2019秋北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形2矩形的性质与判定教学课件(共22张PPT)

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教学课件


数学 九年级上册 北师大版
第一章 特殊平行四边形

1.2 矩形的性质与判定
1、能用综合法证明矩形的性质定理、判定定理以及相关结论；
2、能用矩形的性质进行简单的证明与计算．
请从边、角、对角线三个方面说一说平行四边形有哪些性质？
边：对边平行且相等；
角：对角相等；
对角线：对角线互相平分．

分析：（1）矩形的形成过程是平行四边形的一个角由量变到质变的变化过程．
（2）矩形只比平行四边形多一个条件：“一个角是直角”，不能用“四个角都是直角的平行四边形是矩形”来定义矩形．
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
矩形与平行四边形之间的关系
（3）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质（共性），还具有它自己特殊的性质（个性）．
（4）从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩形的特殊性质．
①边：对边平行且相等（与平行四边形相同），邻边互相垂直；
②角：四个角是直角（性质1）；
③对角线：相等且互相平分．
定理:矩形的四个角都是直角.
已知:如图,四边形ABCD是矩形.
分析:由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证.
证明:
∵ 四边形ABCD是矩形.
∴∠A=90?,四边形ABCD是平行四边形.
∴∠C=∠A=90?,
∠B=180?-∠A=90?,
∠D=180?-∠A=90?.
求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90?.
∴四边形ABCD是矩形.
定理:矩形的两条对角线相等.
已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.
求证: AC=BD.
证明:
∵ 四边形ABCD是矩形.
∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°.
分析:根据矩形的性质,可转化
为全等三角形(SAS)来证明.
∵BC=CB.
∴△ABC≌△DCB(SAS).
∴AC=DB.
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
练一练：如图，在矩形ABCD中：
问：在Rt△ABC中，斜边AC上的中线是OB，它与斜边的关系是OB= AC．
问：是不是所有的三角形都有这样的性质? 关键是是不是任何一个三角形都可以放进一个矩形里?
【例1】已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5cm.求矩形对角线的长.
解析:
∵四边形ABCD是矩形.
你认为例1还可以怎么去解？
定理:有三个角是直角的四边形是矩形.
已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形是平行四边形,可使问题得证.
证明:
∵ ∠A=∠B=∠C=90°.
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
求证:四边形ABCD是矩形.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是矩形.
定理:对角线相等的平行四边形是矩形.
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.
求证:平行四边形ABCD是矩形.
分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.
证明:
∴AB=CD,AB∥CD.
∵AC=DB,BC=CB.
∴ △ABC≌△DCB.
∴∠ABC=∠DCB.
∵四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC+∠DCB=180°.
∴∠ABC=90°.
∴四边形ABCD是矩形.
下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？
（1）对角线相等的四边形是矩形；（ ）
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（ ）
（3）有四个角是直角的四边形是矩形；（ ）
（4）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
（ ）
√
√
╳
╳
定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
求证:△ABC是直角三角形.
已知:CD是△ABC边AB上的中线,且
分析:要证明△ABC是直角三角形,可以将点A,B,C构造平行四边形,然后证明其对角线相等,即可证明是矩形.
证明:延长CD到E,使DE=DC,连接AE,BE.
∴四边形ACBE是平行四边形.
∵AB=2CD,CE=2CD.
∴ AC=DB.
∴四边形ACBE是矩形.
∵ AD=BD,CD=ED.
∴∠ACB=90°.
∴△ABC是直角三角形.
1．如图所示，已知□ABCD，下列条件：①AC=BD，②AB=AD，③∠1=∠2，④AB⊥BC中，能说明□ABCD是矩形的有 （填写序号）.
解析：根据对角线相等的平行四边形是矩形；矩形的定义.
答案：① ④
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底边上的高，E为AC的中点，则DE＝　　　．
解析：根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，DE等于AC的一半，所以DE=4.
答案：4
3．如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．（1）求∠CAE的度数；
（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．
解析：（1）在等边△ABC中，∵点D是BC边的中点，∴∠DAC＝30?，又∵等边△ADE，∴∠DAE＝60?，∴∠CAE＝30?.
（2）在等边△ABC中，∵F是AB边的中点，D是BC边的中点，∴CF＝AD，∠CFA＝90?，又∵AD＝AE，∴AE＝CF，由（1）知∠CAE＝30?，∴∠EAF＝60?+30?＝90?，∴∠CFA＝∠EAF，∴CF∥AE，∵AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵∠CFA＝90?，∴四边形AFCE是矩形．
4．已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD的中点．
求证：四边形BMDN是矩形．
证明：在正三角形ABD和BCD中，M、N分别为BC、AD的中点.
∴BN⊥AD，DM⊥BC，∠DBC=60°，
∠BND=∠DMB=90°，∠NBD=30°.
∴∠NBM=90°.
∴四边形BMDN是矩形.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1、矩形的性质：
（1）矩形的四个角都是直角；
（2）矩形的对角线相等；
（3）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2、矩形的判定定理：
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半.