2.2.4 均值不等式及其应用
课后篇巩固提升
/夯实基础
1.在区间
1
2
,2
上,函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)与g(x)=
??
2
+??+1
??
在同一点取得相同的最小值,则f(x)在区间
1
2
,2
上的最大值是( )
A.
13
4
B.4 C.8 D.
5
4
解析g(x)=
??
2
+??+1
??
=x+
1
??
+1≥3,当且仅当x=1时,等号成立,即当x=1时取最小值3,所以f(x)的对称轴是直线x=1,所以b=-2.再把(1,3)代入即得c=4.所以f(x)=x2-2x+4,易得在区间
1
2
,2
上的最大值是f(2)=4-4+4=4.
答案B
2.若已知x,y,z为正实数,则
????+????
??
2
+
??
2
+
??
2
的最大值为( )
A.1 B.2 C.
2
2
D.
2
解析∵x2+y2+z2=
??
2
+
1
2
??
2
+
1
2
??
2
+
??
2
≥
2
(xy+yz),当且仅当x=
1
2
y=z时取等号.
∴
????+????
??
2
+
??
2
+
??
2
≤
????+????
2
(????+????)
=
2
2
.
答案C
3.设a>0,b>0.若
3
是3a与32b的等比中项,则
2
??
+
1
??
的最小值为( )
A.8 B.4 C.1 D.
1
4
解析由题意可知3=3a32b=3a+2b,即a+2b=1.因为a>0,b>0,所以
2
??
+
1
??
=
2
??
+
1
??
(a+2b)=
??
??
+
4??
??
+4≥2
??
??
·
4??
??
+4=8,当且仅当
??
??
=
4??
??
,即a=2b=
1
2
时取“=”.
答案A
4.若a,b,c>0,且a(a+b+c)+bc=4-2
3
,则2a+b+c的最小值为( )
A.
3
-1 B.
3
+1
C.2
3
+2 D.2
3
-2
解析因为a,b,c>0,且a(a+b+c)+bc=4-2
3
,所以a2+ab+ac+bc=4-2
3
,所以4-2
3
=a2+ab+ac+bc=
1
4
(4a2+4ab+4ac+2bc+2bc)≤
1
4
(4a2+4ab+4ac+2bc+b2+c2).当且仅当b=c时,等号成立.所以(2
3
-2)2≤(2a+b+c)2,则2a+b+c≥2
3
-2.
答案D
5.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是 .?
解析令
????
=t(t>0),由ab=a+b+3≥2
????
+3,得t2≥2t+3.又t>0,所以,可得t≥3,即
????
≥3,所以ab≥9.
答案ab≥9
6.(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 .?
解析一年的总运费与总存储费用之和为4x+
600
??
×6=4
??+
900
??
≥4×2
900
=240,当且仅当x=
900
??
,即x=30时等号成立.
答案30
7.设a,b>0,a+b=5,则
??+1
+
??+3
的最大值为 .?
解析由2ab≤a2+b2两边同时加上a2+b2,得(a+b)2≤2(a2+b2),两边同时开方即得a+b≤
2(
??
2
+
??
2
)
(a>0,b>0,当且仅当a=b时取等号),从而有
??+1
+
??+3
≤
2(??+1+??+3)
=
2×9
=3
2
?
当且仅当a+1=b+3,即a=
7
2
,b=
3
2
时,取等号
?
.
答案3
2
8.求函数y=
(??+4)(??+9)
??
的最值.
解(1)当x>0时,y=13+x+
36
??
≥13+2
??·
36
??
=25,当且仅当x=
36
??
,即x=6时取等号.
所以当x=6时,ymin=25.
(2)当x<0时,-x>0,-
36
??
>0,(-x)+
-
36
??
≥2
(-??)
-
36
??
=12.
所以y=13-
(-??)+
-
36
??
≤13-12=1.
当且仅当-x=-
36
??
,即x=-6时取等号,
所以当x=-6时,ymax=13-12=1.
/能力提升
1.若正数a,b,c满足
1
??
+
4
??
+
9
??
≤
36
??+??+??
,则
2??+3??
??+??+??
= .?
解析由
1
??
+
4
??
+
9
??
≤
36
??+??+??
,得
1
??
+
4
??
+
9
??
(a+b+c)≤36,即1+
??
??
+
??
??
+4+
4??
??
+
4??
??
+9+
9??
??
+
9??
??
≤36,
即
??
??
+
??
??
+
4??
??
+
4??
??
+
9??
??
+
9??
??
≤22.
又因为
??
??
+
??
??
+
4??
??
+
4??
??
+
9??
??
+
9??
??
=
??
??
+
4??
??
+
4??
??
+
9??
??
+
??
??
+
9??
??
≥22,当且仅当b=2a,c=3a时取等号.
所以
??
??
+
??
??
+
4??
??
+
4??
??
+
9??
??
+
9??
??
=22,得b=2a,c=3a.所以
2??+3??
??+??+??
=
4??+9??
??+2??+3??
=
13
6
.
答案
13
6
2.已知不等式(x+y)
1
??
+
??
??
≥9对任意正实数x,y恒成立,求正实数a的最小值.
解∵(x+y)
1
??
+
??
??
=1+a+
??
??
+
????
??
,
又x>0,y>0,a>0,
∴
??
??
+
????
??
≥2
??
??
·
????
??
=2
??
,
∴1+a+
??
??
+
????
??
≥1+a+2
??
,
∴要使(x+y)
1
??
+
??
??
≥9对任意正实数x,y恒成立,只需1+a+2
??
≥9恒成立即可.
∴(
??
+1)2≥9,即
??
+1≥3,∴a≥4,
∴正实数a的最小值为4.
3.记F(x,y)=x+y-a(x+2
2????
),x,y∈R+.若对任意的x,y∈R+,恒有F(x,y)≥0,求a的取值范围.
解由F(x,y)≥0,得x+y≥a(x+2
2????
).
∵x>0,y>0,∴a≤
??+??
??+2
2????
恒成立.
∴a的最大值为
??+??
??+2
2????
的最小值.
∵2
2????
≤x+2y,
∴
??+??
??+2
2????
≥
??+??
??+(??+2??)
=
1
2
,
当且仅当x=2y>0时,等号成立,即a的最大值为
1
2
,
∴a∈
-∞,
1
2
.
课件32张PPT。2.2.4 均值不等式及其应用一二三知识点一、重要不等式
1.填空:
对于任意实数a,b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.一二三3.做一做
已知a,b∈R,且a2+b2=4,则ab( )
A.有最大值2,有最小值-2
B.有最大值2,但无最小值
C.有最小值2,但无最大值
D.有最大值2,有最小值0
解析:这里没有限制a,b的正负,则由a2+b2=4,a2+b2≥2|ab|,得|ab|≤2,所以-2≤ab≤2,可知ab的最大值为2,最小值为-2.
答案:A一二三知识点二、均值不等式
1.填空一二三2.均值不等式与不等式a2+b2≥2ab的关系如何?请对此进行讨论.
提示:(1)在a2+b2≥2ab中,a,b∈R;在a+b≥ 中,a,b>0.
(2)两者都带有等号,等号成立的条件从形式上看是一样的,但实质不同(范围不同).
(3)证明的方法都是作差比较法.
(4)都可以用来求最值.答案:B 一二三知识点三、重要结论
1.思考
填空:
已知x,y都为正数,则
(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值____.
(2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值_____.
2.应用上述两个结论时,要注意哪些事项?
提示:应用上述性质时注意三点:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.一二三3.做一做:已知x,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为 .?探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测利用均值不等式求范围或最值 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟1.利用均值不等式求范围或最值时要注意:
(1)x,y一定要都是正数.
(2)求积xy最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y最小值时,应看积xy是否为定值.
(3)等号是否能够成立.
2.有时需结合题目条件进行添项、凑项以及“1”的代换等,目的是为了使和或积为常数.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解:∵x<2,∴2-x>0, 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测利用均值不等式比较大小 分析:这是一个有趣的不等式链,取特殊值可判断其大小关系.借助不等式和重要不等式变形可寻求判断和证明的方法.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟利用均值不等式比较大小的关注点利用均值不等式比较大小,其实质也是不等式的证明问题,但要注意对所求对象进行适用条件的验证及等号成立条件的探求.必要时,也要与之前讲述的作差法或作商法综合进行大小比较,对于结论可首先取特殊值得到,再作论证即可.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测利用均值不等式证明不等式 反思感悟1.多次使用均值不等式时,要注意等号能否成立;
2.累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用;
3.对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合,形成均值不等式模型,再使用.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测延伸探究 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测均值不等式在实际问题中的应用
例4 某学校拟建一块周长为400 m的操场,操场的两边是半圆形,中间是矩形(如图所示).学生做操一般安排在矩形区域,为了能让学生的做操区域尽可能大,应如何设计矩形?解:设半圆的直径为d m,矩形的另一边长为x m,中间的矩形区域面积为S m2.
由题知S=dx,且πd+2x=400,探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟1.在实际问题中,与最值有关的应用题是一种常见题型,高考试题中时有出现.解决此类问题的基本思路是,先建立目标函数,然后再求该目标函数的最值.由于均值不等式求最值具有方便快捷的特点,应作为求最值的首选方法.
2.在应用均值不等式求最值时,要注意“一正、二定、三相等”的原则,特别是“三相等”必须验证.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测答案:10 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测一题多变——利用基本不等式求最值 分析:变形所求代数式的结构形式,使用符合基本不等式的结构特征.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测方法点睛 利用基本不等式求条件最值的常用方法
(1)“1”的代换:利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子,将“1”代入后再利用基本不等式求最值.
(3)函数法:若利用基本不等式时等号取不到,则无法利用基本不等式求最值,则可将要求的式子看成一个函数,利用函数的单调性求最值.
易错警示利用基本不等式求函数最值,一定要判断等号何时成立.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测1.函数f(x)=2x+ (x>0)有( )
A.最大值8 B.最小值8
C.最大值4 D.最小值4
答案:B2.已知点P(x,y)在直线x+3y-2=0上,则代数式3x+27y的最小值是 ,此时x= ,y= .?探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测答案:a≤3 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测4.已知a,b,c都是正实数,且a+b+c=1,
求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc.
证明:∵a+b+c=1,
∴(1-a)(1-b)(1-c)=(b+c)(a+c)(a+b).
又a,b,c都是正实数,探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测
