3.1.3 函数的奇偶性
课后篇巩固提升
夯实基础
1.下列图像表示的函数具有奇偶性的是( )
答案B
2.(多选)下列函数既是奇函数又是增函数的为( )
A.y=x+1 B.y=x
C.y=1x D.y=x|x|
解析选项A为一次函数,不是奇函数,是增函数;选项B是奇函数,是增函数;选项C是反比例函数,为奇函数,不是增函数;选项D,去绝对值号,变为分段函数,符合题意.
答案BD
3.已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,则f(5)+f(-5)的值为( )
A.4 B.0 C.2m D.-m+4
解析由已知,得f(x)+f(-x)=4,
故f(-5)+f(5)=4.
答案A
4.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则不等式f(x-2)>0的解集为( )
A.{x|x<-2或x>4} B.{x|x<0或x>4}
C.{x|x<0或x>6} D.{x|x<-2或x>2}
解析当x≥0时,令f(x)=2x-4>0,所以x>2.
又因为函数f(x)为偶函数,
所以函数f(x)>0的解集为{x|x<-2或x>2}.
将函数y=f(x)的图像向右平移2个单位长度即得函数y=f(x-2)的图像,故f(x-2)>0的解集为{x|x<0或x>4}.
答案B
5.已知y=f(x)是偶函数,且图像与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是( )
A.4 B.2 C.1 D.0
解析因为f(x)是偶函数且图像与x轴有四个交点,这四个交点每组两个关于原点一定是对称的,故x1+x2+x3+x4=0.
答案D
6.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数,且最小值是5,那么f(x)在区间[-7,-3]上的最 (填“大”或“小”)值为 .?
解析由题意知f(3)=5,根据奇函数在对称区间上的单调性一致并结合图像可得f(x)在[-7,-3]上为增函数,且在-3处取得最大值,f(-3)=-f(3)=-5.
答案大 -5
7.设函数y=f(x)是偶函数,它在[0,1]上的图像如图所示,则它在[-1,0]上的解析式为 .?
解析由题意知f(x)在[-1,0]上为一线段,且过(-1,1),(0,2),设f(x)=kx+b(k≠0),将(-1,1),(0,2)代入得k=1,b=2.
答案f(x)=x+2
8.已知函数f(x)=-x2+2x,x>0,0,x=0,x2+mx,x<0是奇函数,则m= .?
解析当x<0时,-x>0,
f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.
∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-x2-2x.
∴f(x)=x2+2x=x2+mx,即m=2.
答案2
9.已知函数f(x)=(x+a)(x+b)(a,b∈R)为R上的偶函数.
(1)求a,b的关系式;
(2)求关于x的方程f(x)=0的解集.
解(1)∵f(x)=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab是偶函数,∴f(-x)=f(x)对于x∈R恒成立,
∴(-x)2-(a+b)x+ab=x2+(a+b)x+ab,
即2(a+b)x=0对于x∈R恒成立,
∴a+b=0,即b=-a.
(2)由(1)可知,f(x)=x2-a2.
当a=0时,f(x)=x2=0,解得x=0;
当a≠0时,f(x)=x2-a2=0,解得x=±a.
综上所述,当a=0时,方程f(x)=0的解集为{0};
当a≠0时,方程f(x)=0的解集为{-a,a}.
10.函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x>0时,函数的解析式为f(x)=2x-1.
(1)求f(-1)的值;
(2)求当x<0时函数的解析式;
(3)用定义证明f(x)在(0,+∞)内是减函数.
(1)解因为f(x)是偶函数,
所以f(-1)=f(1)=2-1=1.
(2)解当x<0时,-x>0,所以f(-x)=2-x-1.
又f(x)为偶函数,所以当x<0时,f(x)=f(-x)=2-x-1=-2x-1.
(3)证明设x1,x2是(0, +∞)内的任意两个不相等的实数,且0
则Δx=x2-x1>0,Δy=f(x2)-f(x1)
=2x2-1-2x1-1=2x2?2x1=2(x1-x2)x1x2.
因为x1-x2=-Δx<0,x1x2>0, 所以Δy<0.
因此f(x)=2x-1在(0,+∞)内是减函数.
能力提升
1.设f(x)是(-∞,+∞)内的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)等于( )
A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5
解析由已知,可得f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(2+3.5)=-[-f(3.5)]=f(3.5)=f(2+1.5)=-f(1.5)=-f(2-0.5)=-[-f(-0.5)]=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.
答案B
2.函数f(x),g(x)在区间[-a,0)∪(0,a]上都是奇函数且g(x)≠0,给出下面四个结论:
①f(x)+g(x)在[-a,0)∪(0,a]上是奇函数;
②f(x)-g(x)在[-a,0)∪(0,a]上是奇函数;
③f(x)·g(x)在[-a,0)∪(0,a]上是偶函数;
④f(x)g(x)在[-a,0)∪(0,a]上是偶函数.
其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案D
3.若f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,又f(-3)=0,则x2f(x)<0的解集是( )
A.(-3,0)∪(1,+∞) B.(-3,0)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(0,3) D.(-3,0)∪(1,3)
解析∵f(x)为奇函数,∴f(-3)=-f(3)=0,∴f(3)=0.∵函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f(x)在(-∞,0)上是减函数,∴对于x2f(x)<0等价于f(x)<0,即x<0,f(x)<0=f(-3)?x<-3或x>0,f(x)<0=f(3)?0答案C
4.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞)
B.(-1,2)
C.(-2,1)
D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
解析
因为f(x)是奇函数,所以当x<0时,f(x)=-x2+2x,作出f(x)的大致图像如图中实线所示,结合图像可知f(x)是R上的增函数,由f(2-a2)>f(a),得2-a2>a,即-2答案C
5.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x3+x+1,则f(x)的解析式为 .?
解析设x<0,则-x>0,
所以f(-x)=(-x)3+(-x)+1=-x3-x+1.
因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).
所以-x3-x+1=-f(x),即f(x)=x3+x-1.
所以x<0时,f(x)=x3+x-1,
又因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,
所以f(x)=x3+x+1(x>0),0(x=0),x3+x-1(x<0).
答案x3+x+1(x>0),0(x=0),x3+x-1(x<0)
6.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=x2+x(x<0),-x2+x(x>0);
(2)f(x)=(x+5)2-4,x∈(-6,-1],(x-5)2-4,x∈[1,6).
分析对于分段函数奇偶性的判断,要分段进行讨论,求f(-x)时,注意-x的取值范围.
解(1)当x<0时,-x>0,则有
f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=-f(x);
当x>0时,-x<0,则有
f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x).
综上所述,因为对任意不为0的x,都有f(-x)=-f(x)成立,所以f(x)为奇函数.
(2)f(x)的定义域为(-6,-1]∪[1,6),关于原点对称.
当x∈(-6,-1]时,-x∈[1,6),
f(-x)=(-x-5)2-4=(x+5)2-4=f(x);
当x∈[1,6)时,-x∈(-6,-1],
f(-x)=(-x+5)2-4=(x-5)2-4=f(x).
综上可知,对于任意x∈(-6,-1]∪[1,6),都有f(-x)=f(x),
所以f(x)=(x+5)2-4,x∈(-6,-1],(x-5)2-4,x∈[1,6)是偶函数.
7.已知函数f(x)的定义域为R,且对任意x,y∈R,f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0,fπ2=0.
(1)求f(0),f(π)的值;
(2)求证:y=f(x)是偶函数.
(1)解∵对任意x,y∈R,f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),
∴令x=y=0,则f(0)+f(0)=2f(0)·f(0).
又∵f(0)≠0,∴f(0)=1.
令x=y=π2,则有f(π)+f(0)=2fπ2fπ2,
∵fπ2=0,∴f(π)+f(0)=0.∴f(π)=-1.
(2)证明令x=0,则f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y),∴f(-y)=f(y).
∴y=f(x)是偶函数.
8.函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(-1,1)内的奇函数,且f12=25.
(1)确定函数f(x)的解析式;
(2)用定义证明f(x)在(-1,1)内是增函数;
(3)解不等式:f(t-1)+f(t)<0.
分析(1)利用f(0)=0与f12=25解出a,b的值即可;(2)利用函数单调性的定义证明;(3)先将f(t-1)+f(t)<0等价化归为f(t-1)<-f(t)=f(-t),再利用单调性将抽象不等式化为具体不等式.
(1)解依题意,得f(0)=0,f12=25,
即b1+02=0,a2+b1+14=25,解得a=1,b=0.∴f(x)=x1+x2.
(2)证明设x1,x2是(-1,1)内的任意两个不相等的实数,且-10,
Δy=f(x2)-f(x1)=x21+x22?x11+x12
=(x2-x1)·(1-x1x2)(1+x12)(1+x22).
∵-10,
1+x12>0,1+x22>0,
且-10.
∴Δy>0.∴f(x)在(-1,1)内是增函数.
(3)解由f(t-1)+f(t)<0,且f(x)为奇函数,得f(t-1)<-f(t)=f(-t).
又∵f(x)在(-1,1)内是增函数,
∴-1课件29张PPT。3.1.3 函数的奇偶性一二知识点一、奇、偶函数的定义
1.思考
提示:y= 的定义域为{x|x≠0},经过对一系列互为相反数的x值代入函数式可得:若x的取值互为相反数,则其函数值相等.即对x∈{x|x≠0}总有f(-x)=f(x)成立,我们把这类函数称为偶函数.
②你还能得出函数f(x)=x5在x∈R时仍有上述(1)问中的规律吗?
提示:f(x)=x5满足的规律是对x∈R,总有f(-x)=-f(x)成立,我们把这类函数称为奇函数.
(2)一个函数具有奇偶性,其定义域有什么特点?
提示:一个函数若具有奇偶性,其定义域一定关于原点对称,这等价于定义中的“对D内的任意一个x,都有-x∈D”这一说法.一二2.填写下表:
设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x∈D,一二3.做一做
(1)下列函数是偶函数的为( )
A.y=2|x|-1,x∈[-1,2]
B.y=x3-x2
C.y=x3
D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]
答案:D
(2)下列函数中,既是奇函数又是减函数的为( )
A.y=x-1 B.y=3x2
答案:D一二知识点二、奇、偶函数的图像特征
1.思考
(1)如果f(x)的图像关于原点对称,且函数在x=0处有定义,那么f(0)为何值?
提示:f(x)的图像关于原点对称,即f(x)为奇函数,故满足f(-x)=-f(x).因为f(x)在x=0处有定义,所以f(0)=-f(0),即f(0)=0.
(2)若f(x)为奇函数,且点(x,f(x))在其图像上,则哪一个点一定在其图像上?若f(x)为偶函数呢?
提示:若f(x)为奇函数,则点(-x,-f(x))一定在其图像上;若f(x)为偶函数,则点(-x,f(x))一定在其图像上.一二2.填空
(1)偶函数的图像关于y轴对称;反之,结论也成立,即图像关于y轴对称的函数一定是偶函数.
(2)奇函数的图像关于原点对称;反之,结论也成立,即图像关于原点对称的函数一定是奇函数.
名师点拨 奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称区间上的单调性相反;若奇函数f(x)在区间[a,b](0图中表示偶函数的图像的是 (填序号).?一二解析:①中函数的定义域不关于原点对称,所以①表示的不是偶函数的图像;②中的函数图像不关于y轴对称,所以②表示的不是偶函数的图像;③中函数的定义域关于坐标原点对称,而图像又关于y轴对称,所以③表示的是偶函数的图像;④中函数的定义域关于原点对称,且图像关于y轴对称,所以④表示的是偶函数的图像.故填③④.
答案:③④探究一探究二探究三思维辨析当堂检测判断函数的奇偶性
例1判断下列函数的奇偶性:分析:先求定义域,验证定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系,进而做出判断.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟如何判断函数的奇偶性
1.判断函数的奇偶性一般不用其定义,而是利用定义的等价形式,即考察f(-x)与f(x)的关系,具体步骤如下:
(1)求f(x)的定义域;
(2)若定义域不关于原点对称,则函数f(x)不具有奇偶性,若定义域关于原点对称,可再利用定义验证f(-x)与f(x)的关系.
2.对于一些较复杂的函数,也可以用如下性质判断函数的奇偶性:
(1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;
(2)奇函数的和、差仍为奇函数;
(3)奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;
(4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1下列函数是偶函数的为( )
A.y=2|x|-1,x∈[-1,2]
B.y=x3-x2
C.y=x3
D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]
解析:选项A中,函数的定义域不关于原点对称,则函数不是偶函数;选项B中,f(-x)≠f(x),函数不是偶函数;选项C中,f(-x)=-x3=-f(x),函数是奇函数;选项D中,f(-x)=x2=f(x),且定义域也关于原点对称,所以函数是偶函数.
答案:D探究一探究二探究三思维辨析当堂检测由函数的奇偶性求函数的解析式
例2 已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x|x-2|,求当x<0时,f(x)的表达式.
分析:已知函数f(x)是奇函数,可利用对称性求对称区间上的解析式.
解:令x<0,则-x>0.
∴f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.
∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)=x|x+2|.
故当x<0时,f(x)的表达式为f(x)=x|x+2|.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟由函数奇偶性求函数解析式的解题策略
1.函数具有奇偶性,若只给出了部分区间上的解析式,则可以利用函数的奇偶性求出对称区间上的解析式,其解题理论为函数奇偶性的定义.
正用定义可以判断函数的奇偶性,逆用可以求出函数在对称区间上的解析式.
2.结论:
(1)若f(x)是奇函数,且已知x>0时的解析式,则x<0时的解析式只需将原函数式y=f(x)中的x,y分别替换为-x,-y,然后解出y即可.
(2)若f(x)是偶函数,且已知x>0时的解析式,则x<0时的解析式只需将原函数式y=f(x)中的x替换为-x,y不变,即得x<0时的解析式.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测若本例题中题干不变,如何求当x≤0时,f(x)的表达式?
解:只需将f(0)单独求出.
因为f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,所以f(0)=0.
又因为f(x)=x|x+2|,x<0,
所以f(x)=x|x+2|,x≤0.延伸探究 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测奇、偶函数图像的应用
例3若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,若f(2)=0,则使f(x)<0的x的取值范围是( )
A.(-∞,2) B.(-2,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(2,+∞)
解析:由偶函数f(x)在(-∞,0]上为增函数,且f(2)=0,可
知函数f(x)在[0,+∞)上为减函数,且f(-2)=f(2)=0.
于是可得出如图的草图.
由图可知使f(x)<0的x的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞),故选C.
答案:C探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟函数奇、偶性的应用
1.研究函数图像时,要注意对函数性质的研究,这样可避免作图的盲目性和复杂性.
2.利用函数的奇偶性作图,其依据是奇函数图像关于原点对称,偶函数图像关于y轴对称.因此在研究这类函数的性质(或图像)时,可通过研究函数在y轴一侧的性质(或图像),便可推断出函数在整个定义域上的性质(或图像).探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2奇函数f(x)的定义域为[-5,5],它在y轴右侧的图像如图所示,则f(x)<0的x的取值集合为 .?解析:奇函数f(x)在[-5,5]上的图像如图所示,由图像可知,x∈(2,5)时,f(x)<0;x∈(0,2)时,f(x)>0.
因为其图像关于原点对称,所以x∈(-5,-2)时,f(x)>0;x∈(-2,0)时,f(x)<0,所以使f(x)<0的x的取值集合为{x|-2?
答案:{x|-2典例 设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数,若f(1-m)解:因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是减函数,所以f(x)在[-2,2]上是减函数.
方法点睛 利用函数奇偶性和单调性解不等式
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件,把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)A.f(x)=x2 B.f(x)=x
C.f(x)= D.f(x)=x2+x4
答案:AD探究一探究二探究三思维辨析当堂检测2.有下列说法:
①偶函数的图像一定与y轴相交;
②若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;
③既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R;
④若一个图形关于y轴成轴对称,则该图形一定是偶函数的图像.
其中不正确的是( )
A.①② B.①④ C.①②④ D.①②③④
解析:①中可举反例f(x)=x2+2,x∈(-∞,-2)∪(2,+∞);②中f(x)在x=0处可能无定义;③中也可以是f(x)=0,x∈A(A为关于原点对称的数集);④中该图形可能不是函数的图像.故①②③④均错误.
答案:D探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.若f(x)=x5+5x3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)= .?
解析:∵f(-2)=(-2)5+5(-2)3+b(-2)-8=10,
∴25+5×23+2b=-18.
∴f(2)=25+23×5+2b-8=-18-8=-26.
答案:-26探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4;当x∈(0,+∞)时,f(x)= .?
解析:方法一:由于是填空题,故可采用直接代换法,将x用-x代替,
即答案为-x-x4.
方法二:设x∈(0,+∞),则-x∈(-∞,0),
则f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4.
又y=f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x).
∴f(x)在区间(0,+∞)上的函数表达式为f(x)=-x-x4.
答案:-x-x4探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.函数f(x)(x∈R),若对任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),求证:f(x)为奇函数.
证明:令a=0,则f(b)=f(0)+f(b),∴f(0)=0.
又令a=-x,b=x,代入f(a+b)=f(a)+f(b),
得f(-x+x)=f(-x)+f(x).
即f(-x)+f(x)=0,∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)为奇函数.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测分析:先判断f(x)的奇偶性,再根据图像特征补全函数f(x)的图像;证明f(x)+g(x)=1的关键是先求出g(x)的解析式.(1)如图是f(x)在区间[0,+∞)内的图像,请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图像,请说明你的作图依据;
(2)求证:f(x)+g(x)=1(x≠0).探究一探究二探究三思维辨析当堂检测