课件45张PPT。第二章 圆锥曲线与方程2.1 椭圆
2.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质－b≤x≤b且－a≤y≤a－a≤x≤a且－≤y≤b原点坐标轴2b2a2c 0离心率(0,1)越扁根据椭圆的方程研究其几何性质 利用几何性质求椭圆的标准方程 求椭圆的离心率 点击右图进入…Thank you for watching !课件53张PPT。第二章 圆锥曲线与方程2.1 椭圆
2.1.2 椭圆的简单几何性质
第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用
两>一＝无<直线与椭圆的位置关系 弦长及中点弦问题 与椭圆有关的综合问题 点击右图进入…Thank you for watching !2.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点)
2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线．(重点、难点)
1.通过学习椭圆的几何性质，培养学生直观想象的数学素养.
2.借助椭圆的几何性质，培养数学运算及逻辑推理的数学素养.
1．椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心为原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
2.离心率
(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率．
(2)性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．
思考：(1)离心率e能否用表示？
(2)离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？
[提示] (1)e2＝＝＝1－，所以e＝.
(2)不是．离心率相同的椭圆焦距与长轴的长的比值相同．
1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是( )
A．(－1,0)，(1,0)
B．(－6,0)，(6,0)
C．(－，0)，(，0)
D．(0，－)，(0，)
D [椭圆方程可化为x2＋＝1，则长轴的端点坐标为(0，±)．]
2．经过点P(3,0)，Q(0,2)的椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.－＝1
A [由题易知点P(3,0)，Q(0,2)分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，故椭圆的焦点在x轴上，所以a＝3，b＝2，故椭圆的标准方程为＋＝1.]
3．若点P(m，n)是椭圆＋＝1上任意一点，则m的取值范围是________，n的取值范围是________．
[－2,2] [－，] [由题意可知＋＝1，
由≤1可知－2≤m≤2；同理，由≤1可知－≤n≤.]
根据椭圆的方程研究其几何性质
【例1】 设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标．
[解] 椭圆方程可化为＋＝1.
(1)当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝，∴e＝＝＝，∴m＝3，∴b＝，c＝1，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别是4,2，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(0，－)，B2(0，)．
(2)当m＞4时，a＝，b＝2，∴c＝，∴e＝＝＝，解得m＝，∴a＝，c＝，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2,0)，B2(2,0)．
用标准方程研究几何性质的步骤
?1?将椭圆方程化为标准形式.
?2?确定焦点位置.?焦点位置不确定的要分类讨论?
?3?求出a，b，c.,?4?写出椭圆的几何性质.
提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍.
1．(1)椭圆x2＋＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( )
A. B. C．2 D．4
(2)对椭圆C1：＋＝1(a>b>0)和椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的几何性质的表述正确的是( )
A．范围相同 B．顶点坐标相同
C．焦点坐标相同 D．离心率相同
(1)A (2)D [(1)由题意可知a2＝1，b2＝m，由a＝2b可知1＝4m，∴m＝.故选A.
(2)结合椭圆的几何性质可知，C1与C2的离心率相同，均为，故选D.]
利用几何性质求椭圆的标准方程
【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；
(3)经过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同的离心率．
[思路点拨] (1)焦点位置不确定，分两种情况求解．
(2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．
(3)法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系，再用待定系数法求解．
法二：设与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)．
[解] (1)若焦点在x轴上，则a＝3，
∵e＝＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.
∴椭圆的方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，则b＝3，
∵e＝＝＝＝，解得a2＝27.
∴椭圆的方程为＋＝1.
∴所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
(2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，
OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
(3)法一：由题意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2.
设所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
将点M(1,2)代入椭圆方程得
＋＝1或＋＝1，解得b2＝或b2＝3.
故所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
法二：设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
?1?确定焦点位置；
?2?设出相应椭圆的标准方程?对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程?；
?3?根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程?组?求参数，列方程?组?时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等.
2．已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为－，求这个椭圆的方程．
[解] 假设F为椭圆的右焦点，依题意，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，由椭圆的对称性，
知|B1F|＝|B2F|，又B1F⊥B2F，
∴△B1FB2为等腰直角三角形，
∴|OB2|＝|OF|，即b＝c.
|FA|＝－，
即a－c＝－，且a2＝b2＋c2，
将上面三式联立，得
解得∴所求椭圆方程为＋＝1.
求椭圆的离心率
[探究问题]
1．已知F是椭圆的左焦点，A，B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴上的顶点，P是椭圆上的一点，且PF⊥x轴，OP∥AB，怎样求椭圆的离心率？
提示：由OP∥AB可知，kOP＝kAB，
又A(a,0)，B(0，b)，P.
故－＝－，即b＝c，∴a＝c.
∴e＝＝.
2．设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点，若P是曲线C上的动点，当P在何处时∠APB最大？若C上存在点P满足∠APB＝120°，如何求椭圆的离心率？
图1
提示：当P位于短轴的端点处时，∠APB最大．
如图1，要使存在P使得∠APB＝120°，只需∠APB≥120°，
即∠APO≥60°，∴tan∠APO≥，即≥，∴0
此时由e＝＝可知e∈[，1)．
图2
如图2，由题意可知≥，∴m≥9，
又m>3，∴m≥9.
由e＝＝
可知e∈.
综上可知离心率e∈.
【例3】 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
[思路点拨] 设|PF2|＝m，在Rt△PF1F2中，依题意可求得|PF1|，|F1F2|，进而求得离心率．
D [设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝.]
1．(变条件)若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率．
[解] 在△PF1F2中，∵∠PF1F2＝45°，
∠PF2F1＝75°，∴∠F1PF2＝60°，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，椭圆的长轴长为2a，则在△PF1F2中，
有＝＝，
∴＝，
∴e＝＝＝＝.
2．(变条件，变设问)若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围．
[解] 由题意，知c>b，∴c2>b2.
又b2＝a2－c2，∴c2>a2－c2，
即2c2>a2.∴e2＝>，∴e>.
故C的离心率的取值范围为.
求椭圆离心率的值或范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c的值，可直接利用公式e＝求解；若已知a，b或b，c的值，可借助于a2＝b2＋c2求出c，a的值，再代入公式e＝求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于c，a的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．
2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距．
3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．
1．判断正误
(1)椭圆＋＝1(a>b)的长轴长为a，短轴长为b. ( )
(2)椭圆的离心率越大，则椭圆越接近于圆． ( )
(3)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上，则这四个顶点关于椭圆的中心对称． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )
A．(±13,0) B．(0，±10)
C．(0，±13) D．(0，±)
D [由题意可知a＝13，b＝10，∴c＝，又焦点在y轴上，故选D.]
3．如图，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
D [由题意可知F1(－2,0)，B(0,1)，
即c＝2，b＝1，∴a2＝b2＋c2＝5，
∴e＝＝＝，故选D.]
4．椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)(c>0)，离心率e＝，焦点到椭圆上点的最短距离为2－，求椭圆的方程．
[解] 由题意知
解得
所以b2＝a2－c2＝1，
所以所求椭圆的方程为＋x2＝1.
第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点)
2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点)
借助直线与椭圆的位置关系，培养学生直观想象与数学运算的素养.
1．点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上?＋＝1；
点P在椭圆内部?＋<1；
点P在椭圆外部?＋>1.
2．直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
联立消去y得一个关于x的一元二次方程．
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ>0
相切
一解
Δ＝0
相离
无解
Δ<0
思考：(1)过原点的直线和椭圆相交，两交点关于原点对称吗？
(2)直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1有怎样的位置关系？
[提示] (1)根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称．
(2)直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，点(0,1)在椭圆＋＝1的内部，因此直线与椭圆相交．
3．直线与椭圆相交的弦长公式
(1)定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
(2)求弦长的方法
①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
②根与系数的关系法：
如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：
|AB|＝·＝·.
1．已知点(2,3)在椭圆＋＝1上，则下列说法正确的是( )
A．点(－2,3)在椭圆外 B．点(3,2)在椭圆上
C．点(－2，－3)在椭圆内 D．点(2，－3)在椭圆上
D [由题意可知＋＝1，∴点(2，－3)在椭圆上，故选D.]
2．直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
C [联立消去y，得3x2＋2x－1＝0，
Δ＝22＋12＝16＞0，∴直线与椭圆相交．]
3．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．
[由消去y并化简得x2＋2x－6＝0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.
∴弦长|MN|＝|x1－x2|
＝＝＝.]
直线与椭圆的位置关系
【例1】 对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系．
[思路点拨] ―→
―→―→
[解] 联立方程组
将①代入②得：＋(x＋m)2＝1，
整理得：5x2＋8mx＋4m2－4＝0.③
Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．
当Δ＞0，即－＜m＜时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；
当Δ＝0，即m＝±时，方程③有两个相等的实数根，代入①得一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；
当Δ＜0，即m＜－或m＞时，方程③无实根，此时直线与椭圆相离．
代数法判断直线与椭圆的位置关系
判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则
Δ>0?直线与椭圆相交；
Δ＝0?直线与椭圆相切；
Δ<0?直线与椭圆相离.
提醒：注意方程组的解与交点个数之间的等价关系.
1．若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是( )
A. B．－
C．± D．±
C [由得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，
由题意知Δ＝144k2－24(3k2＋2)＝0，解得k＝±.]
2．直线y＝kx－k＋1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是________．
[直线y＝k(x－1)＋1恒过定点P(1,1)，直线与椭圆总有公共点等价于点P(1,1)在椭圆内或在椭圆上．所以＋≤1，即m≥，又0故m∈.]
弦长及中点弦问题
【例2】 过椭圆＋＝1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分．
(1)求此弦所在的直线方程；
(2)求此弦长．
[思路点拨] (1)法一：联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解．
法二：点差法．
(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用弦长公式求解．
[解] (1)法一：设所求直线方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得
(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是方程的两个根，
于是x1＋x2＝.
又M为AB的中点，∴＝＝2，
解之得k＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
又M(2,1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B两点在椭圆上，
则x＋4y＝16，x＋4y＝16.
两式相减得(x－x)＋4(y－y)＝0.
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴＝－＝－，
即kAB＝－.
又直线AB过点M(2,1)，
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－4x＝0，
∴x1＋x2＝4，x1x2＝0，
∴|AB|＝·＝·＝2.
解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成的方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则
由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－.
3．已知点P(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则直线l的方程为________．
x＋2y－8＝0 [由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，
而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.
将直线方程代入椭圆方程有
(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.设直线l与椭圆的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，
所以x1＋x2＝＝8，所以k＝－.所以直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.]
4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
[解] (1)由题意可知解得a2＝8，b2＝4，
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，
则
①－②得＋＝0，
∴kAB＝＝－＝－·.
又kOM＝，∴kAB·kOM＝－.
∴直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
与椭圆有关的综合问题
[探究问题]
1．直线y＝kx＋1表示过点(0,1)且斜率存在的直线，即不包含直线x＝0，那么直线x＝ky＋1表示什么样的直线？
提示：直线x＝ky＋1表示过点(1,0)且斜率不为0的直线，即不包含直线y＝0.
2．如果以线段AB为直径的圆过点O，那么可以得到哪些等价的条件？
提示：(1)设AB的中点为P，则|OP|＝|AB|，
(2)·＝0.
【例3】 如图所示，已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)过点(0，)，且离心率e＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线l：x＝my－1(m∈R)交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．
[思路点拨] (1)由椭圆经过的一点及离心率公式，再结合a2＝b2＋c2即可求出a，b，c的值，从而可得椭圆E的方程．
(2)法一：判断点与圆的位置关系，只需把点G与圆心的距离d与圆的半径r进行比较，若d>r，则点G在圆外；若d＝r，则点G在圆上；若d法二：只需判断·的符号，若·＝0，则点G在圆上；若·>0，则点G在圆外；若·<0，则点G在圆内．
[解] (1)由已知得，
解得
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)法一：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
AB的中点为H(x0，y0)．
由得(m2＋2)y2－2my－3＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－，从而y0＝.
所以|GH|2＝＋y＝＋y＝(m2＋1)y＋my0＋.
＝＝＝＝(1＋m2)(y－y1y2)，
故|GH|2－＝my0＋(1＋m2)y1y2＋＝－＋＝>0，
所以|GH|>.
故点G在以线段AB为直径的圆外．
法二：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝，＝.
由得(m2＋2)y2－2my－3＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－，
从而·＝＋y1y2＝＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋m(y1＋y2)＋＝＋＋＝>0，
所以cos〈，〉>0.又，不共线，所以∠AGB为锐角．故点G在以线段AB为直径的圆外．
解决与椭圆有关的综合问题的思路
直线与椭圆的综合问题常与不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等知识联系在一起综合考查，解决这类问题常需要挖掘出题目中隐含的数量关系、垂直关系等，然后利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式进行合理的转化，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.
5．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－，0)和F2(，0)，且椭圆过点.
(1)求椭圆方程；
(2)过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．
[解] (1)由题意设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由c＝，a2＝b2＋c2，
代入方程＋＝1，又∵椭圆过点，
得＋＝1，解得b2＝1，∴a2＝4.
∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设直线MN的方程为x＝ky－，
联立直线MN和椭圆的方程可得
得(k2＋4)y2－ky－＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(－2,0)，
y1y2＝－，y1＋y2＝，
则·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)
＝(k2＋1)y1y2＋k(y1＋y2)＋＝0，
即可得∠MAN＝.
∴∠MAN的大小为定值.
解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为：
(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；
(2)联立直线与椭圆的方程；
(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；
(4)利用根与系数的关系设而不求；
(5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，进而求解.
1．判断正误
(1)若点P(x0，y0)在椭圆＋＝1的内部，则有＋<1. ( )
(2)直线y＝x与椭圆＋＝1(a>b>0)不一定相交． ( )
(3)过点(3,0)的直线有且仅有一条与椭圆＋＝1相切． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
2．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
C [由得5x2－24x＋32＝0，
Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，
因此直线与椭圆相离．]
3．已知斜率为2的直线l经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆交于A，B两点，则|AB|＝________.
[因为直线l经过椭圆的右焦点F1(1,0)，且斜率为2，则直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
由得3x2－5x＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝0，
所以|AB|＝·
＝＝.]
4．焦点分别为(0,5)和(0，－5)的椭圆截直线y＝3x－2所得椭圆的弦的中点的横坐标为，求此椭圆方程．
[解] 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意，有a2－b2＝(5)2＝50. ①
由
消去y并整理，得
(a2＋9b2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0.
因为＝，
所以＝.
所以a2＝3b2. ②
由①②，得a2＝75，b2＝25.
经检验，此时Δ>0.
所以椭圆方程为＋＝1.
课时分层作业(七)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．5,3,0.8 B．10,6,0.8
C．5,3,0.6 D．10,6,0.6
B [椭圆方程可化为＋＝1，则a＝5，b＝3，c＝＝4，e＝＝，故选B.]
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
D [右焦点为F(1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x轴上，c＝1.又离心率为＝，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，故椭圆的方程为＋＝1.]
3．椭圆＋＝1与＋＝1(0A．有相等的长轴 B．有相等的短轴
C．有相同的焦点 D．有相等的焦距
D [由25－9＝(25－k)－(9－k)知，两椭圆有相等的焦距．]
4．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( )
A. B.
C. D.
A [由题意知a＝2c，∴e＝＝＝.]
5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
D [在Rt△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，由|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2.将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0, 解得e＝，因为0二、填空题
6．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C，D的椭圆的离心率为________．
[如图，AB＝2c＝4，∵点C在椭圆上，∴CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，∴e＝＝＝.]
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过P(－5,4)，则椭圆的方程为________________．
＋＝1 [设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意得解得
因此所求椭圆方程为＋＝1.]
8．已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是________．
[1,2] [因为P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2.]
三、解答题
9．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程．
[解] 设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由e＝知＝，故＝，从而＝，＝.由△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，得a＝4，∴b2＝8.
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
10．椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围．
[解] 设P(x，y)，由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是＋y2＝.
∴y2＝ax－x2. ①
又P点在椭圆上，故＋＝1. ②
把①代入②化简，得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，即(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0，∵x≠a，x≠0，∴x＝.
又0即2b2∴e>.又∵0[能力提升练]
1．已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，若|PF|＝|AF|，则该椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
B [由于PF⊥x轴，
则令x＝－c，代入椭圆方程，解得，
y2＝b2＝，y＝±，
又|PF|＝|AF|，即＝(a＋c)，
即有4(a2－c2)＝a2＋ac，
即有(3a－4c)(a＋c)＝0，
则e＝＝，故选B.]
2．如图所示，把椭圆＋＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝( )
A．35 B．30
C．25 D．20
A [设椭圆右焦点为F′，由椭圆的对称性，知|P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F|＝|P5F′|，所以原式＝(|P7F|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P5F′|)＋|P4F|＝7a＝35.]
3．若椭圆mx2＋ny2＝1的离心率为，则＝________.
或 [若焦点在x轴上，则方程化为＋＝1，依题意得＝，所以＝；若焦点在y轴上，则方程化为＋＝1，同理可得＝.所以所求值为或.]
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是________．
[由＝2，得|AO|＝2|FO|(O为坐标原点)，即a＝2c，则离心率e＝.]
5．已知点A，B分别是椭圆＋＝1的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，且M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
[解] (1)由已知可得A(－6,0)，B(6,0)，F(4,0)，
设点P的坐标是(x，y)，
则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)．
由已知得
则2x2＋9x－18＝0，解得x＝或x＝－6.
由于y>0，所以只能取x＝，于是y＝.
所以点P的坐标是.
(2)直线AP的方程是x－y＋6＝0.
设点M的坐标是(m,0)，
则M到直线AP的距离是，又B(6,0)，
于是＝|m－6|，
又－6≤m≤6，解得m＝2，
设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，有
d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2
＝＋15，
由于－6≤x≤6，所以当x＝时，d取最小值为.
课时分层作业(八)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若点P(a,1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为( )
A.
B.∪
C.
D.
B [由题意知＋>1，即a2>，解得a>或a<－.]
2．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(1,3)∪(3，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(－3,0) D．(1,3)
B [由
消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.
若直线与椭圆有两个公共点，
则
解得
由＋＝1表示椭圆，知m>0且m≠3.
综上可知，m>1且m≠3，故选B.]
3．椭圆＋＝1的左焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是( )
A．± B．±
C．± D．±
A [设椭圆的右焦点为F2，则原点O是线段F1F2的中点，从而OM綊PF2，则PF2⊥F1F2，由题意知F2(3,0)，由＋＝1得y2＝，解得y＝±，从而M的纵坐标为±.]
4．椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是( )
A. B.
C. D.
A [联立方程组
得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，
则x0＝＝，
y0＝1－x0＝1－＝.
∴kOP＝＝＝.故选A.]
5．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若F＝3F，则|A|＝( )
A. B．2
C. D．3
A [设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1，∴右焦点F(1,0)．
由F＝3F，得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.∴x0＝，y0＝n.
将x0，y0代入＋y2＝1，得
×＋＝1，
解得n2＝1，
∴|A|＝＝＝.]
二、填空题
6．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．
2 [设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由得(a2＋3b2)y2＋8b2y＋16b2－a2b2＝0.
由Δ＝0可得，192b4－4(a2＋3b2)(16b2－a2b2)＝0，又b2＝a2－4，
∴a2＝7，即2a＝2，即长轴长为2.]
7．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
[由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程组解得A(0，－2)，B，
∴S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝.]
8．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
6 [由＋＝1可得F(－1,0)．
设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，
当且仅当x＝2时，·取得最大值6.]
三、解答题
9．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
[解] (1)联立方程组消去y，整理得：
5x2＋2mx＋m2－1＝0.
∵直线与椭圆有公共点，
∴Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2≥0，
∴－≤m≤.
(2)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由(1)得
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·＝.
∵－≤m≤，∴0≤m2≤，
∴当m＝0时，|AB|取得最大值，此时直线方程为y＝x，即x－y＝0.
10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
[解] (1)由题意得
解得c＝，b＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝
＝
＝，
又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离
d＝，
所以△AMN的面积为
S＝|MN|·d＝，
由＝，
化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.
[能力提升练]
1．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
D [因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1，消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a2＝18，故选D.]
2．经过椭圆x2＋2y2＝2的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于M，N两点，设O为坐标原点，则·等于( )
A．－3 B．±
C．－ D．－
C [由题意可知焦点F(±1,0)，不妨设直线l过点(1,0)，故l：y＝x－1.设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得3x2－4x＝0，∴x1＝0，x2＝.
此时y1＝－1，y2＝，∴·＝x1x2＋y1y2＝－，故选C.]
3．已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________．
[设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)，
由消去y，得3x2－4x＝0.
∴A(0，－1)，B.
∴|AB|＝，∴|F1A|＋|F1B|＝4a－|AB|
＝4－＝.]
4．已知直线y＝3x＋2被椭圆＋＝1(a>b>0)截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的有________．(填上直线的代号)
①y＝3x－2；②y＝3x＋1；③y＝－3x－2；
④y＝－3x＋2；⑤y＝－3x.
①③④ [椭圆关于原点和坐标轴对称，从而与直线y＝3x＋2关于原点和坐标轴对称的直线被椭圆截得的弦长也为8，直线y＝3x＋2关于原点对称的直线为y＝3x－2，关于x轴对称的直线为y＝－3x－2，关于y轴对称的直线为y＝－3x＋2，故应填①③④.]
5．如图所示，已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且|AF2|＝2|F2B|，求椭圆的方程．
[解] (1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c，
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，
由|AF2|＝2|F2B|，得＝2，
即(1，－b)＝2(x－1，y)，
解得x＝，y＝－，
代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，
解得a2＝3，所以b2＝2，
故椭圆的方程为＋＝1.
