3.3 函数的应用(一)
3.4 数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点
课后篇巩固提升
/夯实基础
1.某种生物增长的数量y(个)与时间x(小时)的关系如下表:
x/个
1
2
3
…
y/小时
1
3
8
…
下面函数解析式中,能表达这种关系的是( )
A.y=x2-1 B.y=2x+1
C.y=2x-1 D.y=1.5x2-2.5x+2
答案D
2.商店某种货物的进价下降了8%,但销售价不变,于是这种货物的销售利润率
销售价-进价
进价
×100%
由原来的r%增加到(r+10)%,则r的值等于( )
A.12 B.15 C.25 D.50
解析设原销售价为a,原进价为x,可以列出方程组:
??-??
??
×100%=
??
100
,
??-??(1-8%)
??(1-8%)
×100%=
10+??
100
,
解这个方程组,消去a,x,可得r=15.
答案B
3.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,已知该商品每个涨价1元时,其销售量就会减少20个,为了获得最大的利润,其售价应定为( )
A.110元/个 B.105元/个 C.100元/个 D.95元/个
解析设每个商品涨价x元,利润为y元,
则销售量为(400-20x)个,
根据题意,有y=(10+x)(400-20x)
=-20x2+200x+4 000=-20(x-5)2+4 500.
所以当x=5时,y取得最大值,且为4 500,
即当每个涨价5元,也就是售价为95元/个时,可以获得最大利润为4 500元.
答案D
4.国家规定个人稿费纳税办法:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税;超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税,已知某人出版一本书,共纳税420元,则这个人应得稿费(扣税前)为( )
A.2 800元 B.3 000元
C.3 800元 D.3 818元
解析由题意,知纳税额y(单位:元)与稿费(扣税前)x(单位:元)之间的函数关系式为
y=
0,??≤800,
0.14(??-800),8000.112??,??>4 000.
由于此人纳税420元,
所以800
x>4 000时,令0.112x=420,解得x=3 750(舍去),故这个人应得稿费(扣税前)为3 800元.故选C.
答案C
5.在股票买卖过程中,经常用两种曲线来描述价格变化情况:一种是即时价格曲线y=f(x),另一种是平均价格曲线y=g(x),如,f(2)=3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元;g(2)=3表示2小时内的平均价格为3元.下面给出了四个图像,实线表示y=f(x),虚线表示y=g(x),其中可能正确的是( )
/
解析根据即时价格与平均价格的相互依赖关系,可知,当即时价格升高时,对应平均价格也升高;反之,当即时价格降低时,对应平均价格也降低,故选项C中的图像可能正确.
答案C
6.经市场调查,某商品的日销售量(单位:件)和价格(单位:元/件)均为时间t(单位:天)的函数.日销售量为f(t)=2t+100,价格为g(t)=t+4,则该种商品的日销售额S(单位:元)与时间t的函数解析式为S(t)= .?
解析日销售额=日销售量×价格,
故S=f(t)×g(t)=(2t+100)×(t+4)
=2t2+108t+400,t∈N.
答案2t2+108t+400,t∈N
7.某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游.甲旅行社说:“如果校长买全票一张,则其余学生可享受半价优惠.”乙旅行社说:“包括校长在内,全部按票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠.”若全票价为240元.
(1)设学生数为x人,甲旅行社收费为y甲元,乙旅行社收费为y乙元,分别写出两家旅行社的收费y甲,y乙与学生数x之间的解析式;
(2)当学生数是多少时,两家旅行社的收费一样?
(3)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠?
解(1)y甲=120x+240(x∈N+),
y乙=(x+1)×240×60%=144(x+1)(x∈N+).
(2)由120x+240=144x+144,解得x=4,即当学生数为4时,两家旅行社的收费一样.
(3)当x<4时,乙旅行社更优惠;当x>4时,甲旅行社更优惠.
/能力提升
1.
/
某游乐场每天的盈利额y(单位:元)与售出的门票数x(单位:张)之间的函数关系如图所示,试分析图像,要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元,那么每天至少应售出 张门票.?
解析由题图知,盈利额每天要超过1 000元时,x∈(200,300]这一区间,设y=kx+b(k≠0),将(200,500),(300,2 000)代入得
??=15,
??=-2 500,
即y=15x-2 500.由15x-2 500>1 000,得x>
700
3
,故至少要售出234张门票,才能使游乐场每天的盈利额超过1 000元.
答案234
2.
/
在某种金属材料的耐高温实验中,温度y随时间t的变化情况如图所示,给出下面四种说法:
①前5分钟温度增加的速度越来越快;
②前5分钟温度增加的速度越来越慢;
③5分钟以后的温度保持匀速增加;
④5分钟以后温度保持不变.
其中正确的说法是 .(只填序号)?
解析前5分钟温度增加的速度应越来越慢,因为此段内曲线越来越“缓”,故②正确;5分钟后,对应曲线是水平的,说明温度不变了,故④正确.
答案②④
3.某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元,但每生产100台,需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台.销售的收入函数为R(x)=5x-
??
2
2
(万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位:百台).
(1)把利润表示为年产量的函数;
(2)年产量是多少时,工厂所得利润最大?
(3)年产量是多少时,工厂才不亏本?
分析本题考查分段函数问题,生产不超过500台时,产量等于销售量;产量超过500台时,销售量为一个常数500台.
解(1)设利润为L(x),成本为C(x).当x≤5时,产品能全部售出;当x>5时,只能售出500台,故利润函数为L(x)=R(x)-C(x)
=
5??-
??
2
2
-(0.5+0.25??),0≤??≤5,
5×5-
5
2
2
-(0.5+0.25??),??>5,
=
4.75??-
??
2
2
-0.5,0≤??≤5,
12-0.25??,??>5.
(2)当0≤x≤5时,L(x)=4.75x-
??
2
2
-0.5,
当x=4.75时,L(x)max=10.781 25(万元);
当x>5时,L(x)<12-1.25=10.75(万元).
∴生产475台时利润最大.
(3)由
0≤??≤5,
4.75??-
??
2
2
-0.5≥0
或
??>5,
12-0.25??≥0,
得5≥x≥4.75-
21.562 5
≈0.11或5∴产品年产量在11台到4 800台时,工厂不亏本.
课件35张PPT。3.3 函数的应用(一) 3.4 数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点一二知识点一、函数模型
1.思考
(1)在函数建模中,怎样确立两个变量是哪种函数关系?
提示:通常需要先画出函数图像,根据图像来确定两个变量的关系,选择函数类型.
(2)函数模型在实际应用中,函数的自变量有什么特点?
提示:在实际应用中,函数的自变量x往往具有实际意义,如x表示长度时,x≥0;x表示件数时,x≥0,且x∈Z等.在解答时,必须要考虑这些实际意义.一二(3)已知某商场经营一批进价为12元/个的小商品,在4天的试销中,对此商品的销售单价x(元)与相应的日销售量y(个)进行了统计,其数据如下表:你能否找到一种函数,使它反映y关于x的函数关系?若能,写出函数解析式.一二提示:观察x,y的数据,可大体看到y与x是一次函数关系,
令y=kx+b(k≠0).
因为当x=16时,y=42,当x=20时,y=30,即y=-3x+90.
显然当x=24时,y=18;当x=28时,y=6.
对照数据,可以看出y=-3x+90即为所求的函数解析式.
考虑到x的实际意义及y的取整性,所以y=-3x+90,x∈{1,2,3,…,30}.一二2.填空
(1)一次函数模型
解析式:y=kx+b(k≠0).
(2)二次函数模型
①一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);
②顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中顶点坐标为(h,k).
(3)分段函数模型
有些实际问题,在事物的某个阶段对应的变化规律不尽相同,此时我们可以选择利用分段函数模型来刻画它,由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式,因此分段函数在研究条件变化的实际问题中,或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用.一二归纳提高1.在求其解析式时,应先确定分“段”,即函数分成几段,并抓住“分界点”,确保分界点“不重,不漏”.
2.在求函数值时,先确定自变量的值所属的区间,再代入;同样,已知函数值,求解自变量的值时,就是解方程的过程,即每段都令y取已知函数值,解出相应x的值,再判断是否属于所在区间.一二知识点二、解决数学应用题的一般步骤
1.思考对教材例3中的“客房问题”你有什么体会?在现实问题中,有没有与它类似的问题?如果有,请举例说明.
提示:“客房问题”反映的规律性在实际生活中有很多典例,实际归结到最后,“客房问题”是一个二次函数模型的具体应用,在现实生活中的“调价问题”与其类似,其模型为:
当某类商品在销售价格为b元时,可售出a件,现欲提价,若单价每提高m元,则销售量平均减少n件,求提高多少元时销售的总收入最高?
设将商品售价提高x个m元,
则总收入为y=(b+xm)·(a-xn)=-mnx2+(am-bn)x+ab.
它是一个自变量为自然数的二次函数,且其二次项系数小于零,根据二次函数的知识知它有最大值.一二2.做一做
某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元,卖出的价格是每份0.50元,卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社,在一个月(30天)里有20天每天可以卖出报纸400份,其余10天每天只能卖出250份.若每天从报社买进报纸的数量相同,则每天应该从报社买进多少份报纸,才能使每月所获得的利润最大?并计算该销售点一个月最多可赚多少元?
解:设每天应从报社买x份报纸,由题意知250≤x≤400,设每月赚y元,根据题意得y=0.5x·20+0.5×250×10+(x-250)×0.08×10-0.35x·30=0.3x+1 050,x∈[250,400].
因为y=0.3x+1 050是定义域上的增函数,所以当x=400时,ymax=120+1 050=1 170(元).
答:每天应该从报社买进400份报纸,才能使每月所获得的利润最大,每月最多可赚1 170元.探究一探究二探究三思维辨析一次函数模型的应用
例1 (1)某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y=6x+30 000.而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒( )
A.2 000套 B.3 000套
C.4 000套 D.5 000套
(2)商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法:
①买一个茶壶赠一个茶杯;
②按总价的92%付款.
某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x(个),付款y(元),分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠?当堂检测探究一探究二探究三思维辨析(1)解析:因利润z=12x-(6x+30 000),所以z=6x-30 000,由z≥0解得x≥5 000,故至少日生产文具盒5 000套.
答案:D
(2)解:由优惠办法①可得函数解析式为y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,且x∈N).
由优惠办法②可得y2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x≥4,且x∈N).
y1-y2=0.4x-13.6(x≥4,且x∈N),
令y1-y2=0,得x=34.
所以,当购买34个茶杯时,两种办法付款相同;
当4≤x<34时,y1当x>34时,y1>y2,优惠办法②更省钱.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.一次函数模型的实际应用:
一次函数模型应用时,本着“问什么,设什么,列什么”这一原则.
2.一次函数的最值求解:
一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0),解答时,注意系数a的正负,也可以结合函数图像或其单调性来求最值.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析变式训练1若一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图像表示为图中的( )
?
解析:蜡烛剩下的长度随时间增加而缩短,根据实际意义不可能是D,更不可能是A,C.故选B.
答案:B当堂检测探究一探究二探究三思维辨析二次函数模型的应用
例2 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;
(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?当堂检测探究一探究二探究三思维辨析分析:本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系,虽然x∈[50,55],x∈N,但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题;平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系,可看成是一个二次函数模型的应用题.
解:(1)根据题意,得y=90-3(x-50),
化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).
(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.
所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N).
(3)因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,
所以当x<60时,w随x的增大而增大.
又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1 125.
所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125元.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析反思感悟二次函数的实际应用
1.在根据实际问题建立函数解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值,从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图像来解答.
2.对于本题要清楚平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析变式训练2有A,B两城相距100 km,在A,B两城之间距A城x km的D地建一核电站给这两城供电.为保证城市安全,核电站与城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿度/月,B城供电量为10亿度/月.
(1)把月供电总费用y表示成x的函数,并求定义域;
(2)核电站建在距A城多远时,才能使供电费用最小?当堂检测探究一探究二探究三思维辨析分段函数模型的应用
例3 WAP手机上网每月使用量在500 min以下(包括500 min),按30元计费;超过500 min的部分按0.15元/min计费.假如上网时间过短(小于60 min)使用量在1 min以下不计费,在1 min以上(包括1 min)按0.5元/min计费.WAP手机上网不收通话费和漫游费.
(1)写出上网时间x min与所付费用y元之间的函数关系式.
(2)12月份小王WAP上网使用量为20 h,要付多少钱?
(3)小王10月份付了90元的WAP上网费,那么他上网的时间是多少?
分析:由于上网时间不同,收费标准不同,因此对所付费用作分段讨论,以确定付费标准,建立函数关系式,解决付费与上网时间的问题.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析解:(1)设上网时间为x min,由已知条件所付费用y关于x的函数关系式为(2)当x=20×60=1 200(min)时,x>500,应付y=30+0.15×(1 200-500)=135(元).
(3)90元已超过30元,所以上网时间超过500 min,由解析式可得上网时间为900 min.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析反思感悟分段函数的实际应用
1.在刻画实际问题中,变量之间的关系因自变量x取值范围的不同,对应的函数关系不能用同一个解析式表示时,常用分段函数建立函数模型解决问题.
2.分段函数是指自变量在不同的范围内有着不同对应法则的函数.求解分段函数的最值问题时应注意:分段函数的最大值是各段函数最大值中较大的一个,分段函数的最小值是各段函数最小值中较小的一个.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析延伸探究为支持福利事业,解决残疾人就业问题,银行决定给某福利企业免息贷款46.8万元,用于经营某种商品.已知该种商品的进价为每件40元,每月销售量q(单位:百件)与销售价p(单位:元/件)之间满足关系式: 该企业职工每人每月工资为1 200元,其他经营性费用为每月13 200元.
(1)如果暂时不考虑还贷的前提下,当销售价p为52元/件,每月刚好收支平衡,求该企业的职工人数;
(2)若该企业只有20名职工,在保证职工工资及其他经营性支出外,剩余的利润都用来偿还贷款,试问最早几年后还清贷款?当堂检测探究一探究二探究三思维辨析解:(1)设该企业职工人数为t,依题意当p=52时,q=36,则(52-40)×36×100=1 200t+13 200,∴t=25.
即该企业有25名职工.
(2)设每个月的利润为f(p),则f(p)=∵当p=55时,[(-2p+140)(p-40)]max=450,
当p=61时,[(-p+82)(p-40)]max=441,
∵450>441,
∴当p=55时,能更早还清贷款,
又(100×450-1 200×20-13 200)×12=93 600,∴当定价为55元时,最早5年后能还清贷款. 当堂检测探究一探究二探究三思维辨析因忽视实际问题中x的范围而致误
典例 如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(a>b),在AB,AD,CB,CD上分别截取AE=AH=CF=CG=x(x>0),设四边形EFGH的面积为y.
(1)写出四边形EFGH的面积y与x之间的函数关系式;
(2)求当x为何值时,y取得最大值,最大值是多少?当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你怎么防范?
提示:错解过程中一是没注意实际问题中x的取值范围,二是求函数最值时没有讨论对称轴与区间的关系,但从根本上错误的根源是第(1)问中没有明确定义域.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析防范措施1.对实际问题中的函数解析式一定要注意自变量x要受实际问题的约束,养成遇到实际问题“定义域优先”的习惯.
2.有时一个小细节的失误,会导致严重错误的产生.因此解决实际问题时,要充分考虑问题的背景、实际意义、隐含条件等.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析变式训练某企业实行裁员增效.已知现有员工a人,每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元,据评估,在生产条件不变的条件下,每裁员一人,则留岗人员每人每年可多创收0.01万元,但每年需付给每位下岗工人0.4万元生活费,并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的 ,设该企业裁员x人后年纯收益为y万元.
(1)写出y关于x的函数解析式,并指出x的取值范围;
(2)当140A.y=20-2x(x≤10) B.y=20-2x(x<10)
C.y=20-2x(5≤x≤10) D.y=20-2x(5答案:D探究一探究二探究三思维辨析当堂检测2.某生产厂家的生产总成本y(万元)与产量x(件)之间的关系式为y=x2-80x,若每件产品的售价为25万元,则该厂获得最大利润时,生产的产品件数为( )
A.52 B.52.5 C.53 D.52或53
解析:因为利润=收入-成本,当产量为x件时(x∈N),利润f(x)=25x-(x2-80x),所以x=52或x=53时,f(x)有最大值.
答案:D探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.某商店进货单价为45元,若按50元一个销售,能卖出50个;若销售单价每涨1元,其销售量就减少2个,为了获得最大利润,此商品的最佳售价应为每个 元.?
解析:设涨价x元,销售的利润为y元,
则y=(50+x-45)(50-2x)=-2x2+40x+250=-2(x-10)2+450,
所以当x=10,即销售价为60元时,y取得最大值.
答案:60探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.已知直角梯形ABCD,如图(1)所示,动点P从点B出发,由B→C→D→A沿边运动,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为f(x).如果函数y=f(x)的图像如图(2)所示,则△ABC的面积为 .?解析:由题中图像可知BC=4,CD=5,DA=5, 答案:16 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.南博汽车城销售某种型号的汽车,进货单价为每辆25万元,市场调研表明:当销售单价为每辆29万元时,平均每周能售出8辆,而当销售单价每降低0.5万元时,平均每周能多售出4辆.如果设每辆汽车降价x万元,每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润=销售单价-进货单价).
(1)求y与x之间的函数关系式,并在保证商家不亏本的前提下,写出x的取值范围;
(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元,试写出z与x之间的函数关系式;
(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时,平均每周的销售利润最大?最大利润是多少?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 解:(1)因为y=29-25-x,所以y=-x+4(0≤x≤4,x=0.5n,n∈N).(0≤x≤4,x=0.5n,n∈N).
(3)由(2)知,z=-8x2+24x+32=-8(x-1.5)2+50(0≤x≤4,x=0.5n,n∈N),故当x=1.5时,zmax=50.
所以当销售单价为每辆29-1.5=27.5(万元)时,每周的销售利润最大,最大利润为50万元.