1.4 全称量词与存在量词
1.4.1 全称量词
1.4.2 存在量词
1.4.3 含有一个量词的命题的否定
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和特称命题的意义.
2.掌握全称命题与特称命题真假性的判定．(重点、难点)
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易混点)
1.通过学习全称命题及特称命题的概念，培养数学抽象素养.
2.借助含有一个量词的命题的否定，提升逻辑推理素养.
1．全称量词与全称命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．
(2)含有全称量词的命题叫做全称命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)．
2．存在量词与特称命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．
(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为“x0∈M，p(x0)”．
思考：(1)“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．
(2)“不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．
[提示] (1)是特称命题，可改写为“存在x0∈R，使ax＋2x0＋1＝0”
(2)是全称命题，可改写成：“x∈R，(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0”．
3．含有一个量词的命题的否定
一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：
全称命题p：x∈M，p(x)，它的否定p：x0∈M，p(x0)；
特称命题p：x0∈M，p(x0)，它的否定p：x∈M，p(x)．
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
1．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“p”形式的命题是( )
A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根
B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根
C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根
D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根
[答案] C
2．下列四个命题中的真命题为( )
A．x0∈Z,1<4x0<3
B．x0∈Z,5x0＋1＝0
C．x∈R，x2－1＝0
D．x∈R，x2＋x＋2>0
D [当x∈R时，x2＋x＋2＝＋>0，故选D.]
3．(1)命题“有些长方形是正方形”中含有的量词是________，该量词是________量词(填“全称”或“存在”)，该命题是________命题(填“全称”或“特称”)．
(2)命题“负数没有对数”中省略的量词是________，这是一个________命题(填“全称”或“特称”)．
[答案] (1)有些 存在 特称 (2)一切(所有的等) 全称
全称(特称)命题的概念及真假判断
【例1】 指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．
(1)x∈N,2x＋1是奇数；
(2)存在一个x0∈R，使＝0；
(3)能被5整除的整数末位数是0；
(4)有一个角α，使sin α>1.
[解] (1)是全称命题．因为x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．
(2)是特称命题．因为不存在x0∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．
(3)是全称命题．因为25能被5整除，但末位数不是0，因此该命题是假命题．
(4)是特称命题．因为α∈R，sin α∈[－1,1]，所以该命题是假命题．
1．判断命题是全称命题还是特称命题的方法
(1)分析命题中是否含有量词；
(2)分析量词是全称量词还是存在量词；
(3)若命题中不含量词，要根据命题的意义去判断．
2．全称命题与特称命题真假的判断方法
(1)要判定全称命题“x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．
(2)要判定特称命题“x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题．
1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
B [A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．]
2．下列命题中，真命题是( )
A．x∈，sin x＋cos x≥2
B．x∈(3，＋∞)，x2>2x＋1
C．x∈R，x2＋x＝－1
D．x∈，tan x>sin x
B [对于选项A，
sin x＋cos x＝sin≤，∴此命题不成立；
对于选项B，x2－2x－1＝(x－1)2－2，当x>3时，(x－1)2－2>0，∴此命题成立；
对于选项C，x2＋x＋1＝＋>0，∴x2＋x＝－1对任意实数x都不成立，∴此命题不成立；
对于选项D，当x∈时，tan x<0，sin x>0，命题显然不成立．故选B.]
含有一个量词的命题的否定
【例2】 (1)命题“x∈R，x2≠x”的否定是( )
A．xR，x2≠x B．x∈R，x2＝x
C．xR，x2≠x D．x∈R，x2＝x
(2)写出下列命题的否定，并判断其真假：
①p：x∈R，x2－x＋≥0；
②p：所有的正方形都是菱形；
③p：至少有一个实数x0，使x＋1＝0.
[思路点拨] 先判定命题是全称命题还是特称命题，再针对不同的形式加以否定．
(1)D [原命题的否定为x∈R，x2＝x，故选D.]
(2)[解] ①p：x0∈R，x－x0＋<0，假命题．
因为x∈R，x2－x＋＝≥0恒成立．
②p：至少存在一个正方形不是菱形，假命题．
③p：x∈R，x3＋1≠0，假命题．
因为x＝－1时，x3＋1＝0.
对全称命题和特称命题进行否定的步骤与方法
?1?确定类型：是特称命题还是全称命题.
?2?改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词.
?3?否定结论：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.
提醒：无量词的全称命题要先补回量词再否定.
3．命题“x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是( )
A．x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
B．x(0，＋∞)，ln x＝x－1
C．x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1
D．x0(0，＋∞)，ln x0＝x0－1
A [特称命题的否定是全称命题，故原命题的否定是x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1.]
4．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)q: 存在一个实数x0，使得x＋x0＋1≤0；
(3)r：等圆的面积相等，周长相等；
(4)s：对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
[解] (1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”．
注意到当Δ＝1＋4m＜0时，即m＜－时，一元二次方程没有实数根，所以p是真命题．
(2)这一命题的否定形式是q：“对所有的实数x，都有x2＋x＋1＞0”，利用配方法可以证得q是真命题．
(3)这一命题的否定形式是r：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识知r是假命题．
(4)这一命题的否定形式是s：“存在α∈R，sin2α＋cos2α≠1”，由于命题s是真命题，所以s是假命题.
由全称(特称)命题的真假确定参数的范围
[探究问题]
1．(1)已知对任意的x∈[1,3]，都有m≥x，求实数m的取值范围；
(2)已知存在实数x∈[1,3]，使m≥x，求实数m的取值范围．
提示：(1)由于对任意的x∈[1,3]，都有m≥x，故只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.
(2)由于存在实数x∈[1,3]，使m≥x，故只需m大于或等于x的最小值，即m≥1.
2．类比探究1，若对x∈R，a>f(x)恒成立，只需a满足什么条件？若x0∈R使a>f(x)成立，只需a满足什么条件？
提示：前者a满足a>f(x)max；后者a满足a>f(x)min.
【例3】 若命题“x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．
[思路点拨] 法一：
法二：
[解] 法一：由题意，x∈[－1，＋∞)，
f(x)＝x2－2ax＋2≥a恒成立，
所以f(x)＝(x－a)2＋2－a2≥a可转化为x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a恒成立，
而x∈[－1，＋∞)，
f(x)min＝
由f(x)的最小值f(x)min≥a，知a∈[－3,1]．
法二：x2－2ax＋2≥a，
即x2－2ax＋2－a≥0，
令f(x)＝x2－2ax＋2－a，
所以x∈[－1，＋∞)，f(x)≥0恒成立，
所以Δ≤0或
即－2≤a≤1或－3≤a<－2.
所以－3≤a≤1.
综上，所求实数a的取值范围是[－3,1]．
把题设条件改为：已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x＋2ax0＋2－a>0成立”为真，试求参数a的取值范围．
[解] 由已知得p：x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立，
所以设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，
则所以解得a≤－3，
因为p为假，所以a>－3，
即a的取值范围是(－3，＋∞)．
应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型
?1?全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以利用代入体现集合中相应元素的具体性质中求解；也可以根据函数等数学知识来解决.
?2?特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设.
1．判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．
2．对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：
(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题．
(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．
(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．
(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．
3．通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算.
1．判断正误
(1)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”． ( )
(2)同一个特称命题的表达形式是唯一的． ( )
(3)全称命题的否定一定是特称命题，特称命题的否定一定是全称命题． ( )
(4)特称命题的否定是对“量词”和“p(x)”的同时否定． ( )
(5)全称命题与其否定的真假可以相同． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)×
2．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )
A．所有不能被2整除的数都是偶数
B．所有能被2整除的数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的数是偶数
D．存在一个能被2整除的数不是偶数
D [全称命题的否定为相应的特称命题，即将“所有”变为“存在”，并且将结论进行否定．]
3．命题p：x0∈R，x＋2x0＋5＜0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为p：________.
特称命题 假 x∈R，x2＋2x＋5≥0 [命题p：x0∈R，x＋2x0＋5＜0是特称命题．因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4＞0恒成立，所以命题p为假命题．
命题p的否定为：x∈R，x2＋2x＋5≥0.]
4．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
(1)对某些实数x，有2x＋1>0；
(2)x∈{3,5,7},3x＋1是偶数；
(3)x0∈Q，x＝3.
[解] (1)命题中含有存在量词“某些”，因此是特称命题，真命题．
(2)命题中含有全称量词的符号“”，因此是全称命题．
把3,5,7分别代入3x＋1，得10,16,22，都是偶数，因此，该命题是真命题．
(3)命题中含有存在量词的符号“”，因此是特称命题．
由于使x2＝3成立的实数只有±，且它们都不是有理数，因此，没有一个有理数的平方等于3，所以该命题是假命题．
课件44张PPT。第一章 常用逻辑用语1.4 全称量词与存在量词
1.4.1 全称量词
1.4.2 存在量词
1.4.3 含有一个量词的命题的否定全称量词全称量词存在量词 存在量词 全称(特称)命题的概念及真假判断含有一个量词的命题的否定 由全称(特称)命题的真假确定参数的范围 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(五)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列命题为特称命题的是( )
A．奇函数的图象关于原点对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．棱锥仅有一个底面
D．存在大于等于3的实数x，使x2－2x－3≥0
D [A，B，C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A，B，C都是全称命题；D中命题含有存在量词“存在”，所以D是特称命题，故选D.]
2．命题“x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )
A．x∈(－∞，0)，x3＋x<0
B．x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C．x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0
D．x0∈[0，＋∞)，x＋x0≥0
C [原命题的否定为“x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0”，故选C.]
3．下列命题为真命题的是( )
A．x∈R，cos x<2
B．x∈Z，log2(3x－1)<0
C．x>0,3x>3
D．x∈Q，方程x－2＝0有解
A [A中，由于函数y＝cos x的最大值是1，又1<2，所以A是真命题；B中，log2(3x－1)<0?0<3x－1<1?
4．命题p：x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若p是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(0,4] B．[0,4]
C．(－∞，0]∪[4，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
D [当a＝0时，不等式恒成立；当a≠0时，要使不等式恒成立，则有即解得04.]
5．已知命题p：x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧q
C．p∧q D．p∧q
B [∵x>0，∴x＋1>1，∴ln(x＋1)>ln 1＝0.
∴命题p为真命题，∴p为假命题．
∵a>b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，
此时a2∴命题q为假命题，∴q为真命题．
∴p∧q为假命题，p∧q为真命题，p∧q为假命题，p∧q为假命题．故选B.]
二、填空题
6．下列命题：
①有的质数是偶数；②与同一个平面所成的角相等的两条直线平行；③有的三角形三个内角成等差数列；④与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
其中是全称命题的为________，是特称命题的为__________________________________________________．
(填序号)
②④ ①③ [全称命题为②④，特称命题为①③.]
7．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是_______________________________________________．
对任意的正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0 [特称命题的否定为全称命题，注意量词的否定．]
8．已知命题：“x0∈[1,2]，使x＋2x0＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是__________．
[－8，＋∞) [当x∈[1,2]时，x2＋2x＝(x＋1)2－1是增函数，所以3≤x2＋2x≤8，由题意有a＋8≥0，
∴a≥－8.]
三、解答题
9．判断下列命题的真假，并写出它们的否定．
(1)α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；
(2)x0，y0∈Z,3x0－4y0＝20；
(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解；
(4)正数的绝对值是它本身．
[解] (1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故命题为假命题．命题的否定为：α0，β0∈R，sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0.
(2)真命题．命题的否定为：x，y∈Z,3x－4y≠20.
(3)真命题．命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．
(4)省略了量词“所有的”，该命题是全称命题，且为真命题．命题的否定为：有的正数的绝对值不是它本身．
10．已知命题p：a∈(0，b](b∈R且b>0)，函数f(x)＝sin的周期不大于4π.
(1)写出p；
(2)当p是假命题时，求实数b的最大值．
[解] (1)p：a0∈(0，b](b∈R且b>0)，函数f(x)＝sin的周期大于4π.
(2)因为p是假命题，所以p是真命题，所以a∈(0，b]，≤4π恒成立，解得a≤2，所以b≤2，所以实数b的最大值是2.
[能力提升练]
1．命题“x∈R，n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．x ∈R，n∈N*，使得nB．x ∈R，n∈N*，使得nC．x ∈R，n∈N*，使得nD．x ∈R，n∈N*，使得nD [将“”改写为“”，“”改写为“”，再否定结论可得，命题的否定为“x∈R，n∈N*，使得n2．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A．x∈R，f(x)≤f(x0)
B．x∈R，f(x)≥f(x0)
C．x∈R，f(x)≤f(x0)
D．x∈R，f(x)≥f(x0)
C [f(x)＝ax2＋bx＋c＝a＋(a>0)，
∵2ax0＋b＝0，∴x0＝－，
当x＝x0时，函数f(x)取得最小值，
∴x∈R，f(x)≥f(x0)，从而A，B，D为真命题，C为假命题．]
3．命题“n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为________．
n0∈N*，f(n0)N*或f(n0)>n0 [全称命题的否定为特称命题，因此原命题的否定为“n0∈N*，f(n0)N*或f(n0)>n0”]
4．命题p：x0∈[0，π]，使sin [0≤x≤π，则≤x＋≤，所以－≤sin≤1；而命题p：x∈[0，π]，使sin－.]
5．已知命题p：x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0，命题q：x0∈R，ax－2ax0－3>0，若p假q真，求实数a的取值范围．
[解] 因为命题p是假命题，
所以命题p：x0∈R，x＋(a－1)x0＋1<0是真命题，则(a－1)2－4>0，
解得a<－1或a>3.
因为命题q：x0∈R，ax－2ax0－3>0是真命题．
所以当a＝0时，－3<0，不满足题意；
当a<0时，(－2a)2＋12a>0，所以a<－3.
当a>0时，函数y＝ax2－2ax－3的图象开口向上，一定存在满足条件的x0，故a<－3或a>0.
综上，实数a的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．
