不充分条件．
(3)∵m<－2?方程x2－x－m＝0无实根，而方程x2－x－m＝0无实根，则Δ＝1＋4m<0，即m<－，故不能推出m<－2，∴p是q的充分不必要条件．
(4)∵矩形的对角线相等，∴p?q，而对角线相等的四边形不一定是矩形(如等腰梯形)，
∴qp，∴p是q的充分不必要条件．
10．已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．
(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5(3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5[解] 由M∩P＝{x|5(1)M∩P＝{x|5(2)M∩P＝{x|5(3)若a＝－5，显然M∩P＝[－5，－3)∪(5,8]是M∩P＝{x|5故a<－3时为必要不充分条件．
[能力提升练]
1．下面四个条件中，使a>b成立的充分不必要条件是( )
A．a≥b＋1 B．a>b－1
C．a2>b2 D．a3>b3
A [由a≥b＋1>b，从而a≥b＋1?a>b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4>3.54≥3.5＋1，故a>ba≥b＋1，故A正确．]
2．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A．a<0 B．a>0
C．a<－1 D．a<1
C [一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是<0，即a<0，则充分不必要条件的范围应是集合{a|a<0}的真子集，故选C.]
3．如果命题“若A，则B”的否命题为真命题，而它的逆否命题为假命题，则A是B的________条件．
必要不充分 [“若A，则B”的否命题为真，则其逆命题为真，故“若B，则A”成立，而“若A，则B”不成立，故A是B的必要不充分条件．]
4．从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中，选出恰当的一种填空：
(1)“a＝0”是“函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)为偶函数”的________；
(2)“sin α>sin β”是“α>β”的________；
(3)“M>N”是“log2M>log2 N”的________；
(4)“x∈M∩N”是“x∈M∪N”的________．
(1)充要条件 (2)既不充分也不必要条件 (3)必要而不充分条件 (4)充分而不必要条件 [(1)当a＝0时，函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)即为f(x)＝x2，为偶函数；若f(x)＝x2＋ax(x∈R)为偶函数，
则f(－x)＝(－x)2＋a(－x)＝x2－ax＝f(x)＝x2＋ax，
则2ax＝0(x∈R)，解得a＝0，
综上知“a＝0”是“函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)为偶函数”的充要条件．
(2)由正弦函数的图象可知：sin α>sin βα>β，α>βsin α>sin β.
(3)由函数y＝log2 x的单调性知log2M>log2N?M>N；但是M>Nlog2M>log2N.
(4)x∈M∩N?x∈M∪N，x∈M∪Nx∈M∩N.]
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
[证明] 充分性：因为q＝－1，所以a1＝S1＝p－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，
显然，当n＝1时，也成立．
因为p≠0，且p≠1，
所以＝＝p，
即数列{an}为等比数列．
必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
因为p≠0，且p≠1，
所以＝＝p.
因为{an}为等比数列，
所以＝＝p，即＝p.
所以－p＝pq，即q＝－1.
所以数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
