3.2 函数与方程、不等式之间的关系
课后篇巩固提升
夯实基础
1.如图所示的四个函数图像,在区间(-∞,0)内,函数fi(x)(i=1,2,3,4)中有零点的是( )
A.f1(x) B.f2(x)
C.f3(x) D.f4(x)
解析由函数图像可知,f2(x)在(-∞,0)内与x轴有交点,故f2(x)在(-∞,0)内有零点.
答案B
2.(多选)函数f(x)=x3-2x2+3x-6的零点所在的区间可能是( )
A.0,52 B.52,4
C.1,74 D.74,52
解析由于f(0)<0,f(-2)<0,f(4)>0,
f(1)<0,f52>0,f74<0,
所以零点在区间74,52,0,52内.
答案AD
3.已知函数f(x)与g(x)满足的关系为f(x)-g(x)=-x-3,根据所给数表,判断f(x)的一个零点所在的区间为( )
x
-1
0
1
2
3
g(x)
0.37
1
2.72
7.39
20.39
A.[-1,0] B.[0,1]
C.[1,2] D.[2,3]
答案C
4.函数f(x)是[-1,1]上的增函数,且f-12·f12<0,则方程f(x)=0在区间[-1,1]上( )
A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根
C.有唯一的实数根 D.没有实数根
解析∵f(x)在[-1,1]上是增函数,
且f-12·f12<0,
∴f(x)=0在-12,12上有唯一实根,
∴f(x)=0在[-1,1]上有唯一实根.
答案C
5.若函数f(x)在定义域{x|x≠0}内是偶函数,且在(0,+∞)内是减函数,f(2)=0,则函数f(x)的零点有 ( )
A.一个 B.两个
C.至少两个 D.无法判断
解析∵函数f(x)在(0,+∞)内是减函数,f(2)=0,
∴f(x)在(0,+∞)内的图像与x轴只有一个交点,
又∵f(x)在定义域{x|x≠0}上是偶函数,
∴f(x)在(-∞,0)内的图像与x轴也只有一个交点,即f(-2)=0.故选B.
答案B
6.设a<-1,则关于x的不等式a(x-a)x-1a<0的解集为 .?
解析因为a<-1,
所以a(x-a)x-1a<0?(x-a)x-1a>0.
又a<-1,所以1a>a,
所以原不等式的解集是xx>1a或x
答案xx>1a或x7.当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是 .?
解析设f(x)=x2+mx+4,要使x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立.则有f(1)≤0,f(2)≤0,即1+m+4≤0,4+2m+4≤0,解得m≤-5.
答案(-∞,-5]
8.二次函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
f(x)
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6
则不等式ax2+bx+c>0的解集是 .?
解析由题表可知f(-2)=f(3)=0,且当x∈(-2,3)时,f(x)<0,所以当x∈(-∞,-2)∪(3,+∞)时,ax2+bx+c>0.
答案{x|x<-2或x>3}
9.若方程x2+(k-2)x+2k-1=0一根大于1,另一根小于1,求k的取值范围.
解设f(x)=x2+(k-2)x+2k-1.
∵f(x)=0的一根大于1,另一根小于1,且函数图像开口向上,
∴f(1)<0,即3k-2<0.∴k<23.
10.在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障,这是一条10 km长的线路,问如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多,每查一个点要爬一次电线杆,10 km长,大约有200多根电线杆.想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理?
解可以利用二分法的原理进行查找.
如图所示,他首先从中点C查,用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定故障在BC段,再到BC段中点D查,这次发现BD段正常,可见故障在CD段,再到CD中点E来查.
这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半,故经过7次查找,即可将故障发生的范围缩小到50 m~100 m之间,即一、二根电线杆附近.
能力提升
1.若函数f(x)的图像是连续不断的,且f(0)>0,f(1)f(2)f(4)<0,则下列命题正确的是( )
A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点
B.函数f(x)在区间(1,2)内有零点
C.函数f(x)在区间(0,2)内有零点
D.函数f(x)在区间(0,4)内有零点
解析∵f(1)f(2)f(4)<0,f(0)>0,
∴f(0)f(1)f(2)f(4)<0.
∴函数f(x)在区间(0,4)内有零点.
答案D
2.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,则a的取值范围是( )
A.a<-1 B.a>1
C.-1解析令f(x)=2ax2-x-1.当a=0时,不符合题意;当a≠0时,若Δ=0,即a=-18,此时x=-2,不符合题意;若Δ>0,即a>-18,则有f(0)·f(1)=-1×(2a-2)<0,所以a>1.
答案B
3.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图所示,则( )
A.a>0,b>0,c>0
B.a>0,b>0,c<0
C.a<0,b<0,c>0
D.a<0,b<0,c<0
解析图像经过(0,0),(-2,0),(1,0)三个点.由图像过原点(0,0),知d=0.
由图像过另外两点,可知f(x)=ax(x+2)(x-1),即f(x)=ax3+ax2-2ax.
又由图像,得f(2)=2a(2+2)×(2-1)>0,可得a>0.
又f(x)=ax3+bx2+cx+d,所以b=a>0,c=-2a<0.
综上可知a>0,b>0,c<0.
答案B
4.在R上定义运算☉:A☉B=A(1-B),若不等式(x-a)☉(x+a)<1对任意的实数x∈R恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.-1C.-12解析∵(x-a)☉(x+a)=(x-a)(1-x-a),∴不等式(x-a)☉(x+a)<1,即(x-a)(1-x-a)<1对任意实数x恒成立,即x2-x-a2+a+1>0对任意实数x恒成立,所以Δ=1-4(-a2+a+1)<0,解得-12答案C
5.(2019陕西西安高新一中模拟)函数f(x)=x2-1x+1的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析令f(x)=0得x2-1x+1=0,∴x2+1=1x,作出函数y=x2+1与y=1x的图像,由于两个函数的图像只有一个交点,所以零点个数为1.
答案B
6.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)上,则下一步可判定该根所在区间为 .?
解析令函数f(x)=x3-2x-1,则可得f(1)=13-2×1-1=-2<0,f(2)=23-2×2-1=3>0,又f32=323-2×32-1=-58<0,则下一步可判定该根所在区间为32,2.
答案32,2
7.定义在R上的偶函数y=f(x)在[0,+∞)内是减函数,函数f(x)的一个零点为12,求f(x2-x)<0的解集.
解∵f(x)是偶函数,
∴f(-x)=f(x)=f(|x|),又函数f(x)的一个零点为12,∴f12=0.
由f(x)在[0,+∞)内是减函数,得f(x2-x)=f(|x2-x|)<0=f12,可化为|x2-x|>12,解得x<1-32或x>1+32.
∴f(x2-x)<0的解集为xx<1-32或x>1+32.
8.已知关于x的函数y=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1恒有零点.
(1)求m的范围;
(2)若函数有两个不同零点,且其倒数之和为-4,求m的值.
解(1)当m+6=0,即m=-6时,
函数为y=-14x-5显然有零点,
当m+6≠0,即m≠-6时,
∵由Δ=4(m-1)2-4(m+6)(m+1)
=-36m-20≥0,得m≤-59.
∴当m≤-59,且m≠-6时,二次函数有零点.
综上,m≤-59.
(2)设x1,x2是函数的两个零点,则有
x1+x2=-2(m-1)m+6,x1x2=m+1m+6.
∵1x1+1x2=-4,即x1+x2x1x2=-4,
∴-2(m-1)m+1=-4,解得m=-3.
当m=-3时,m+6≠0,Δ>0符合题意,∴m的值为-3.
课件45张PPT。3.2 函数与方程、不等式之间的关系一二三四知识点一、函数的零点
1.思考
(1)二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根的条件是什么?
提示:当Δ≥0,即b2-4ac≥0时,二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根.
(2)一次函数y=kx+m(k≠0)的图像与x轴的交点坐标是什么?这个交点的坐标与方程kx+m=0的根有何关系?
提示:交点坐标为 ,其中交点的横坐标恰好为方程kx+m=0的根.一二三四2.填空
(1)定义:
一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的值等于零,即f(α)=0,则α叫做这个函数的零点.
(2)性质:
①当函数的图像通过零点且穿过x轴时,函数值变号.
②两个零点把x轴分为三个区间,在每个区间上所有函数值 保持同号.一二三四解析:由函数零点的定义,看是否存在实数x,使f(x)=0,若存在,则f(x)有零点,若不存在,则f(x)无零点.答案:D 一二三四知识点二、二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的联系
1.思考
(1)二次函数没有零点的等价说法是什么?
提示:二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),当Δ=b2-4ac<0时,函数y=f(x)没有零点,则函数y=f(x)的图像与x轴没有交点.
(2)二次函数的零点最多只有两个吗?所有的二次函数都有零点吗?
提示:二次函数的零点最多只有两个,因为二次函数对应的一元二次方程最多只有两个根.并不是所有的二次函数都有零点,这是因为不是所有的一元二次方程都有实数根,如函数y=x2+2x+2就没有零点.一二三四(3)如果一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R,你能得出什么结论?如果一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为?,结论又如何?一二三四2.填空
设f(x)=ax2+bx+c(a>0)一二三四3.做一做
(1)已知-1是函数f(x)= +b(a≠0)的一个零点,则函数g(x)=ax2-bx的零点是( )
A.-1,1 B.0,-1 C.1,0 D.2,1
A.{x|x<-4或x>3} B.{x|-4C.{x|x≤-4或x≥3} D.{x|-4≤x≤3}一二三四解析:(1)∵-1是f(x)= +b的一个零点,
∴b-a=0,即a=b.
∴g(x)=ax2-bx=ax2-ax.∴g(x)的零点为0和1.
(2)要使函数有意义,只需x2+x-12≥0.
方程x2+x-12=0的解为x1=-4,x2=3.函数y=x2+x-12的开口向上,且与x轴有两个交点(-4,0),(3,0).
故原不等式的解集为{x|x≤-4或x≥3}.
答案:(1)C (2)C一二三四知识点三、三、零点存在的判断方法及分类
1.思考
对于函数f(x),若满足f(a)·f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内一定有零点吗?若f(x)在区间(a,b)内有零点,则f(a)·f(b)<0一定成立吗?
提示:对于函数f(x),若满足f(a)·f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内不一定有零点,如图(1)所示;若函数f(x)在区间(a,b)内有零点,则不一定有f(a)·f(b)<0,如图(2)所示.一二三四2.填空
(1)函数零点存在定理:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的,并且f(a)·f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区间(a,b)中至少有一个零点,即?x0∈(a,b),f(x0)=0.
(2)分类:一二三四3.做一做
若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16),(0,8),(0,4),(0,2)上,则下列命题中正确的是( )
A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点
B.函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点
C.函数f(x)在区间[2,16)内无零点
D.函数f(x)在区间(1,16)内无零点
解析:由题中条件易知函数f(x)的零点必在(0,2)内.故选C.
答案:C一二三四知识点四、求函数零点的近似值的一种计算方法——二分法
1.填空:(1)二分法的定义:
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
(2)“二分法”求函数零点的一般步骤:
已知函数y=f(x)定义在区间D上,求它在D上的一个零点x0的近似值x,使它满足给定的精确度.用二分法求函数零点的一般步骤:
①在D内取一个闭区间[a0,b0]?D,使f(a0)与f(b0)异号,
即f(a0)·f(b0)<0,零点位于区间[a0,b0]中.一二三四计算f(x0)和f(a0),并判断:
如果f(x0)=0,则x0就是f(x)的零点,计算终止;
如果f(a0)·f(x0)<0,则零点位于区间[a0,x0]中,令a1=a0,b1=x0;
如果f(a0)·f(x0)>0,则零点位于区间[x0,b0]中,令a1=x0,b1=b0.计算f(x1)和f(a1),并判断:
如果f(x1)=0,则x1就是f(x)的零点,计算终止;
如果f(a1)·f(x1)<0,则零点位于区间[a1,x1]上,令a2=a1,b2=x1;
如果f(a1)·f(x1)>0,则零点位于区间[x1,b1]上,令a2=x1,b2=b1;
……
继续实施上述步骤,直到区间[an,bn],函数的零点总位于区间[an,bn]上,当区间的长度bn-an不大于给定的精确度时,这个区间[an,bn]中的任何一个数都可以作为函数y=f(x)的近似零点,计算终止.一二三四2.思考
用二分法能求函数f(x)=(x-3)2的零点的近似值吗?
提示:不能.二分法是用来解决在闭区间上连续,且两端点函数值异号的函数的零点近似值的方法.函数f(x)=(x-3)2虽是连续的,但在它的定义域上的任何一个闭区间[a,b]内,都不满足f(a)·f(b)<0,所以无法判定零点的大致区间,即不能用二分法求其零点近似值.探究一探究二探究三探究四探究五求函数的零点
例1 求下列函数的零点:
(1)f(x)=-x2-2x+3;
(2)f(x)=x4-1.
分析:解对应的方程的根,即为函数的零点.
解:(1)由于f(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1),
所以方程-x2-2x+3=0的两根是-3,1.
故函数的零点是-3,1.
(2)由于f(x)=x4-1=(x2+1)(x+1)(x-1),
所以方程x4-1=0的实数根是-1,1.
故函数的零点是-1,1.规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五反思感悟求函数零点的方法
1.函数零点的求法:解方程f(x)=0,所得实数解就是f(x)的零点.解三次以上的高次方程时,一般需要因式分解.
2.对于不能用求根公式的方程f(x)=0,可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来,图像与x轴交点的横坐标即为函数的零点.规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五变式训练1求f(x)=x3-4x的零点.
解:令f(x)=0,即x3-4x=0,所以x(x2-4)=0,即x(x+2)(x-2)=0,
解得x1=0,x2=-2,x3=2.
所以函数f(x)=x3-4x有3个零点,分别是-2,0,2.规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测函数法(图像法)解一元二次不等式
例2解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
(2)x2-4x+4>0;
(3)-x2+2x-3<0;
(4)-3x2+5x-2>0.
分析:根据一元二次不等式与对应二次方程和二次函数的关系及基本方法求解.探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测解:(1)∵Δ>0,方程2x2-3x-2=0的根是x1=- ,x2=2,∴不等式2x2-3x-2>0的解集为 .
(2)∵Δ=0,方程x2-4x+4=0的根是x1=x2=2,
∴不等式x2-4x+4>0的解集为{x|x≠2}.
(3)原不等式可化为x2-2x+3>0,
由于Δ<0,方程x2-2x+3=0无解,
∴不等式-x2+2x-3<0的解集为R.
(4)原不等式可化为3x2-5x+2<0,探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测反思感悟 函数法解一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正.
(2)判别式.对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式.
(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
(5)写解集.根据函数图像写出不等式的解集.探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测变式训练 2解下列不等式:
(1)2x2+7x+3>0;探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测判断函数的零点个数
例3 (1)函数f(x)=ax2+bx+c满足ac<0,则函数的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.不确定
(2)判断下列函数的零点个数:
①f(x)=x2-7x+12; ②f(x)=x2- .
(1)解析:二次函数f(x)=ax2+bx+c的零点即方程ax2+bx+c=0的根,因为Δ=b2-4ac>0(因ac<0),所以函数有2个零点.
答案:C探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测反思感悟函数零点的判断方法
1.对于函数零点的个数的判断通常的做法有:(1)直接求出零点;(2)结合函数图像分析;(3)对函数解析式确定的二次函数,用判别式Δ即可,若Δ表达式中含有字母,需对字母进行讨论.
2.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的零点个数?抛物线f(x)=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的个数?方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的个数.探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测零点性质的应用
例4当a取何值时,方程ax2-2x+1=0的一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内?
分析:对a分a=0,a>0,a<0三种情况讨论,并利用零点的特征性质来解决.
解:当a=0时,方程即为-2x+1=0,只有一根,
不符合题意.
当a>0时,设f(x)=ax2-2x+1,
∵方程ax2-2x+1=0的根,即函数f(x)的零点分别在区间(0,1),(1,2)内,探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测反思感悟解决根的分布问题的一般步骤
1.首先画出符合题意的草图,转化为函数问题.
2.结合草图考虑三个方面:(1)Δ与零的大小关系;(2)对称轴与所给端点值的关系;(3)端点的函数值与零的关系.
3.写出由题意得到的不等式(组).
4.由得到的不等式(组)去验证图像是否符合题意.探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测延伸探究求证:方程5x2-7x-1=0的根一个在区间(-1,0)内,另一个在区间(1,2)内.
分析:可由函数零点的性质证明5x2-7x-1=0的两根分别位于(-1,0)和(1,2)内,即证明在(-1,0)和(1,2)内分别有一个零点.
解:设f(x)=5x2-7x-1,
则f(-1)·f(0)=11×(-1)=-11<0,f(1)·f(2)=(-3)×5=-15<0.
又二次函数f(x)=5x2-7x-1的图像是连续的,故f(x)在(-1,0)和(1,2)内分别有零点,即方程5x2-7x-1=0的根一个在区间(-1,0)内,另一个在区间(1,2)内.探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测利用二分法求函数零点的近似值
例5 借助计算器,用二分法求函数f(x)=2x2-3x-1的一个正零点(精确到0.1).
分析:本题利用二分法求函数近似零点的方法及步骤即可完成.探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测反思感悟1.二分法求函数零点近似值的一般步骤2.二分法应用时的注意事项
(1)要选好计算的初始区间,这个区间既要包含函数的零点,又要使其长度尽量小.
(2)在求解过程中,可借助表格或数轴清楚地描写逐步缩小零点所在区间的长度.
(3)根据给定的精确度,及时检验所取区间长度是否达到要求,以及时终止计算.探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测答案:D 探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测二次函数的零点综合问题
典例 已知二次函数f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5.
(1)当函数f(x)有两个不同零点时,求k的取值范围;
(2)若-1和-3是函数的两个零点,求k的值;
(3)若函数的两个不同零点是α,β,求α2+β2关于k的关系式h(k).
思路点拨:本题考查对二次函数零点的理解及零点的性质.本题中的函数f(x)是二次函数,因此其零点的判断和零点的性质问题可以转化为二次方程根的判断或根的性质.探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测变式训练设函数f(x)=ax+2a+1(a≠0)在[-1,1]上存在一个零点,求实数a的取值范围.
解:∵一次函数f(x)在[-1,1]上存在零点,
∴f(-1)·f(1)≤0.
∴(-a+2a+1)(a+2a+1)≤0,
即(3a+1)(a+1)≤0.探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测1.(多选)下列函数图像与x轴均有交点,其中能用二分法求函数零点的图像是( )
答案:ACD探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测2.若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根1,2,则实数f(x)=cx2+bx+a的零点为( )解析:∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根1,2, 答案:C 探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测3.不等式6x2+x-2≤0的解集为 .?
解析:因为6x2+x-2≤0?(2x-1)(3x+2)≤0,所以原不等式的解集为4.下面是连续函数f(x)在[1,2]上一些点的函数值:由此可判断:方程f(x)=0的一个近似解为 .(精确到0.1)?
解析:由题中表格对应的数值可得,函数零点一定在区间[1.406 5,1.438]上,由精确度可知近似解可为1.4.
答案:1.4探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测5.(1)当m为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4.
①有且仅有一个零点?
②有两个不同零点且均比-1大?
(2)若函数F(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围.
解:(1)①若函数f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点,
则等价于Δ=4m2-4(3m+4)=0,
即4m2-12m-16=0,即m2-3m-4=0,
解得m=4或m=-1.探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测(2)若F(x)=|4x-x2|+a有4个零点,
即|4x-x2|+a=0有四个根,
即|4x-x2|=-a有四个根.
令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.
则作出g(x)的图像,如下图所示.
由图像可知要使|4x-x2|=-a有四个根,
则需g(x)的图像与h(x)的图像有四个交点,
所以0<-a<4,即-4