课件19张PPT。章末整合题型一题型二题型三题型四题型五题型一、集合的基本概念
例1(1)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1 B.3 C.5 D.9
(2)已知集合A={0,m,m2-3m+2},且2∈A,则实数m为( )
A.2 B.3
C.0或3 D.0,2,3均可题型一题型二题型三题型四题型五解析:(1)逐个列举可得x=0,y=0,1,2时,x-y=0,-1,-2;
x=1,y=0,1,2时,x-y=1,0,-1;
x=2,y=0,1,2时,x-y=2,1,0.
根据集合中元素的互异性可知集合B中的元素为-2,-1,0,1,2,共5个.故选C.
(2)由2∈A可知:若m=2,则m2-3m+2=0,这与m2-3m+2≠0相矛盾;
若m2-3m+2=2,则m=0或m=3,当m=0时,与m≠0相矛盾,
当m=3时,此时集合A={0,3,2},符合题意.故选B.
答案:(1)C (2)B题型一题型二题型三题型四题型五方法技巧解决集合的概念问题应关注两点
(1)研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制条件,当集合用描述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么.如本例(1)中集合B中的元素为实数,而有的是数对(点集).
(2)对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合元素是否满足互异性.题型一题型二题型三题型四题型五变式训练 1下列命题正确的有( )
①很小的实数可以构成集合;
②集合{y|y=x2-1}与集合{(x,y)|y=x2-1}是同一个集合;
④集合{(x,y)|xy≤0,x,y∈R}是指第二和第四象限内的点集.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析:由题意得,①不满足集合的确定性,故错误;
②两个集合,一个是数集,一个是点集,故错误;
④不仅仅表示的是第二,四象限的点,还可表示坐标轴上的点,故错误.
故选A.
答案:A题型一题型二题型三题型四题型五题型二、集合间的基本关系
例2已知集合A={x|-2≤x≤5},若A?B,且B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数m的取值范围.
解得3≤m≤4,即m的取值范围是{m|3≤m≤4}.
方法技巧集合间的基本关系的关键点
(1)?:空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解.
(2)端点值:已知两集合间的关系求参数的取值范围时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的条件,常用数轴解决此类问题.题型一题型二题型三题型四题型五变式训练 2(1)把本例条件“A?B”改为“A=B”,求实数m的取值范围.
(2)把本例条件“A?B,B={x|m-6≤x≤2m-1}”改为“B?A,B={m+1≤x≤2m-1}”,求实数m的取值范围.题型一题型二题型三题型四题型五题型三、集合的基本运算
例3设U=R,A={x|1≤x≤3},B={x|2
(1)分别求A∩B,A∪(?UB).
(2)若B∩C=C,求a的取值范围.
解:(1)因为A={x|1≤x≤3},B={x|2所以?UB={x|x≤2或x≥4},
所以A∩B={x|2(2)因为B∩C=C,所以C?B,因为B={x|2若C=?,则a+1(1)看元素组成.集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.
(2)有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了,易于解决.
(3)注意数形结合思想的应用,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和维恩图.题型一题型二题型三题型四题型五变式训练 3已知集合A={x|4≤x<8},B={x|5a}.
(1)求A∪B,(?RA)∩B;
(2)若A∩C≠?,求a的取值范围.
解:(1)∵A={x|4≤x<8},B={x|5∴A∪B={x|4≤x<10}.
又?RA={x|x<4或x≥8},
∴(?RA)∩B={x|8≤x<10}.
(2)如图.
要使A∩C≠?,则a<8.题型一题型二题型三题型四题型五题型四、充分条件与必要条件的判定
例4指出下列各题中,p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答).
(1)在△ABC中,p:∠A>∠B,q:BC>AC;
(2)对于实数x,y,p:x+y≠8,q:x≠2或y≠6;
(3)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3;题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五方法技巧充分条件与必要条件的判断方法
(1)定义法
(2)等价法:将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题.题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五变式训练 4设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:令a=1,b=-1,满足a>b,但不满足a2>b2,即“a>b”不能推出“a2>b2”;
再令a=-1,b=0,满足a2>b2,但不满足a>b,即“a2>b2”不能推出“a>b”,
所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件.故选D.
答案:D题型一题型二题型三题型四题型五题型五、充要关系的应用
例5已知P={x|a-4解:因为“x∈P”是x∈Q的必要条件,所以Q?P.
解得-1≤a≤5,
即a的取值范围是[-1,5].题型一题型二题型三题型四题型五方法技巧利用充分条件、必要条件、充分必要条件的关系求参数范围
(1)化简p、q;
(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系;
(3)利用集合间的关系建立不等关系;
(4)求解参数范围.题型一题型二题型三题型四题型五变式训练 5若“x0”的充分不必要条件,则m的取值范围是 . ?
解析:由(x-1)(x-2)>0
可得x>2或x<1,
由已知条件,知{x|x2或x<1},
∴m≤1.
答案: (-∞,1]第一章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.(2018全国卷Ⅱ)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=( )
A.{3} B.{5}
C.{3,5} D.{1,2,3,4,5,7}
解析集合A、B的公共元素为3,5,故A∩B={3,5}.
答案C
2.(2018全国卷Ⅲ)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )
A.{0} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2}
解析由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2}.
答案C
3.(2018天津高考改编)设x∈R,则“x3>8”是“|x|>2”的0( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析由x3>8,所以x>2?|x|>2;当|x|>2时,则x>2或x<-2,不能得到x3>8,比如x=-3.所以“x3>8”是“|x|>2”的充分不必要条件.
答案A
4.(多选)M={1,2,m2-3m-1},N={-1,3},M∩N={3},则m的值为( )
A.4 B.-1 C.-4 D.1
解析由题意知,3∈M,∴m2-3m-1=3,解得m=-1或4.
经检验m=-1或4均满足M∩N={3},
∴m的值为4或-1.
答案AB
5.(多选)已知集合A={2,3},B={x|mx-6=0},若B?A,则实数m等于( )
A.3或2 B.1
C.0 D.-1
解析当m=0时,方程mx-6=0无解,B=?,满足B?A;当m≠0时,B=/
6
??
/,因为B?A,所以
6
??
=2或
6
??
=3,解得m=3或m=2.
答案AC
6.命题“?x∈R,?n∈N+,使得n≥x2”的否定形式是0( )
A.?x∈R,?n∈N+,使得nB.?x∈R,?n∈N+,使得nC.?x∈R,?n∈N+,使得nD.?x∈R,?n∈N+,使得n解析由含量词命题的否定格式,可知首先改写量词,
而n≥x2的否定为n故选D.
答案D
7.已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合?U(A∪B)=( )
A.{x|x≥0} B.{x|x≤1}
C.{x|0≤x≤1} D.{x|0解析∵U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},
∴A∪B={x|x≤0,或x≥1},
∴?U(A∪B)={x|0答案D
8.
/
已知M,N都是U的子集,则图中的阴影部分表示( )
A.M∪N
B.?U(M∪N)
C.(?UM)∩N
D.?U(M∩N)
解析图中的阴影部分为M∪N的补集.
答案B
9.满足M?{a1,a2,a3,a4},且M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合M的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析集合M必须含有元素a1,a2,并且不能含有元素a3,故M={a1,a2}或{a1,a2,a4}.
答案B
10.
/
设全集U是实数集R,M={x|x>2或x<-2},N={x|x≥3或x<1}都是U的子集,则图中阴影部分所表示的集合是( )
A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x≤2}
C.{x|1解析∵图中阴影部分表示:x∈N且x?M,∴x∈N∩?UM.∴?UM={x|-2≤x≤2},
∴N∩?UM={x|-2≤x<1}.故选A.
答案A
11.设集合A={x|a-1A.{a|0≤a≤6}
B.{a|a≤2,或a≥4}
C.{a|a≤0,或a≥6}
D.{a|2≤a≤4}
解析∵A={x|a-1又A∩B=?,
如图可知a+1≤1或a-1≥5.
/
故a≤0或a≥6.
答案C
12.下列选项中p是q的必要不充分条件的是( )
A.p:a+c>b+d,q:a>b且c>d
B.p:a>2,q:a>1
C.p:x=1,q:x2=x
D.p:a=1,q:(a-1)2=0
解析B选项中,由p可推出q,但是q推不出p成立,因而p为q的充分不必要条件.
C选项中,q为x=0或1,不能够推出p成立,因而p为q的充分不必要条件.
D选项中,p、q可以互推,因此p为q的充要条件.
答案A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,2,3},B={5,6,7},则?UA= ,(?UA)∩(?UB)= .?
解析?UA={4,5,6,7,8},(?UA)∩(?UB)={4,5,6,7,8}∩{1,2,3,4,8}={4,8}.
答案{4,5,6,7,8} {4,8}
14.设全集I={1,3,5,7,9},集合A={1,|a-5|,9},?IA={5,7},则a的值为 .?
解析∵?IA={5,7},∴A={1,3,9}.
∴|a-5|=3,解得a=2或8.
答案2或8
15.命题“?x∈R,x2-x+1=0”的否定是 .?
答案?x∈R,x2-x+1≠0
16.已知全集U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若?UA={1,2},则实数m= .?
解析∵?UA={1,2},∴A={0,3},
∴0,3是关于x的方程x2+mx=0的两个根,
∴m=-3.
答案-3
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
证明充分性:若a+b+c=0,所以b=-a-c,
所以ax2+bx+c=0化为ax2-(a+c)x+c=0,
所以(ax-c)(x-1)=0,所以当x=1时,ax2+bx+c=0,
所以方程ax2+bx+c=0有一个根为1.
必要性:若方程ax2+bx+c=0有一个根为1,
所以x=1满足方程ax2+bx+c=0,所以a+b+c=0.
综上可知,关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
18.(12分)已知集合A={x|2≤x<7},B={x|3(1)求A∪B,(?RA)∩B.
(2)若A∩C≠?,求a的取值范围.
解(1)因为A={x|2≤x<7},B={x|3所以A∪B={x|2≤x<10}.
因为A={x|2≤x<7},所以?RA={x|x<2或x≥7},
则(?RA)∩B={x|7≤x<10}.
(2)因为A={x|2≤x<7},C={x|x2,所以a的取值范围是{a|a>2}.
19.(12分)已知全集U={x|x<10,x∈N+},且(?UA)∩B={1,9},(?UA)∩(?UB)={6,8},A∩B={2,4},求集合A和B.
解依题意U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},作出维恩图,如图所示,易知A={2,3,4,5,7},B={1,2,4,9}.
/
20.(12分)已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|mx+1=0},且A∪B=A,求由实数m的值组成的集合.
解A={x|x2-5x+6=0}={2,3},A∪B=A,
∴B?A.
①当m=0时,B=?,B?A;
②当m≠0时,由mx+1=0,得x=-
1
??
.
∵B?A,∴-
1
??
∈A.
∴-
1
??
=2或-
1
??
=3,得m=-
1
2
或m=-
1
3
.
∴满足题意的m的集合为
0,-
1
2
,-
1
3
.
21.(12分)已知集合A={x|a0,B={x|2(1)若a=1,求A∩B.
(2)若“x∈?RA”是“x∈B”的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
解(1)由于a=1,A={x|1(2)因为A={x|a因为“x∈?RA”是“x∈B”的必要不充分条件,
所以B??RA,所以3≤a或3a≤2,
即02
3
或a≥3,
所以实数a的取值范围是/0,
2
3
/∪[3,+∞).
22.(12分)已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R}.
(1)若A是空集,求a的取值范围;
(2)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来;
(3)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.
解集合A是方程ax2-3x+2=0在实数范围内的解组成的集合.
(1)A是空集,即方程ax2-3x+2=0无解,得
??≠0,
??=(-3
)
2
-8??<0,
∴a>
9
8
,
即实数a的取值范围是
9
8
,+∞
.
(2)当a=0时,方程只有一解,方程的解为x=
2
3
;
当a≠0,且Δ=0,即a=
9
8
时,方程有两个相等的实数根,A中只有一个元素
4
3
,
∴当a=0或a=
9
8
时,A中只有一个元素,分别是
2
3
或
4
3
.
(3)A中至多有一个元素,包括A是空集和A中只有一个元素两种情况,根据(1),(2)的结果,得a=0或a≥
9
8
,即a的取值范围是
??
??=0,或??≥
9
8
.
