3.1.2 函数的单调性
课后篇巩固提升
/夯实基础
1.下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1
f(x2)”的是( )
A.f(x)=(x-1)2 B.f(x)=
1
??
C.f(x)=2x2 D.f(x)=
1
??-2
答案B
2.(多选)下列各选项正确的有( )
A.若x1,x2∈I,当x1B.函数y=x2在R上是增函数
C.函数y=-
1
??
在定义域上不是增函数
D.函数y=x2的单调递减区间为(-∞,0]
解析A中,没强调x1,x2是区间I上的任意两个数,故不正确;B中,y=x2在x≥0时是增函数,在x<0时是减函数,从而y=x2在整个定义域上不具有单调性,故不正确;C中,y=-
1
??
在整个定义域内不具有单调性,故正确;D正确.
答案CD
3.已知f(x)为R上的减函数,则满足f(2x)>f(1)的实数x的取值范围是( )
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.
1
2
,+∞
D.
-∞,
1
2
解析由已知得2x<1,解得x<
1
2
.
答案D
4.函数f(x)在定义域M内为增函数,且f(x)>0,则下列函数在M内不是增函数的是( )
A.y=4+3f(x) B.y=[f(x)]2
C.y=3+
1
??(??)
D.y=2-
1
??(??)
解析易知
1
??(??)
在M内为减函数,故y=3+
1
??(??)
在M内也为减函数.
答案C
5.设函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R,都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,则f(-3)与f(-π)的大小关系是 .?
解析由题意,知f(x)是R上的增函数,
又∵-3>-π,∴f(-3)>f(-π).
答案f(-3)>f(-π)
6.已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且f(x-1)解析由题意得
-1≤??-1≤1,
-1≤
??
2
-1≤1,
??-1<
??
2
-1,
解得
0≤??≤2,
0≤
??
2
≤2,
??<0或??>1,
即12
.
答案(1,
2
]
7.函数f(x)=ax2-(3a-1)x+a2在[1,+∞)内是增函数,则a的取值范围是 .?
解析当a=0时,f(x)=x,显然f(x)在[1,+∞)内是增函数;
当a≠0时,
??>0,
-
-(3??-1)
2??
≤1,
所以0综上所述,0≤a≤1.
答案0≤a≤1
8.证明函数y=x+
9
??
在区间(0,3]上是减函数.
证明任取00,
Δy=y2-y1=
??
2
+
9
??
2
?
??
1
+
9
??
1
=(x2-x1)-
9(
??
2
-
??
1
)
??
1
??
2
=(x2-x1)
1-
9
??
1
??
2
.
∵0∴x2-x1>0,
9
??
2
??
1
>1,即1-
9
??
2
??
1
<0.
∴Δy=y2-y1<0,
∴函数y=x+
9
??
在(0,3]上是减函数.
9.(1)写出函数y=x2-2x的单调区间及其图像的对称轴,观察:函数在图像对称轴两侧的单调性有什么特点?
(2)写出函数y=|x|的单调区间及其图像的对称轴,观察:函数在图像对称轴两侧的单调性有什么特点?
(3)定义在[-4,8]上的函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称,y=f(x)的部分图像如图所示,请补全函数y=f(x)的图像,并写出其单调区间,观察:函数在图像对称轴两侧的单调性有什么特点?
/
(4)由以上你发现了什么结论?(不需证明)
解(1)函数y=x2-2x的单调减区间是(-∞,1],单调增区间是[1,+∞);对称轴是直线x=1;在对称轴两侧的单调性相反.
(2)函数y=|x|的单调减区间是(-∞,0],单调增区间是[0,+∞);对称轴是y轴,即直线x=0;在对称轴两侧的单调性相反.
(3)函数y=f(x),x∈[-4,8]的图像如下图所示.
/
函数y=f(x)的单调增区间是[-4,-1],[2,5];单调减区间是[5,8],[-1,2];区间[-4,-1]和区间[5,8]关于直线x=2对称,单调性相反;区间[-1,2]和区间[2,5]关于直线x=2对称,单调性相反.
(4)可以发现结论:如果函数y=f(x)的图像关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在直线x=m两侧的对称区间内的单调性相反.
/能力提升
1.已知函数y=f(x)的定义域是数集A,若对于任意a,b∈A,当aA.有且只有一个 B.一个都没有
C.至多有一个 D.可能有两个或两个以上
解析由已知中a,b的任意性可知,函数在其定义域上单调递增,从单调函数的图像的特征可断定方程至多有一个实数根,故选C.
答案C
2.定义在R上的函数y=f(x)关于y轴对称,且在[0,+∞)内是增函数,则下列关系成立的是( )
A.f(3)C.f(-4)解析依题意得f(-π)=f(π),f(-4)=f(4),又f(x)在[0,+∞)内是增函数,∴f(3)答案D
3.(2019重庆一中期末)函数f(x)=
1
??-1
在[a,b]上的最大值为1,最小值为
1
3
,则a+b= .?
解析函数f(x)=
1
??-1
在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递减,所以当a>1时,则
1
??-1
=1,
1
??-1
=
1
3
.∴a=2,b=4,∴a+b=6.当b<1时,
1
??-1
=
1
3
,
1
??-1
=1,解得a=4,b=4,与b<1矛盾.故a+b=6.
答案6
4.函数y=
1
2
1-
??
2
的单调增区间是 .?
解析由1-x2≥0,得-1≤x≤1,∴函数y=
1
2
1-
??
2
的定义域为[-1,1].设u=1-x2,当-1≤x≤0时,u是x的增函数,而y是u的增函数,∴y是x的增函数;当0≤x≤1时,u是x的减函数,而y是u的增函数,∴y是x的减函数.∴y=
1
2
1-
??
2
的单调增区间是[-1,0],单调减区间是[0,1].本题易错之处在于忽略函数定义域而错答成(-∞,0).
答案[-1,0]
5.已知f(x)=
????+1
??+2
在区间(-2,+∞)内是增函数,则实数a的取值范围是 .?
解析设x1,x2是(-2,+∞)内的任意两个不相等的实数,且-2则f(x2)-f(x1)=
??
??
2
+1
??
2
+2
?
??
??
1
+1
??
1
+2
=
(
??
2
-
??
1
)(2??-1)
(
??
1
+2)(
??
2
+2)
.
∵-20,(x1+2)(x2+2)>0.
∴
??
2
-
??
1
(
??
1
+2)(
??
2
+2)
>0.
又∵f(x)在(-2,+∞)内为增函数,
∴f(x2)-f(x1)>0,∴2a-1>0,即a>
1
2
.
即实数a的取值范围是
1
2
,+∞
.
答案
1
2
,+∞
6.作出函数f(x)=
??
2
-6??+9
+
??
2
+6??+9
的图像,并指出函数f(x)的单调区间.
解原函数可化为f(x)=|x-3|+|x+3|=
-2??,??≤-3,
6,-32??,??>3.
图像如图所示.
/
由图像知,函数的单调区间为(-∞,-3],[3,+∞).
其中单调减区间为(-∞,-3],单调增区间为[3,+∞).
7.函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当x>0时,f(x)>1.
(1)求证:f(x)是R上的增函数;
(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
(1)证明设x1则Δx=x2-x1>0,Δy=f(x2)-f(x1),
由已知得f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1,∴Δy=f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1.
∵x10.∴f(x2-x1)>1.
∴f(x2-x1)-1>0.∴Δy>0.
∴f(x)是R上的增函数.
(2)解令a=b=2,则f(4)=f(2)+f(2)-1=5,
∴f(2)=3.
∴原不等式可化为f(3m2-m-2)由(1)得3m2-m-2<2,
∴3m2-m-4<0.∴(3m-4)(m+1)<0.
∴-14
3
.
∴原不等式的解集为
-1,
4
3
.
8.如果函数y=f(x)(x∈D)满足:
(1)f(x)在D上是单调函数;
(2)存在闭区间[a,b]?D,使f(x)在区间[a,b]上的值域也是[a,b].
那么就称函数y=f(x)为闭函数.
试判断函数y=x2+2x在[-1,+∞)内是否为闭函数.如果是闭函数,那么求出符合条件的区间[a,b];如果不是闭函数,请说明理由.
分析先判断函数y=x2+2x在[-1,+∞)内的单调性,然后用反证法判断函数y=x2+2x在[-1,+∞)内是否为闭函数.
解设x1,x2是[-1,+∞)内的任意两个不相等的实数,且-1≤x1f(x2)-f(x1)=(
??
2
2
+2x2)-(
??
1
2
+2x1)
=(
??
2
2
?
??
1
2
)+2(x2-x1)=(x2-x1)(x1+x2+2).
∵-1≤x10,x1+x2+2>0.
∴(x2-x1)(x1+x2+2)>0.∴f(x2)>f(x1).
∴函数y=x2+2x在[-1,+∞)内是增函数.
假设存在符合条件的区间[a,b],则有
??(??)=??,
??(??)=??,
即
??
2
+2??=??,
??
2
+2??=??,
解得
??=0,
??=0
或
??=0,
??=-1
或
??=-1,
??=0
或
??=-1,
??=-1.
又∵-1≤a??=-1,
??=0.
∴函数y=x2+2x在[-1,+∞)内是闭函数,符合条件的区间是[-1,0].
课件29张PPT。3.1.2 函数的单调性一二三知识点一、函数单调性的概念
1.思考一二三(3)若把增、减函数定义中的“任意x1,x2”改为“存在x1,x2”可以吗?
提示:不可以,如图:
虽然Δx=2-(-1)>0,Δy=f(2)-f(-1)>0,但f(x)在[-1,2]上并不是单调函数.因此“任意”两字不能忽视,更不能用“特殊”取代.
为了方便也可将定义改为:如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1≠x2时,总有 ,那么就说函数f(x)在区间D上是增(减)函数.一二三2.填空
一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,且M?A.
(1)如果对任意x1,x2∈M,当x1f(x2),则称y=f(x)在M上是减函数(也称在M上单调递减),如图(2)所示.
如果一个函数在M上是增函数或是减函数,就说这个函数在M上具有单调性(当M为区间时,称M为函数的单调区间).一二三3.做一做
已知四个函数的图像如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是( )
?
答案:B一二三4.“函数f(x)的单调增(减)区间是D”与“函数f(x)在区间D上是增(减)函数”是否相同?
提示:不相同.函数f(x)的单调增(减)区间是D,这一说法意味着除D之外,函数f(x)再无其他单调增(减)区间.
函数f(x)在区间D上是增(减)函数,则意味着区间D是函数f(x)的单调增(减)区间的子区间,即除区间D外,函数f(x)还可能有其他的单调增(减)区间.一二三5.做一做
已知函数y=f(x)的图像如图所示,则函数的单调减区间为 .?一二三知识点二、判断函数单调性的步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间M上的单调性的一般步骤:
(1)任取x1,x2∈M,且Δx=x2-x1>0;
(2)作差:Δy=f(x2)-f(x1);
(3)变形(通常所用的方法有:因式分解、配方、分子有理化、分母有理化、通分等);
(4)定号(即判断Δy的正负);
(5)下结论(即指出函数f(x)在给定的区间M上的单调性).一二三知识点三、函数的平均变化率探究一探究二探究三思维辨析当堂检测用定义法证明(判断)函数的单调性
例1 利用单调性的定义证明函数 在(-∞,0)内是增函数.
分析:解题的关键是对Δy=f(x2)-f(x1)合理变形,最终要变为几个最简单因式乘积或相除的形式,以便于判号.
证明设x1,x2是(-∞,0)内的任意两个值,且x10,探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟证明函数的单调性的步骤
1.取值:设x1,x2为给定区间内任意的两个值,且x12.作差变形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并将差向有利于判断差值的符号的方向变形(作差后,尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完全平方式的和的形式,这是值得学习的解题技巧,在判断因式的正负号时,经常采用这种变形方法);
3.定号:判断符号的依据是自变量的取值范围、假定的大小关系及符号的运算法则;
4.判断:根据定义作出结论(若Δx=x2-x1与Δy=f(x2)-f(x1)同号,则函数在给定区间是增函数;异号,则是减函数).探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利用图像求函数的单调区间
例2 已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图像,并结合图像写出函数的单调区间.
分析:首先分类讨论,去掉绝对值号,将函数化为分段函数,然后画出图像求解即可.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟图像法求单调区间的关注点
1.由函数的图像得出单调区间是常用的一种方法,但一定要注意画图的准确性及端点处的处理.若函数的定义域内不含端点,则要写成开区间;若端点在其定义域内,则写成开区间或闭区间均可,但最好加上区间端点.
2.初中学过的一次函数、二次函数、反比例函数的单调区间可以作为常用结论,在某些题目中可以直接使用.
3.常见的加绝对值的函数有两种,一种是y=f(|x|),自变量上加绝对值;另一种是y=|f(x)|,函数值上加绝对值.
4.加绝对值的函数图像的两种画法:
(1)通过讨论绝对值内的式子的正负,去掉绝对值符号,把函数化为分段函数,再依次画出分段函数每一段的函数图像.
(2)利用函数图像的变换,即通过图像间的对称变换,得到已知函数的图像.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测函数单调性的简单应用
例3 (1)已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,求实数a的取值范围;
(2)已知函数g(x)在R上为增函数,且g(t)>g(1-2t),求t的取值范围.
分析:(1)先将函数解析式配方,找出对称轴,寻找对称轴与区间的位置关系求解;(2)充分利用函数的单调性,实现函数值与自变量不等关系的互化.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)∵f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a-1)2+2,
∴该二次函数图像的对称轴为x=1-a.
∴f(x)的单调减区间为(-∞,1-a].
∵f(x)在(-∞,4]上是减函数,
∴对称轴x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合.
∴1-a≥4,解得a≤-3.
(2)∵g(x)在R上为增函数,且g(t)>g(1-2t),探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟根据单调性求参数的方法
1.已知函数的单调性求参数范围,要注意数形结合,画出图像,往往解题很方便,同时要采取逆向思维求解;
2.充分利用了函数的单调性,在单调区间内,变量与函数值之间的关系,将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系,即将抽象不等式转化为具体不等式求参数t.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究已知f(x)=-x3+ax在(0,1)内是增函数,求实数a的取值范围.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测分类讨论思想在函数单调性中的应用
典例 讨论函数f(x)= (-1思路点拨:要讨论函数的单调性,只需要用定义判定,由于函数中含有参数,因此要注意分类讨论思想的应用.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:设x1,x2是(-1,1)内的任意两个自变量,且x10时,f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),
此时f(x)在(-1,1)内是减函数;
当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)此时f(x)在(-1,1)内是增函数.
综上所述,当a>0时,函数f(x)在(-1,1)内是减函数;
当a<0时,函数f(x)在(-1,1)内是增函数.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测方法点睛1.讨论一个含参数的函数的单调性与证明一个函数的单调性的方法类似,都是利用定义,通过运算,判断f(x1)-f(x2)的正负,从而得出结论,若所含参数符号不确定,必须分类讨论.
2.本题的规范解答中每一个环节都不能省略,既有开头和结尾形式上的要求,也有对f(x1)-f(x2)的正负判定进行实质性说明.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.下列函数在区间(-∞,0)内为增函数的是( )解析:设任意x1,x2∈(-∞,0),Δx=x2-x1>0,选项A中,Δy=f(x2)-f(x1)=(3-x2)-(3-x1)=x1-x2<0,所以该函数在区间(-∞,0)内为减函数;同理可判断选项B中和选项C中函数在区间(-∞,0)内为减函数,选项D中函数在区间(-∞,0)内为增函数.
答案:D探究一探究二探究三思维辨析当堂检测2.下列命题正确的是( )
A.定义在(a,b)内的函数f(x),若存在x1B.定义在(a,b)内的函数f(x),若有无数多对x1,x2∈(a,b),使得当x1C.若f(x)在区间I1上为增函数,在区间I2上也为增函数,则f(x)在I1∪I2上为增函数
D.若f(x)在区间I上为增函数,且f(x1)解析:根据函数单调性的定义来判断.
答案:D探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.已知函数y=f(x)的图像如图所示,则函数的单调减区间为
.?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.已知函数f(x)=ax2-x+a+1在区间(-∞,2)内是减函数,则a的取值范围为 .?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测6.已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.