课件41张PPT。第一章 常用逻辑用语1.3 简单的逻辑联结词
1.3.1 且(and)
1.3.2 或(or)
1.3.3 非(not)假命题p∧qp且q真命题假命题p∨qp或q真命题真命题非pp的否定假命题含有逻辑联结词的命题结构 含逻辑联结词命题的真假判断 由复合命题的真假求参数的取值范围 点击右图进入…Thank you for watching !1.3 简单的逻辑联结词
1.3.1 且(and)
1.3.2 或(or)
1.3.3 非(not)
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的意义．(重点)
2.能够判断命题“p且q”“p或q”“非p”的真假．(难点)
3.会使用联结词“且”“或”“非”联结并改写成某些数学命题，会判断命题的真假．(易错点)
1.通过“且”“或”“非”的学习，提升数学抽象素养.
2.借助“p且q”“p或q”“非p”的真假，提升逻辑推理素养.
1．“且”
(1)定义
一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”．
(2)真假判断
当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题．
2．“或”
(1)定义
一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”．
(2)真假判断
当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题．
思考：(1)p∨q是真命题，则p∧q是真命题吗？
(2)若p∨q与p∧q一个是真命题，一个是假命题，那么谁是真命题？
[提示] (1)不一定，p∨q是真命题，p与q可能一真一假，此时p∧q是假命题．
(2)p∨q是真命题，p∧q是假命题．
3．“非”
(1)定义
一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作p，读作“非p”或“p的否定”．
(2)真假判断
若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题．
4．复合命题
用逻辑联结词“且”“或”“非”把命题p和命题q联结起来的命题称为复合命题．
复合命题的真假判断
p
q
p∨q
p∧q
p
真
真
真
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
假
真
假
假
假
假
真
1．命题“矩形的对角线相等且互相平分”是( )
A．“p∧q”形式的命题 B．“p∨q”形式的命题
C．“p”形式的命题 D．以上说法都不对
A [用“且”联结，故是“p∧q”形式的命题．]
2．在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题p∨q表示( )
A．甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米
B．甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米
C．甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米
D．甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米
D [结合p∨q的含义可知选项D正确．]
3．若p是真命题，q是假命题，则( )
A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题
C．p是真命题 D．q是真命题
D [结合复合命题的真假判断可知D正确．]
含有逻辑联结词的命题结构
【例1】 指出下列命题的形式及构成它的简单命题．
(1)方程x2－3＝0没有有理根；
(2)有两个内角是45°的三角形是等腰直角三角形；
(3)±1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．
[解] (1)这个命题是“非p”形式的命题，其中
p：方程x2－3＝0有有理根．
(2)这个命题是“p且q”形式的命题，其中p：有两个内角是45°的三角形是等腰三角形，q：有两个内角是45°的三角形是直角三角形．
(3)这个命题是“p或q”形式的命题，其中p：1是方程x3＋x2－x－1＝0的根，q：－1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．
1．判断一个命题的结构，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”“非”等逻辑联结词，而应从命题的结构上看是否用逻辑联结词联结两个命题．
2．用逻辑联结词“且”“或”联结两个命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，选择合适的联结词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可进行适当的省略和变形．
1．分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的命题．
(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；
(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
[解] (1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．
p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．
p：梯形没有一组对边平行．
(2)p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解.
含逻辑联结词命题的真假判断
【例2】 (2019·全国卷Ⅲ)记不等式组表示的平面区域为D.命题p： (x，y)∈D,2x＋y≥9；命题q： (x，y)∈D,2x＋y≤12.下面给出了四个命题
①p∨q ②p∨q ③p∧q ④p∧q
这四个命题中，所有真命题的编号是( )
A．①③ B．①②
C．②③ D．③④
[思路点拨] →
→
[答案] A
含逻辑联结词命题真假的判断方法及步骤
?1?我们可以用口诀记忆法来记忆：
“p且q”全真才真，一假必假；“p或q”全假才假，一真必真；“非p”与p真假相对.
?2?判断复合命题真假的步骤：
①确定复合命题的构成形式是“p且q”“p或q”还是“p”；
②判断其中的简单命题p，q的真假；
③根据真值表判断复合命题的真假.
2．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(q)；④(p)∨q中，真命题是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
C [由不等式的性质可知，命题p为真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题，②p∨q为真命题，③q为真命题，则p∧(q)为真命题，④p为假命题，则(p)∨q为假命题．]
3．分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的命题的真假．
(1)p：1∈{2,3}，q：2∈{2,3}；
(2)p：2是奇数，q：2是合数；
(3)p：4≥4，q：23不是偶数；
(4)p：不等式x2－3x－10<0的解集是{x|－2
5或x<－2}．
[解] (1)∵p是假命题，q是真命题，
∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，p是真命题．
(2)∵p是假命题，q是假命题，
∴p∨q是假命题，p∧q是假命题，p是真命题．
(3)∵p是真命题，q是真命题，
∴p∨q是真命题，p∧q是真命题，p是假命题．
(4)∵p是真命题，q是假命题，
∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，p是假命题.
由复合命题的真假求参数的取值范围
[探究问题]
1．若“p∨q”与“p”同时为真命题，那么能否判定命题p与q的真假？
提示：由“p”是真命题可知p是假命题，又因为“p∨q”是真命题，所以q是真命题．
2．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，能否判定命题p与q的真假？
提示：不能判定，只能得到p与q其中一个是真命题，另一个是假命题．
【例3】 已知p：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根，q：关于x的方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．
[思路点拨] →→
[解] 当x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根为真时，解之得m>2，
当4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根为真时，16(m－2)2－16<0，解之得1因为p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p与q一真一假．
若p真q假，则所以m≥3.
若p假q真，则所以1所以m的取值范围为11．本例题条件不变，试求p∨q与p∧q分别为真命题时m的取值范围．
[解] 由例题知，当p为真时， m>2，当q为真时11，
当p∧q为真命题时，22．若本例条件变为(p)∨(q)为假命题，其他条件不变，求实数m的取值范围．
[解] 由例题解析可知p：m>2，q：1所以解得2所以实数m的取值范围是(2,3)．
根据命题的真假求参数范围的步骤
?1?求出p，q均为真时参数的取值范围；
?2?根据命题p∧q，p∨q的真假判断命题p，q的真假；
?3?根据p，q的真假求出参数的取值范围.
1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个．
2．对于含有逻辑联结词命题的真假判断熟记：(1)p∨q中有一真便真；(2)p∧q中有一假便假；(3)p与p真假不同．
3．在应用逻辑联结词求参数范围时，要树立等价转化的思想意识．
1．判断正误
(1)当p是真命题时，“p∧q”为真命题． ( )
(2)“p∨q为假命题”是“p为假命题”的充要条件． ( )
(3)命题“p∨(p)”是真命题． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．给出下列命题：
①2>1或1>3；
②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；
③25是6或5的倍数；
④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
D [对于①，是“或”命题，且2>1是真命题，故①是真命题．对于②，是“或”命题，且Δ＝(－2)2＋16＝20>0，故②是真命题．对于③，是“或”命题，且25是5的倍数，故③是真命题．对于④，是“且”命题，且集合A∩B是A的子集，也是A∪B的子集，故④是真命题．故选D.]
3．已知命题p：函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数；命题q：函数g(x)＝x2＋ax在[1,2]上是增函数，若p∧q为真，则实数a的取值范围是________．
[p为真时，2a－1<0，即a<，
q为真时，－≤1，即a≥－2，
则p∧q为真时，－2≤a<.]
4．分别指出由下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“p”形式的命题的真假：
(1)p：点P(1,1)在直线2x＋y－1＝0上，q：直线y＝x过圆x2＋y2＝4的圆心；
(2)p：4∈{2,3,4}，q：不等式x2－x－2＞0的解集为{x|－2＜x＜1}；
(3)p：若a＞b，则2a＞2b，q：若a＞b，则a3＞b3.
[解] (1)∵p是假命题，q是真命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，p为真命题．
(2)∵p是真命题，q是假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，p为假命题．
(3)∵p是真命题，q是真命题，
∴p∧q为真命题，p∨q为真命题，p为假命题．
课时分层作业(四)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知p：2＋3＝5，q：5<4，则下列判断正确的是( )
A．p为假命题 B．q为真命题
C．p∨q为真命题 D．p∧q为真命题
C [p为真命题，q为假命题，∴p∨q为真命题．]
2．由下列各组命题构成的复合命题中，“p或q”为真，“p且q”为假，“p”为真的一组为( )
A．p：∈Q，q：A
B．p：π<3，q：5>3
C．p：a∈{a，b}，q：{a}{a，b}
D．p：QR，q：N＝Z
B [若“p”为真，则p为假．又p或q真，p且q假，所以q真．故选B.]
3．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧q
C．p∧q D．p∧q
A [命题p为真命题，命题q为假命题，所以命题q为真命题，所以p∧q为真命题．同理可知，选项B，C，D中的命题为假命题．]
4．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若xA．①③ B．①④
C．②③ D．②④
C [由题意可知p为真命题，q为假命题，∴p∨q，p∧(q)为真命题，选C.]
5．已知p：|x－1|≥2，q：x∈Z，若p∧q，q同时为假命题，则满足条件的x的集合为( )
A．{x|x≤－1或x≥3，xZ}
B．{x|－1≤x≤3，xZ}
C．{x|x＜－1或x∈Z}
D．{x|－1＜x＜3，x∈Z}
D [p：x≥3或x≤－1，q：x∈Z，由p∧q，q同时为假命题知，p假q真，∴x满足－1＜x＜3且x∈Z，故满足条件的集合为{x|－1＜x＜3，x∈Z}．]
二、填空题
6．已知命题s：“函数y＝sin x是周期函数且是奇函数”，则
①命题s是“p∧q”形式的命题；
②命题s是真命题；
③命题s：函数y＝sin x不是周期函数且不是奇函数；
④命题s是假命题．
其中，叙述正确的是________(填序号)．
①②④ [命题s是“p∧q”形式的命题，①正确；命题s是真命题，②正确；命题s：函数y＝sin x不是周期函数或不是奇函数，③不正确；命题s是假命题，④正确．]
7．在一次射击比赛中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p：“甲的成绩超过9环”，命题q：“乙的成绩超过8环”，则命题“p∨(q)”表示________．
甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环 [q表示乙的成绩没有超过8环，所以命题“p∨(q)”表示甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环．]
8．已知命题p：{2}∈{1,2,3}，q：{2}{1,2,3}．给出下列结论：①“p或q”为真；②“p或q”为假；③“p且q”为真；④“p且q”为假；⑤“非p”为真；⑥“非q”为假．其中正确结论的序号是________．
①④⑤⑥ [由题意知，p假q真，故“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真，“非q”为假，故①④⑤⑥正确．]
三、解答题
9．已知命题p：1∈{x|x2(1)若“p或q”为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．
[解] 若p为真命题，则1∈{x|x2故121；
若q为真命题，则2∈{x|x24.
(1)若“p或q”为真命题，则a>1或a>4，即a>1.
故实数a的取值范围是(1，＋∞)．
(2)若“p且q”为真命题，则a>1且a>4，即a>4.故实数a的取值范围是(4，＋∞)．
10．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p是“第一次击中飞机”，命题q是“第二次击中飞机”．试用p，q以及逻辑联结词“或”“且”“非”(∨，∧，)表示下列命题：
(1)命题s：两次都击中飞机；
(2)命题r：两次都没击中飞机；
(3)命题t：恰有一次击中了飞机；
(4)命题u：至少有一次击中了飞机．
[解] (1)两次都击中飞机表示：第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题s表示为p∧q.
(2)两次都没击中飞机表示：第一次没有击中飞机且第二次没有击中飞机，所以命题r表示为p∧q.
(3)恰有一次击中了飞机包含两种情况：
①第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，此时表示为p∧q；
②第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，此时表示为p∧q.
所以命题t表示为(p∧q)∨(p∧q)．
(4)法一：命题u表示：第一次击中飞机或第二次击中飞机，所以命题u表示为p∨q.
法二：u：两次都没击中飞机，即是命题r，所以命题u是r，从而命题u表示为(p∧q)．
法三：命题u表示：第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，或者第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，或者第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题u表示为(p∧q)∨(p∧q)∨(p∧q)．
[能力提升练]
1．已知命题：
p：对任意x∈R，总有2x>0；
q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．
则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧q
C．p∧q D．p∧q
D [因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q、p为假命题，q为真命题，p∧q、p∧q为假命题，p∧q为真命题，故选D.]
2．设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A．p∨q B．p∧q
C．(p)∧(q) D．p∨(q)
A [对于命题p：因为a·b＝0，b·c＝0，所以a，b与b，c的夹角都为90°，但a，c的夹角可以为0°或180°，故a·c≠0，所以命题p是假命题；
对于命题q：a∥b，b∥c，说明a，b与b，c都共线，可以得到a，c的方向相同或相反，故a∥c，所以命题q是真命题．选项A中，p∨q是真命题，故A正确；选项B中，p∧q是假命题，故B错误；选项C中，p是真命题，q是假命题，所以(p)∧(q)是假命题，故C错误；选项D中，p∨(q)是假命题，所以D错误．]
3．p：<0，q：x2－4x－5<0，若p∧q为假命题，则x的取值范围是________．
(－∞，－1]∪[3，＋∞) [p为真时，由<0得x<3，q为真时，由x2－4x－5<0得－14．命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立；命题q：函数y＝－(5－2a)x是减函数，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围为________．
(－∞，－2] [p为真时，Δ＝4a2－16<0，即－2q为真时，5－2a>1，即a<2，由p∨q为真命题，p∧q为假命题知，p和q一真一假，即p真q假或p假q真
所以或解得a≤－2.]
5．已知命题p：关于x的方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，若p∨q与q同时为真命题，求实数a的取值范围．
[解] 若命题p为真，则
即解得a≤－1.
若命题q为真，则a＝0或，解得0≤a<4.
因为p∨q与q同时为真命题，所以p真且q假．
所以解得a≤－1.
故实数a的取值范围是(－∞，－1].
