课件41张PPT。第二章 圆锥曲线与方程2.2 双曲线
2.2.1 双曲线及其标准方程两焦点间的距离差的绝对值两个定点(－c,0) (c,0)(0，－c) (0，c)对双曲线标准方程的理解 求双曲线的标准方程 双曲线定义的应用 点击右图进入…Thank you for watching !2.2 双曲线
2.2.1 双曲线及其标准方程
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点)
2.掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点)
1.通过双曲线的学习，培养学生直观想象的素养.
2.借助双曲线标准方程的推导，提升数学运算的素养.
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)双曲线的定义中，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，
且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
[提示] (1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(2)点M在双曲线的右支上．
2．双曲线的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
焦点
F1(－c,0)，
F2(c,0)
F1(0，－c)，
F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
1．已知动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．两条射线 D．一条射线
D [∵|PM|－|PN|＝2＝|MN|，
∴点P在线段MN的延长线上，即点P的轨迹是一条射线．]
2．双曲线－＝1的焦距为( )
A．3 B．4
C．3 D．4
D [c2＝10＋2＝12，所以c＝2，从而焦距为4.]
3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或－＝1
D.－＝0或－＝0
C [b2＝c2－a2＝72－52＝24，故选C.]
对双曲线标准方程的理解
【例1】 已知曲线方程－＝1.
(1)若方程表示双曲线，求实数m的取值范围；
(2)若方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取值范围；
(3)若方程表示椭圆，求实数m的取值范围．
[解] (1)依题意有(m－1)(m2－4)>0，即(m－1)(m＋2)(m－2)>0，解得－22.
(2)依题意有解得－2(3)依题意有解得1给出方程－＝1，则该方程：
?1?表示双曲线的条件是mn>0；
?2?表示焦点在x轴上的双曲线的条件是m>0，n>0；
?3?表示焦点在y轴上的双曲线的条件是m<0，n<0；
?4?表示椭圆的条件是m>0，n<0.
1．(1)已知双曲线＋＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于( )
A． B．5
C．7 D．
(2)在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程所表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的椭圆
(1)D (2)C [(1)根据题意可知，双曲线的标准方程为－＝1.由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝.
(2)方程mx2－my2＝n可化为－＝1.由mn<0知<0，故方程所表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线．]
求双曲线的标准方程
【例2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点A；
(2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；
(3)过点P，Q且焦点在坐标轴上．
[解] (1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)法一：∵焦点相同，
∴设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20. ①
∵双曲线经过点(3，2)，∴－＝1. ②
由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为－＝1.
法二：设所求双曲线的方程为－＝1(－4<λ<16)．
∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.
∵点P，Q在双曲线上，
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
1．求双曲线标准方程的步骤
(1)确定双曲线的类型，并设出标准方程；
(2)求出a2，b2的值．
2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)来求解．
2．(1)与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是( )
A.－y2＝1 B.－y2＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
(2)已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(1)C (2)B [(1)设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意得解得
所以所求双曲线方程为－y2＝1.
(2)由双曲线的焦点可知c＝，线段PF1的中点坐标为(0,2)，所以设右焦点为F2，则有PF2⊥x轴，且PF2＝4，点P在双曲线右支上．所以PF1＝＝＝6，所以PF1－PF2＝6－4＝2＝2a，所以a＝1，b2＝c2－a2＝4，所以双曲线的方程为x2－＝1，选B.]
双曲线定义的应用
[探究问题]
1．到两定点F1，F2的距离之差是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线的两支还是一支？
提示：一支．
2．若P点是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的一动点，F1，F2为其左、右焦点，设∠F1PF2＝α，则S△F1PF2如何用α表示？
提示：S△F1PF2＝(可借助双曲线的定义及余弦定理推导)．
【例3】 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
(2)已知F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32.试求△F1PF2的面积．
[思路点拨] (1)由两圆外切得等量关系?双曲线定义?轨迹方程．
(2)双曲线的定义及余弦定理?∠F1PF2?面积公式求S△F1PF2.
(1)x2－＝1(x≤－1)
[如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝2，这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2.
根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，这里a＝1，c＝3，则b2＝8，
∴动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．]
(2)[解] 因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|－|PF1|＝6，
两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理，
得cos∠F1PF2＝＝＝0，
所以∠F1PF2＝90°，
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.
把本例(2)的条件“|PF1||PF2|＝32”换成“∠F1PF2＝60°”，求S△F1PF2.
[解] 由－＝1得，a＝3，b＝4，c＝5.
由双曲线的定义和余弦定理得|PF2|－|PF1|＝6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝×64×＝16.
1．求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法
(1)列出等量关系，化简得到方程．
(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．
提醒：①双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．
②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
2．求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法
(1)①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想方法求出|PF1|·|PF2|的值；
④利用公式S△PF1F2＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．
(2)利用公式S△PF1F2＝×|F1F2|×|yP|求得面积．
1．双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线．
2．在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立．要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.
3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a，b，c的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式求解．
1．判断正误
(1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同． ( )
(2)点A(1,0)，B(－1,0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线．
( )
(3)在双曲线标准方程－＝1中，a＞0，b＞0，且a≠b. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．已知m，n∈R，则“mn＜0”是“方程＋＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
C [方程＋＝1表示双曲线，必有mn＜0；当mn＜0时，方程＋＝1表示双曲线，所以“mn＜0”是“方程＋＝1表示双曲线”的充要条件．]
3．若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )
A．11 B．9
C．5 D．3
B [由题意知||PF2|－3|＝6，即|PF2|－3＝±6，解得|PF2|＝9或|PF2|＝－3(舍去)．]
4．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上；
(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)；
(3)以椭圆＋＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，)．
[解] (1)由题设知，a＝3，c＝4，由c2＝a2＋b2，
得b2＝c2－a2＝42－32＝7.
因为双曲线的焦点在x轴上，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上．
因为点A(－5,6)在双曲线上，所以
2a＝|－|＝|13－5|＝8，
则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.
所以所求双曲线的标准方程是－＝1.
(3)由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2.设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则有a2＋b2＝c2＝8，－＝1，解得a2＝3，b2＝5.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
课时分层作业(九)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知平面内两定点A(－5,0)，B(5,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是( )
A.－＝1 B.－＝1(x≥4)
C.－＝1 D.－＝1(x≥3)
D [由题意知，轨迹应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，
∴M点的轨迹方程为－＝1(x≥3)．]
2．若方程＋＝1，k∈R表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是( )
A．－3C．k<－3或k>－2 D．k>－2
A [由题意知解得－33．若椭圆＋＝1和双曲线－＝1有相同的焦点，则实数n的值是( )
A．±5 B．±3
C．5 D．9
B [由题意可知椭圆的焦点在x轴上，故34－n2＝n2＋16，即n2＝9，∴n＝±3，故选B.]
4．已知双曲线的方程为－＝1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为( )
A．2a＋2m B．4a＋2m
C．a＋m D．2a＋4m
B [由题意知
即
且|AF2|＋|BF2|＝|AB|＝m，
所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2m.]
5．已知双曲线过点P1和P2，则双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
B [因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．因为P1，P2两点在双曲线上，所以解得于是所求双曲线的标准方程为－＝1.故选B.]
二、填空题
6．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于________．
24 [双曲线的实轴长为2，焦距为|F1F2|＝2×5＝10.由题意，知|PF1|－|PF2|＝|PF2|－|PF2|＝|PF2|＝2，∴|PF2|＝6，|PF1|＝8，∴△PF1F2为Rt△.
∴S△PF1F2＝×|PF1|·|PF2|＝×6×8＝24.]
7．若双曲线－＝1的焦距等于6，则实数m的值为________．
0或9 [因为双曲线的焦距等于6，即2c＝6，所以c＝3，a2＋b2＝c2＝9.
(1)当双曲线焦点在x轴上时，方程为－＝1，a2＝m－2，b2＝m－7，所以m－2＋m－7＝9，解得m＝9，即实数m的值为9.
(2)当双曲线焦点在y轴上时，方程为－＝1，a2＝7－m，b2＝2－m，所以7－m＋2－m＝9，解得m＝0，即实数m的值为0.综上，实数m的值为0或9.]
8．一动圆过定点A(－4,0)，且与定圆B：(x－4)2＋y2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．
－＝1(x≤－2) [设动圆圆心为P，由题意知|PB|＝|PA|＋4，即|PB|－|PA|＝4<|AB|，则动圆圆心P的轨迹是以点A，B为焦点的双曲线的左支，又a＝2，c＝4，则b2＝12，故动圆圆心的轨迹方程为－＝1(x≤－2)．]
三、解答题
9．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，求|PF1|＋|PF2|的值．
[解] 不妨设P在双曲线的右支上，则|PF1|＝2＋x，设|PF2|＝x(x>0)，因为PF1⊥PF2，c＝，
所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8，
所以x＝－1，x＋2＝＋1，
所以|PF2|＋|PF1|＝－1＋＋1＝2.
10．已知双曲线－＝1的两焦点为F1，F2.
(1)若点M在双曲线上，且·＝0，求M点到x轴的距离．
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程．
[解] (1)不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h.由·＝0，则MF1⊥MF2，
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线定义知，m－n＝2a＝8， ①
又m2＋n2＝(2c)2＝80， ②
由①②得m·n＝8，
设M点到x轴的距离为h，
则mn＝4＝|F1F2|·h，∴h＝.
(2)设所求双曲线C的方程为
－＝1(－4<λ<16)，
由于双曲线C过点(3，2)，∴－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴所求双曲线C的方程为－＝1.
[能力提升练]
1．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )
A.－y2＝1 B．y2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
B [椭圆＋＝1的焦点为F1(0,1)，F2(0，－1)，长轴的端点A1(0,2)，A2(0，－2)，所以对于所求双曲线a＝1，c＝2，b2＝3，焦点在y轴上，双曲线的方程为y2－＝1.]
2．设F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，·的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
B [设点P(x0，y0)，依题意得|F1F2|＝2＝4，S△PF1F2＝|F1F2|·|y0|＝2，∴|y0|＝1.又－y＝1，
∴x＝3(y＋1)＝6.∴·＝(－2－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝x＋y－4＝3.]
3．已知双曲线－＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|－|MO|＝______________.
－1 [设F′是双曲线的右焦点，连接PF′(图略)，因为M，O分别是FP，FF′的中点，所以|MO|＝|PF′|，又|FN|＝＝5，由双曲线的定义知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝|MF|－|FN|－|PF′|＝(|PF|－|PF′|)－|FN|＝×8－5＝－1.]
4．已知定点A的坐标为(1,4)，点F是双曲线－＝1的左焦点，点P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
9 [由双曲线的方程可知a＝2，设右焦点为F1，则F1(4,0)．|PF|－|PF1|＝2a＝4，即|PF|＝|PF1|＋4，所以|PF|＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋4≥|AF1|＋4，当且仅当A，P，F1三点共线时取等号，此时|AF1|＝＝＝5，所以|PF|＋|PA|≥|AF1|＋4＝9，即|PF|＋|PA|的最小值为9.]
5．如图所示，在以点O为圆心，|AB|＝4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB＝30°，曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程．
[解] 以O为原点，AB，OD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，则A(－2,0)，B(2,0)，D(0，2)，P(，1)，依题意得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|＝－＝2<|AB|＝4.
∴曲线C是以原点为中心，A，B为焦点的双曲线．
则c＝2,2a＝2，∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2.
∴曲线C的方程为－＝1.
