课件50张PPT。第二章 圆锥曲线与方程2.2 双曲线
2.2.2 双曲线的简单几何性质x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a坐标轴原点2a2b实轴和虚轴等长对称中心双曲线的几何性质 由双曲线的几何性质求标准方程 双曲线的离心率问题 点击右图进入…Thank you for watching !2.2.2 双曲线的简单几何性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点)
2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点)
1.通过学习双曲线的简单几何性质，培养学生的直观想象素养.
2.借助双曲线的几何性质解题，培养逻辑推理、数学运算的素养.
1．双曲线的几何性质
标准方程
－＝1
(a＞0，b＞0)
－＝1
(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
(－a,0)，(a,0)
(0，－a)，(0，a)
轴长
实轴长＝2a，虚轴长＝2b
离心率
e＝>1
渐近线
y＝±x
y＝±x
思考：(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？
(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？
[提示] (1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．
(2)e2＝＝1＋，是渐近线的斜率或其倒数．
2．双曲线的中心和等轴双曲线
(1)双曲线的中心
双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．
(2)等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝.
1．双曲线－y2＝1的顶点坐标是( )
A．(4,0)，(0,1) B．(－4,0)，(4,0)
C．(0,1)，(0，－1) D．(－4,0)，(0，－1)
B [由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且a＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4,0)，(4,0)．]
2．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( )
A.－＝1
B.－＝1或－＝1
C.－＝1
D.－＝1或－＝1
B [由题意可知2a＝10,2b＝6，即a＝5，b＝3，∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1，故选B.]
3．若点M(x0，y0)是双曲线－＝1上任意一点，则x0的取值范围是________，y0的取值范围是________；该双曲线的渐近线方程为________，离心率为________．
(－∞，－4]∪[4，＋∞) R y＝±x [由－＝1得≥1，即x0≥4或x0≤－4，y0∈R.
渐近线方程为y＝±x，离心率e＝＝＝.]
双曲线的几何性质
【例1】 求双曲线nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
[解] 把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化为标准方程－＝1(m＞0，n＞0)，
由此可知，实半轴长a＝，
虚半轴长b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，
渐近线的方程为y＝± x＝±x.
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
?1?把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.,?2?由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.
?3?由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质.
提醒：求性质时一定要注意焦点的位置.
1．(1)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C.－x2＝1 D．y2－＝1
(2)若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
(1)C (2)B [(1)A、B选项中双曲线的焦点在x轴上，可排除；C、D选项中双曲线的焦点在y轴上，令－x2＝0，得y＝±2x；令y2－＝0，得y＝±x.故选C.
(2)在双曲线中，离心率e＝＝＝，可得＝，故所求的双曲线的渐近线方程是y＝±x.]
由双曲线的几何性质求标准方程
【例2】 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1,2)；
(2)与双曲线－＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)；
(3)过点(2,0)，与双曲线－＝1离心率相等；
(4)与椭圆＋＝1有公共焦点，离心率为.
[解] (1)法一：由题意可设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得λ＝－32.
因此所求双曲线的标准方程是－＝1.
法二：由题意可设所求双曲线方程为－＝1(mn>0)．
由题意，得解得
因此所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
由点M(3，－2)在双曲线上，得－＝λ，λ＝－2.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1；
当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－<0(舍去)．
综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
(4)法一：由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，即c＝3且焦点在x轴上．
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
因为e＝＝，所以a＝2，则b2＝c2－a2＝5，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二：因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为－＝1(16<λ<25)．
因为e＝，所以＝－1，解得λ＝21.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
1．由双曲线的几何性质求双曲线的方程的常用方法：一是设法确定基本量a，b，c，从而求出双曲线方程；二是采用待定系数法．首先依据焦点的位置设出标准方程的形式，再由题目条件确定参数的值．当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止漏解．为了避免讨论，也可设方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，从而直接求解．
2．常见双曲线方程的设法
(1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0，m>0，n>0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A>0，B>0)．
(2)与双曲线－＝1或－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ或－＝λ(λ≠0)．
(3)与双曲线－＝1(a>0，b>0)离心率相等的双曲线系方程可设为－＝λ(λ>0)或－＝λ(λ>0)，这是因为离心率不能确定焦点位置．
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)焦点在x轴上，离心率为，且过点(－5,3)；
(3)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x.
[解] (1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)．由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)∵e＝＝，∴c＝a，b2＝c2－a2＝a2.又∵焦点在x轴上，∴设双曲线的标准方程为－＝1(a>0)．把点(－5,3)代入方程，解得a2＝16.∴双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6?λ＝.
当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6?λ＝－1.∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
双曲线的离心率问题
[探究问题]
1．若过双曲线右焦点的直线l与双曲线的一条渐近线平行，则该直线与双曲线有几个交点？
提示：有且只有一个．
2．若探究1中的直线l与双曲线右支有且只有一个交点，则l的斜率与双曲线－＝1(a>0，b>0)中的a，b存在怎样的关系？
提示：直线l的斜率k≤.
【例3】 (1)设△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为________；
(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的范围是________．
[思路点拨] (1)根据图形并由双曲线的定义确定a与c的关系求出离心率；
(2)可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则必有≥tan 60°.
(1) (2)[2，＋∞) [(1)由题意2c＝|AB|＝|BC|，所以|AC|＝2×2c×sin 60°＝2c，由双曲线的定义，有2a＝|AC|－|BC|＝2c－2c?a＝(－1)c，∴e＝＝＝.
(2)因为双曲线渐近线的斜率为k＝，直线的斜率为k1＝tan 60°＝，故有≥，所以e＝＝≥＝2，所以所求离心率的取值范围是e≥2.]
双曲线的离心率问题主要有两种，一是求离心率，二是求离心率的取值范围.求圆锥曲线的离心率的关键是探寻a与c的关系，由于a，b，c三者具有固定的关系，因此由题目条件找到它们中任意两个的等量关系或不等关系，都能转化为离心率的方程或不等式，从而求得离心率的值或范围.
3．(1)如图，F1和F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A，B是以O为圆心、以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．
(2)已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．
(1)＋1 (2)(1,2) [(1)∵|F1F2|＝2c，且|OF1|＝|OA|＝|OF2|＝c，
∴△AF1F2为直角三角形．又∵△F2AB为等边三角形，
∴|AF2|＝c，|AF1|＝c.
由双曲线的定义知c－c＝2a，
∴e＝＝＝＋1.
(2)如图，要使△ABE为锐角三角形，只需∠AEB为锐角，由双曲线对称性知△ABE为等腰三角形，从而只需满足∠AEF<45°.
又当x＝－c时，y＝，
∴tan∠AEF＝＝<1，
∴e2－e－2<0，又e>1，∴11．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程－＝1(a>0，b>0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程．
2．解决与几何图形有关的双曲线离心率问题常借助几何图形的性质建立等量或不等关系．
1．判断正误
(1)双曲线的焦点一定位于双曲线的实轴上． ( )
(2)若两条双曲线的焦点相同，则其渐近线也一定相同． ( )
(3)焦点在x轴上的双曲线的离心率越大，其渐近线斜率的绝对值就越大． ( )
(4)焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线不可能具有共同的渐近线． ( )
(5)等轴双曲线的离心率等于. ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√
2．双曲线－＝1的渐近线方程是( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
C [双曲线的焦点在x轴上，且a＝2，b＝3，因此渐近线方程为y＝±x.]
3．已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( )
A．2 B. C. D．1
D [由题意得e＝＝2，∴＝2a，
∴a2＋3＝4a2，∴a2＝1，∴a＝1.]
4．求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两渐近线方程为y＝±x，且经过点；
(2)以椭圆＋＝1的焦点为焦点，以直线y＝±x为渐近线；
(3)过点P(3，－)，离心率e＝.
[解] (1)∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
将代入方程，得λ＝2，故所求方程为－＝1.
(2)设所求的双曲线方程为－y2＝λ(λ>0)，
又双曲线的焦点为(±，0)，∴c2＝4λ＋λ＝10，解得λ＝2.
故所求的双曲线方程为－＝1.
(3)若双曲线的实轴在x轴上，设－＝1为所求．
由e＝，得＝. ①
由点P(3，－)在双曲线上，得－＝1. ②
由①②及a2＋b2＝c2，得a2＝1，b2＝.
若双曲线的实轴在y轴上，设－＝1为所求．
同理有＝，－＝1，a2＋b2＝c2.
解之，得b2＝－(不符，舍去)．
故所求双曲线方程为x2－4y2＝1.
即x2－＝1.
课时分层作业(十)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )
A. B. C. D.
C [由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，故e＝.]
2．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则共有l( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
B [因为双曲线方程为x2－＝1，所以P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.]
3．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距等于( )
A．2 B．2
C．4 D．4
C [由已知得e＝＝2，所以a＝c，故b＝＝c，从而双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，由焦点到渐近线的距离为，得c＝，解得c＝2，故2c＝4，故选C.]
4．若实数k满足0A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
D [若00,16－k>0，故方程－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为，焦距2c＝2，离心率e＝；同理方程－＝1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴的长为，虚半轴的长为，焦距2c＝2，离心率e＝.可知两曲线的焦距相等，故选D.]
5．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是( )
A. B.
C. D.
A [由题意知F1(－，0)，＝(－－x0，－y0)，
F2(，0)，＝(－x0，－y0)，
由·＝x＋y－3<0得x<3－y.
又－y＝1，∴x＝2＋2y，
∴2＋2y<3－y，即－二、填空题
6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线方程为________．
－y2＝1 [由题意可得解得
故所求双曲线方程为－y2＝1.]
7．若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是________．
(1，) [e2＝1＋，由a>1得1所以18．若直线x＝2与双曲线x2－＝1(b>0)的两条渐近线分别交于点A，B，且△AOB的面积为8，则焦距为________．
2 [双曲线的渐近线方程为y＝±bx，则A(2,2b)，B(2，－2b)，|AB|＝4b，从而S△AOB＝×4b×2＝8.
解得b＝2，所以c2＝5，从而焦距为2.]
三、解答题
9．双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝x，求双曲线的标准方程和离心率．
[解] 由椭圆＋＝1，知c2＝64－16＝48，且焦点在y轴上，∵双曲线的一条渐近线为y＝x，
∴设双曲线方程为－＝1.
又c2＝2a2＝48，∴a2＝24.
∴所求双曲线的方程为－＝1.
由a2＝24，c2＝48，
得e2＝＝2，
又e>0，∴e＝.
10．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为2，且离心率e＝.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若点P在双曲线C上，且|PF1|＝2|PF2|，求△F1PF2的面积．
[解] (1)因为实轴长为2，所以2a＝2，即a＝.
又e＝＝，所以c＝2.
从而b2＝c2－a2＝4－2＝2.
故双曲线C的标准方程为－＝1.
(2)因为|PF1|＝2|PF2|，
所以点P在双曲线的右支上．
则有|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
所以|PF2|＝2，|PF1|＝4.
又|F1F2|＝4，由余弦定理，
得cos∠F1PF2＝＝，
所以sin∠F1PF2＝.
故△F1PF2的面积为
S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝×4×2×＝2.
[能力提升练]
1．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均与曲线C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )
A. B.
C. D.
A [曲线C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，所以圆心坐标为C(3,0)，半径r＝2，双曲线的渐近线为y＝±x，不妨取y＝x，即bx－ay＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d＝＝2，即9b2＝4(a2＋b2)，所以5b2＝4a2，b2＝a2＝c2－a2，即a2＝c2，所以e2＝，e＝，选A.]
2．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．3x±4y＝0 B．3x＋5y＝0
C．5x±4y＝0 D．4x±3y＝0
D [由题意可知|PF2|＝|F1F2|＝2c，所以△PF1F2为等腰三角形，所以由F2向直线PF1作的垂线也是中线，因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长2a，所以|PF1|＝2＝4b，又|PF1|－|PF2|＝2a，所以4b－2c＝2a，所以2b－a＝c，两边平方可得4b2－4ab＋a2＝c2＝a2＋b2，所以3b2＝4ab，所以4a＝3b，从而＝，所以该双曲线的渐近线方程为4x±3y＝0，故选D.]
3．若双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x无交点，则离心率e的取值范围是________．
(1，] [双曲线的渐近线方程为y＝±x，由题意可知≤2，∴e＝≤，又e>1，故e∈(1，]．]
4．过P(8,3)作双曲线9x2－16y2＝144的弦AB，且P为弦AB的中点，那么直线AB的方程为________．
3x－2y－18＝0 [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①－②得9(x1－x2)(x1＋x2)＝16(y1－y2)(y1＋y2)．
又x1＋x2＝16，y1＋y2＝6，
∴kAB＝＝×＝.
∴直线AB的方程为y－3＝(x－8)，即3x－2y－18＝0.]
5．直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点．
(1)求线段AB的长；
(2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？
[解] 由得(3－a2)x2－2ax－2＝0.
由题意可得3－a2≠0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.
(1)|AB|＝＝
＝
＝.
(2)由题意知，OA⊥OB，则·＝0，
即x1x2＋y1y2＝0，
∴x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0.
即(1＋a2)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0，
∴(1＋a2)·＋a·＋1＝0，解得a＝±1.
经检验a＝±1时，以AB为直径的圆经过坐标原点.
