课件44张PPT。第二章 圆锥曲线与方程2.1 椭圆
2.1.1 椭圆及其标准方程两焦点间的距离两个定点(0，－c) (0，c) 求椭圆的标准方程 椭圆的定义及其应用与椭圆有关的轨迹问题 点击右图进入…Thank you for watching !
2.1 椭圆
2.1.1 椭圆及其标准方程
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)
2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)
3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)
1.通过椭圆定义的学习，培养学生的数学直观想象的素养.
2.借助椭圆标准方程的推导，培养数学运算的素养.
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
[提示] (1)点的轨迹是线段F1F2.
(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a＞b＞0)
焦点
(－c,0)与(c,0)
(0，－c)与(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
1．下列说法中正确的是( )
A．到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆
B．到点M(0，－3)，N(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C．到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
D．到点M(0，－3)，N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆
C [结合椭圆的定义可知选项C满足椭圆的定义，故选C.]
2．已知椭圆＋＝1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点距离为7，则m等于( )
A．10 B．5
C．15 D．25
D [由题意知2a＝3＋7＝10，∴a＝5，∴m＝a2＝25.]
3．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
C [由题意知c＝8,2a＝20，∴a＝10，
∴b2＝a2－c2＝36，故椭圆的方程为＋＝1.]
求椭圆的标准方程
【例1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(3)经过点A(，－2)和点B(－2，1)．
[解] (1)由于椭圆的焦点在x轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由于椭圆的焦点在y轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．∴a＝2，b＝1.
故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(3)法一：①当焦点在x轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
依题意有解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
②当焦点在y轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
依题意有解得
因为a＞b＞0，所以无解．
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，依题意有解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
1．利用待定系数法求椭圆的标准方程
(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程．
2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．
1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－)，；
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
[解] 设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
将两点(2，－)，代入，
得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，
故a2－b2＝16. ①
又点(，－)在椭圆上，
所以＋＝1，即＋＝1. ②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
椭圆的定义及其应用
【例2】 (1)(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
(2)已知椭圆＋＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．
[思路点拨] (1)
(2)→→→
(1)B (2) [(2)由＋＝1，可知a＝2，b＝，
所以c＝＝1，
从而|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1| ①
由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4 ②
由①②联立可得|PF1|＝.
所以S△PF1F2＝|PF1||F1F2|sin∠PF1F2＝××2×＝.]
1．椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
2．椭圆中的焦点三角形
椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解．
2．已知椭圆的方程为＋＝1(a>5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为( )
A．10 B．20
C．2 D．4
D [∵a>5，∴椭圆的焦点在x轴上．又c＝4，
∴a2－25＝42，∴a＝.
由椭圆的定义知△ABF2的周长
＝|BA|＋|F2B|＋|F2A|＝|BF1|＋|BF2|＋|AF1|＋|AF2|＝4a＝4.故选D.]
与椭圆有关的轨迹问题
[探究问题]
1．如图所示，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？如何求其方程？
提示：线段PD的中点M的轨迹是椭圆．
设M(x，y)，易知P(x,2y)，所以x2＋4y2＝4，即＋y2＝1.
2．如图所示，P为圆B：(x＋2)2＋y2＝36上一动点，点A的坐标为(2,0)，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，则点Q的轨迹是什么？
提示：连接AQ(图略)，
易知|AQ|＝|PQ|，
又|BQ|＋|PQ|＝|BP|＝6，
∴|QA|＋|QB|＝6>|AB|＝4，
∴点Q的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．
【例3】 (1)已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为______________．
(2)一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．
[思路点拨] (1)点Q为OP的中点?点Q与点P的坐标关系?代入法求解．
(2)由圆的相切，及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹．
(1)x2＋＝1 [设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，又＋＝1.
所以＋＝1，即x2＋＝1.]
(2)[解] 由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3，0)，r1＝1；Q2(3,0)，r2＝9.
设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，如图．
由题设有
|MQ1|＝1＋r，
|MQ2|＝9－r，
所以|MQ1|＋|MQ2|＝10>|Q1Q2|＝6.
由椭圆的定义，知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，
且a＝5，c＝3.
所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，
故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.
解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法
?1?定义法,用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义.若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可.
?2?相关点法,有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法.
3．如图，设点A，B的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－，求点M的轨迹方程．
[解] 设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(－2,0)，
所以直线AM的斜率kAM＝(x≠－2)；
同理，直线BM的斜率kBM＝(x≠2)．
由已知得×＝－(x≠±2)，
化简，得点M的轨迹方程为＋＝1(x≠±2)．
1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，
当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；
当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；
当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法．
3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免分类讨论，达到了简化运算的目的．
1．判断正误
(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆．
( )
(2)已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹为圆． ( )
(3)方程＋＝1(a>0，b>0)表示的曲线是椭圆． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [椭圆方程可化为x2＋＝1，由题意知解得k＝2.]
3．已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆两焦点F1，F2的连线夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________.
48 [由题意知
①2－②得2|PF1||PF2|＝96.
所以|PF1||PF2|＝48.]
4．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．
[解] 设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)．
∵F1A⊥F2A，
∴·＝0，
而＝(－4＋c,3)，
＝(－4－c,3)，
∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，
∴c2＝25，即c＝5.
∴F1(－5,0)，F2(5,0)．
∴2a＝|AF1|＋|AF2|
＝＋
＝＋＝4.
∴a＝2，
∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
课时分层作业(六)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．椭圆＋＝1的焦点坐标为( )
A．(5,0)，(－5,0) B．(0,5)，(0，－5)
C．(0,12)，(0，－12) D．(12,0)，(－12,0)
C [c2＝169－25＝144，c＝12，故选C.]
2．已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是( )
A．x2＋＝1
B．＋y2＝1或x2＋＝1
C．＋y2＝1
D．以上都不对
A [设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
则
∴
∴椭圆的方程为x2＋＝1.]
3．若椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值为( )
A．5 B．3
C．5或3 D．8
C [由题意可知m－4＝1或4－m＝1，即m＝3或5.]
4．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于( )
A．5 B．4
C．3 D．1
B [由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2)2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B.]
5．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．(3，＋∞)
B．(－∞，－2)
C．(3，＋∞)∪(－∞，－2)
D．(3，＋∞)∪(－6，－2)
D [由于椭圆的焦点在x轴上，
所以即
解得a＞3或－6＜a＜－2，故选D.]
二、填空题
6．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为____________．
＋＝1 [由题意知解得则b2＝a2－c2＝3，
故椭圆的标准方程为＋＝1.]
7．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
3 [依题意，有
可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3.]
8．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为________．
＋＝1 [如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，∴×8b＝12，∴b＝3.
又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.∴椭圆的标准方程为＋＝1.]
三、解答题
9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点．设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．
[解] ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4，
∴2a＝4，a2＝4，
∵点是椭圆上的一点，
∴＋＝1，
∴b2＝3，∴c2＝1，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．
10．已知点A(0，)和圆O1：x2＋(y＋)2＝16，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M上，且|PM|＝|PA|，求动点P的轨迹方程．
[解] 因为|PM|＝|PA|，|PM|＋|PO1|＝4，
所以|PO1|＋|PA|＝4，
又因为|O1A|＝2<4，
所以点P的轨迹是以A，O1为焦点的椭圆，所以c＝，a＝2，b＝1.
所以动点P的轨迹方程为x2＋＝1.
[能力提升练]
1．若△ABC的两个顶点坐标为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为( )
A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)
A [因为|AB|＝8，|CA|＋|CB|＝18－8＝10，所以顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(去掉长轴的两个端点)．因2a＝10,2c＝8，所以b2＝9.所以顶点C的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．]
2．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到x轴的距离为( )
A. B.
C. D.
C [设M(x0，y0)，由F1(－，0)，F2(，0)得＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)，
由·＝0得x＋y＝3，
又＋y＝1，解得y0＝±.
即点M到x轴的距离为，故选C.]
3．椭圆＋＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为________．
4 [如图所示．|ON|＝|MF2|＝(2×5－|MF1|)＝4.]
4．如图所示，F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2＝________.
2 [设正三角形POF2的边长为c，则c2＝，
解得c＝2，从而|OF2|＝|PF2|＝2，
连接PF1(图略)，由|OF1|＝|OF2|＝|OP|知，PF1⊥PF2，
则|PF1|＝＝＝2，
所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝2＋2，即a＝＋1，
所以b2＝a2－c2＝(＋1)2－4＝2.]
5．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与椭圆C相交于A，B两点(如图所示)，∠F1F2B＝，△F1F2A的面积是△F1F2B面积的2倍．若|AB|＝，求椭圆C的方程．
[解] 由题意可得S△F1F2A＝2S△F1F2B，
所以|F2A|＝2|F2B|，
由椭圆的定义得
|F1B|＋|F2B|＝|F1A|＋|F2A|＝2a，
设|F2A|＝2|F2B|＝2m，
在△F1F2B中，由余弦定理得
(2a－m)2＝4c2＋m2－2·2c·m·cos，所以m＝.
在△F1F2A中，同理可得m＝，
所以＝，解得2a＝3c，
可得m＝，|AB|＝3m＝＝，c＝4.
由＝，得a＝6，b2＝20，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
