课件27张PPT。第二课 导数在研究函数中的应用阶段复习课函数的单调性与导数 函数的极值、最值与导数 不等式的证明与导数 点击右图进入…Thank you for watching !章末综合测评(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．双曲线3x2－y2＝9的焦距为( )
A. B．2
C．2 D．4
D [方程化为标准方程为－＝1，
∴a2＝3，b2＝9，
∴c2＝a2＋b2＝12，∴c＝2，∴2c＝4.]
2．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )
A. B.
C．1 D.
B [抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，到双曲线x2－＝1的渐近线x－y＝0的距离为＝，故选B.]
3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等差数列，则此椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.－2
A [由题意可得2|F1F2|＝|AF1|＋|F1B|，即4c＝a－c＋a＋c＝2a，故e＝＝.]
4．θ是任意实数，则方程x2＋y2sin θ＝4的曲线不可能是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
C [由于θ∈R，对sin θ的值举例代入判断，sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．]
5．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋y2＝1 D.＋y2＝1
A [∵|BF2|＝|F1F2|＝2，∴a＝2c＝2，∴a＝2，c＝1，∴b＝.∴椭圆的方程为＋＝1.]
6．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛物线的标准方程可能是( )
A．y2＝x B．y2＝x
C．x2＝－x D．x2＝－y
C [如果设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p×40，即2p＝，所以所求抛物线方程为y2＝x.虽然选项中没有y2＝x，但C中的2p＝符合题意．]
7．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(－12,0)
C．(－3,0) D．(－60，－12)
B [∵a2＝4，b2＝－k，∴c2＝4－k.
∵e∈(1,2)，∴＝∈(1,4)，k∈(－12,0)．]
8．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
B [设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式作差得＝×＝.
又kAB＝kFN＝＝1，
∴5a2＝4b2，
又c＝3，a2＋b2＝9，
∴b2＝5，a2＝4，即E的方程为－＝1，故选B.]
9．我们把离心率为黄金分割系数的椭圆称为“黄金椭圆”．如图，“黄金椭圆”C的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为长轴和短轴上的顶点，则∠ABF＝( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
A [设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．由已知，得A(a，0)，B(0，b)，F(－c,0)，则＝(－c，－b)，＝(a，－b)．
∵离心率e＝＝，∴c＝a，b＝＝＝a，
∴·＝b2－ac＝0，
∴∠ABF＝90°.]
10．设圆锥曲线Г的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Г上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Г的离心率等于( )
A.或 B.或2
C.或2 D.或
A [设圆锥曲线的离心率为e，由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，知①若圆锥曲线为椭圆，则由椭圆的定义，得e＝＝＝；②若圆锥曲线为双曲线，则由双曲线的定义，得e＝＝＝.综上，所求的离心率为或.故选A.]
11．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为( )
A．x2－＝1(x>1)
B．x2－＝1(x<－1)
C．x2＋＝1(x>0)
D．x2－＝1(x>1)
A [设圆与直线PM，PN分别相切于E，F，则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NB|＝|NF|.∴|PM|－|PN|＝|PE|＋|ME|－(|PF|＋|NF|)＝|MB|－|NB|＝4－2＝2，∴点P的轨迹是以M(－3,0)，N(3,0)为焦点的双曲线的右支，且a＝1，c＝3，∴b2＝8.故双曲线的方程是x2－＝1(x>1)．]
12．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
D [因为椭圆的离心率为，所以e＝＝，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2.双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝±b.所以y＝±b，则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4×b×b＝b2＝16，所以b2＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1，选D.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．以双曲线－＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．
＋＝1 [双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，
故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)．所以椭圆方程为＋＝1.]
14．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．
2＋ [如图，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，将点P的横坐标2a代入－＝1中，得y2＝3b2，
不妨令点P的坐标为(2a，－b)，
此时kPF2＝＝，
得到c＝(2＋)a，
即双曲线C的离心率e＝＝2＋.
]
15．如图所示，已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于B，|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为________．
8 [由题意知抛物线的焦点为F(2，0)，准线l为x＝－2，∴K(－2,0)，设A(x0，y0)(y0＞0)，∵过点A作AB⊥l于B，
∴B(－2，y0)，∴|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，
|BK|2＝|AK|2－|AB|2，∴x0＝2，
∴y0＝4，即A(2,4)，∴△AFK的面积为|KF|·|y0|＝×4×4＝8.]
16．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．
15 [由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|，|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|，易知M点在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于点P(图略)，此时|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值为10＋|MF2|＝10＋＝15.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知直线y＝x－4被抛物线y2＝2mx(m≠0)截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．
[解] 设直线与抛物线的交点为(x1，y1)，(x2，y2)．
由得x2－2(4＋m)x＋16＝0，
所以x1＋x2＝2(4＋m)，x1x2＝16，
所以弦长为
＝
＝2.
由2＝6，
解得m＝1或m＝－9.
经检验，m＝1或m＝－9均符合题意．
所以所求抛物线的标准方程为y2＝2x或y2＝－18x.
18．(本小题满分12分)已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点．
(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；
(2)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面积为，求b的值．
[解] (1)因为点P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝20.
|PF1|·|PF2|≤＝100(当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号)，
∴|PF1|·|PF2|的最大值为100.
(2)S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝，
∴|PF1|·|PF2|＝， ①
由题意知：
∴3|PF1|·|PF2|＝400－4c2. ②
由①②得c＝6，∴b＝8.
19．(本小题满分12分)已知椭圆＋＝1及直线l：y＝x＋m.
(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值．
[解] (1)由消去y，并整理得9x2＋6mx＋2m2－18＝0.①
Δ＝36m2－36(2m2－18)
＝－36(m2－18)．
∵直线l与椭圆有公共点，
∴Δ≥0，据此可解得－3≤m≤3.
故所求实数m的取值范围为[－3，3]．
(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由①得：x1＋x2＝－，x1x2＝，
故|AB|＝·
＝·
＝·，
当m＝0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为.
20．(本小题满分12分)设动直线y＝kx＋m与定椭圆＋＝1相交于点A，B.
(1)求弦长|AB|及△OAB的面积S(用含a，b，k，m的式子表示)；
(2)试求△OAB的面积S的最大值．
[解] (1)联立直线与椭圆的方程得到
(a2k2＋b2)x2＋2a2kmx＋(a2m2－a2b2)＝0，
此时判别式Δ＝4a2b2(b2＋a2k2－m2)．
易知Δ>0，弦长|AB|＝·.
原点O到直线AB的距离d＝，于是△OAB的面积S＝ab·.
(2)由于S＝ab·
＝ab·.
令t＝(t>0)，则S＝ab·.当且仅当t＝时，S取到最大值Smax＝.
21．(本小题满分12分)已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
[解] 由题意，直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．
由方程组(*)
可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0. ①
(1)当k＝0时，由方程①得y＝1，
把y＝1代入y2＝4x，得x＝，
这时，直线l与抛物线只有一个公共点.
(2)当k≠0时，方程①的判别式为
Δ＝－16(2k2＋k－1)．
a．由Δ＝0，即2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝，
所以方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解，这时直线l与抛物线只有一个公共点．
b．由Δ>0，即2k2＋k－1<0，解得－1
于是，当－1从而方程组(*)有两个解，这时直线l与抛物线有两个公共点．
c．由Δ<0，即2k2＋k－1>0，解得k<－1或k>.于是k<－1或k>时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解，直线l与抛物线无公共点．
综上，当k＝0或k＝－1或k＝时，直线l与抛物线只有一个公共点．
当－1时，直线l与抛物线无公共点．
22．(本小题满分12分)(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.
[解] (1)由已知得F(1,0)，l的方程为x＝1.
由已知可得，点A的坐标为或.
又M(2,0)，所以AM的方程为y＝－x＋或y＝x－.
(2)证明：当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＜，x2＜，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝＋.
由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k得
kMA＋kMB＝.
将y＝k(x－1)代入＋y2＝1得
(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0.
从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补．所以∠OMA＝∠OMB.
综上，∠OMA＝∠OMB.
第二课 导数在研究函数中的应用
函数的单调性与导数
【例1】 已知函数f(x)＝ln x－ax2＋(2－a)x，讨论f(x)的单调性．
[思路点拨] ―→―→
[解] f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－2ax＋(2－a)＝－.
①当a≤0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当a>0时，由f′(x)＝0，得x＝.
又由f′(x)>0得0由f′(x)<0得x>，
∴f(x)在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．
导数法求函数单调区间的一般流程
求定义域→求导数f′?x?→求f′?x?＝0在定义域内的根→用求得的根划分定义区间→确定f′?x?在各个开区间内的符号→得相应开区间上的单调性.
提醒：在求解中注意分类讨论和数形结合思想的应用.
1．已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R，试求f(x)的单调区间．
[解] ∵f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2.
①当－2a＝a－2，即a＝时，f′(x)≥0，∴f(x)在R上单调递增．
②当－2a时，
由f′(x)>0得，x<－2a或x>a－2，
由f′(x)<0得，－2a∴f(x)在(－∞，－2a)及(a－2，＋∞)上为增函数，
在(－2a，a－2)上为减函数．
③当－2a>a－2，即a<时，
由f′(x)>0得x－2a，
由f′(x)<0得a－2∴f(x)在(－∞，a－2)及(－2a，＋∞)上为增函数，在(a－2，－2a)上为减函数．
综上所述，当a<时，f(x)的增区间为(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)；减区间为(a－2，－2a)．
当a＝时，f(x)的增区间为(－∞，＋∞)．
当a>时，f(x)的增区间为(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)；减区间为(－2a，a－2)．
函数的极值、最值与导数
【例2】 已知函数f(x)＝x2＋aln x.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(3)当a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方．
[解] (1)由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f′(x)＝x－
＝，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
所以f(x)在x＝1处取得极小值，且极小值为.
(2)当a＝1时，f(x)＝x2＋ln x，f′(x)＝x＋>0，
则函数f(x)在[1，e]上为增函数，
所以f(x)min＝f(1)＝，
f(x)max＝f(e)＝e2＋1.
(3)证明：设F(x)＝f(x)－g(x)
＝x2＋ln x－x3，
则F′(x)＝x＋－2x2
＝，
当x>1时，F′(x)<0，
故F(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，又F(1)＝－<0，
所以在区间[1，＋∞)上，F(x)<0恒成立．
即f(x)因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方．
函数的最值是函数的整体性质，要区别于函数的极值，求函数在闭区间上的最值，应先求开区间的极值，再与闭区间的端点值进行比较，最大的为最大值，最小的为最小值；反过来，已知最值时，要能求相应参数及与最值有关的其他问题.
2．已知函数f(x)＝x3－(2a＋1)x2＋(a2＋a)x(a∈R)．
(1)若函数f(x)在x＝2处取得极小值，求a的值；
(2)若a≥0，求f(x)在[0,1]上的最大值．
[解] (1)f′(x)＝x2－(2a＋1)x＋(a2＋a)
＝(x－a)[x－(a＋1)]．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，a)
a
(a，a＋1)
a＋1
(a＋1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴a＋1＝2，∴a＝1.
(2)由(1)知，
①当a≥1时，f(x)在[0,1]上是增函数，
∴f(x)max＝f(1)＝a2－；
②当a＝0时，f(x)在[0,1]上是减函数，
∴f(x)max＝f(0)＝0；
③当0综上，f(x)max＝
不等式的证明与导数
[探究问题]
1．不等式“x>sin x(x>0)”成立吗？如何证明？
提示：成立，令f(x)＝x－sin x，x>0，
则f′(x)＝1－cos x≥0，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又f(0)＝0，∴f(x)>f(0)＝0，即x－sin x>0，∴x>sin x.
2．如何证明函数不等式f(x)>g(x)(x>a)?
提示：可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)(x>a)，
只需证明h(x)>0即可，故可求h(x)min>0.
【例3】 求证：当x>1时，ln x>－x2＋2x－.
[思路点拨] 要证ln x>－x2＋2x－，只需证ln x＋x2－2x＋>0，可构造函数g(x)＝ln x＋x2－2x＋，利用导数研究其单调性从而证明原不等式．
[证明] 令g(x)＝ln x＋x2－2x＋，
则g′(x)＝＋x－2＝＝，
由于x>1，所以g′(x)>0，即函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增．又因为g(1)＝ln 1＋×12－2×1＋＝0，
因为当x>1时g(x)>0，
即当x>1时，ln x>－x2＋2x－.
求证：当x≥1时，≤1.
[证明] 由题意可知当x≥1时，≤1等价于ln x＋1≤x.
故令h(x)＝x－ln x－1，(x≥1)
则h′(x)＝1－＝.
∵x≥1，∴h′(x)≥0，∴h(x)在[1，＋∞)上单调递增，
又h(1)＝1－ln 1－1＝0，∴h(x)≥h(1)＝0，
即x－ln x－1≥0，∴ln x＋1≤x.
所以当x≥1时，≤1.
利用导数证明不等式的常见形式与步骤
?1?常见形式：已知x∈?a，b?，求证：u?x?>v?x?.
?2?证明步骤：
①将所给的不等式移项，构造函数f?x?＝u?x?－v?x?，转化为证明函数f?x?>0；
②在x∈?a，b?上，判断f′?x?的符号；
③若f′?x?>0，说明f?x?在区间?a，b?上是增函数，只需将所给的区间的左端点的值代入f?x?，检验其值为零?或为正?，即证得f?a?≥0即可；若f′?x?<0，说明f?x?在区间?a，b?上是减函数，只需将所给的区间的右端点的值代入f?x?，检验其值为零?或为正?，即证得f?b?≥0即可.
3．求证：当0x.
[证明] 令g(x)＝tan x－x，
则g′(x)＝＝－1＝－1＝，
当00，
所以g(x)在上单调递增，
故g(x)>g(0)＝0，即tan x>x.
