课件14张PPT。章末整合题型一题型二题型三题型四题型一、一元二次方程的解法
例1(1)用公式法解方程:5x2-4x-1=0;
(2)用配方法解方程:x2+7x-3=0.
解:(1)5x2-4x-1=0,a=5,b=-4,c=-1,
b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=16+20=36>0,题型一题型二题型三题型四方法技巧(1)找出a、b、c的值,求出b2-4ac的值,然后利用求根公式进行求解即可;
(2)先把常数项移到等式的右边,然后两边同时加上一次项系数一半的平方,左侧配成完全平方式后,再利用直接开平方法求解即可.题型一题型二题型三题型四变式训练 1用适当的方法解下列方程:
(1)4(3x-5)2=(x-4)2;(2)y2-2y-8=0;(3)x(x-3)=4(x-1).
解:(1)移项,得4(3x-5)2-(x-4)2=0,
分解因式,得[2(3x-5)+(x-4)][2(3x-5)-(x-4)]=0,
化简,得(7x-14)(5x-6)=0,所以7x-14=0或5x-6=0,x1=2,x2=1.2.
(2)移项,得y2-2y=8,
方程两边都加上1,得y2-2y+1=8+1,
所以(y-1)2=9,所以y-1=±3,y1=4,y2=-2.
(3)将方程化为x2-7x+4=0,
∵a=1,b=-7,c=4,∴b2-4ac=33.题型一题型二题型三题型四题型二、利用基本不等式求最值
例2已知x>0,y>0,且2x+y=1,则xy的最大值是( )
答案:C
方法技巧运用基本不等式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用.当应用不等式的条件不满足时,要注意运用“添、拆项”等技巧进行适当的变形,使之满足使用不等式的条件,解题时要特别注意等号成立的条件.题型一题型二题型三题型四答案:C 题型一题型二题型三题型四题型三、不等式恒成立与不等式有解问题
例3已知f(x)=-2x2+bx+c,不等式f(x)>0的解集是(-1,3),若对于任意x∈[-1,0],不等式f(x)+t≤4恒成立,则t的取值范围是( )
A.(-∞,2] B.(-∞,-2] C.(-∞,-4] D.(-∞,4]
答案:B题型一题型二题型三题型四方法技巧不等式在某区间上恒成立与不等式在某区间上有解(解集非空)问题是既有联系又有区别的两种情况,解题时应特别注意,两者都可转化为最值问题.题型一题型二题型三题型四变式训练 3若不等式x2+x+m2<0的解集不是空集,则实数m的取值范围为( )
解析:∵不等式x2+x+m2<0的解集不是空集,∴Δ>0,即1-4m2>0,
答案:B题型一题型二题型三题型四题型四、解含有参数的一元二次不等式
例4已知不等式ax2-3x+2<0的解集为{x|1
(1)求实数a,b的值;
(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc≥0(c∈R).题型一题型二题型三题型四(2)不等式ax2-(ac+b)x+bc≥0,即x2-(c+2)x+2c≥0,所以(x-2)(x-c)≥0,
若c<2,不等式的解集为(-∞,c]∪[2,+∞),
若c=2,不等式的解集为R,
若c>2,不等式的解集为(-∞,2]∪[c,+∞),
综上所述,若c<2,原不等式的解集为(-∞,c]∪[2,+∞);
若c=2,原不等式的解集为R;
若c>2,原不等式的解集为(-∞,2]∪[c,+∞).题型一题型二题型三题型四方法技巧在解答含参的一元二次型的不等式时,为了做到分类不重不漏,常从以下三个方面考虑: 一是二次项系数分为正数,0与负数;二是关于不等式对应的方程的根的存在性的讨论,从判别式大于0,等于0,小于0进行分类;三是关于不等式对应的方程的根的大小的讨论,两根之间的大小进行讨论.题型一题型二题型三题型四变式训练 4解关于x的不等式ax2-x>0.
解:根据题意,分3种情况讨论:
①当a=0时,不等式即-x>0,即x<0.此时不等式的解集为(-∞,0);第二章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知集合A={x|x2<1},B={x|x>0},则A∩B=( )
A.(0,1) B.(-1,+∞)
C.(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,+∞)
解析∵A={x|x2<1}={x|-10},∴A∩B={x|0答案A
2.如果aA.b2>ab B.ab>a2
C.a2>b2 D.|a|<|b|
解析令a=-2,b=-1.对于A选项(-1)2<(-2)·(-1),所以A选项错误.对于B选项,(-2)(-1)<(-2)2,故B选项错误.对于D选项,|-2|>|-1|,故D选项错误.综上所述,本小题选C.
答案C
3.若关于x的方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A.k>-1 B.k<-1
C.k≥-1且k≠0 D.k>-1且k≠0
解析∵x的方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根,∴k≠0且Δ=4-4k×(-1)>0,解得k>-1,∴k的取值范围为k>-1且k≠0.故选D.
答案D
4.若不等式组x+13<x2-1,x<4m无解,则m的取值范围为 ( )
A.m≤2 B.m<2
C.m≥2 D.m>2
解析解不等式x+13<x2-1,得x>8,∵不等式组无解,∴4m≤8,解得m≤2,故选A.
答案A
5.若关于x的不等式x2+mx<0的解集为{x|0A.-2 B.-1 C.0 D.2
解析因为不等式x2+mx<0的解集为{x|0答案A
6.已知实数a>0,b>0,且2a+b=2ab,则a+2b的最小值为( )
A.52+2 B.92
C.52 D.42
解析∵a>0,b>0,且2a+b=2ab,∴a=b2(b-1)>0,解得b>1.则a+2b=b2(b-1)+2b=12+12(b-1)+2b=52+12(b-1)+2(b-1)≥52+212(b-1)·2(b-1)=92,当且仅当b=32,a=32时取等号,其最小值为92.故选B.
答案B
7.若x>0,则函数y=x+4x( )
A.有最大值-4 B.有最小值4
C.有最大值-2 D.有最小值2
解析∵x>0,由基本不等式可得x+4x≥2x×4x=4,当且仅当x=4x即x=2时取等号,∴x=2时,函数y=x+4x有最小值4.故选B.
答案B
8.若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为x-53A.-2 B.2 C.-3 D.3
解析不等式|ax-2|<3可化为-1当a=0时,-1当a>0时,则不等式的解为-1a0,无解;
当a<0时,则不等式的解为5a综上,a=-3,故选C.
答案C
9.近年来高台县加大了对教育经费的投入,2014年投入2 500万元,2016年将投入3 600万元,设该县投入教育经费的年平均增长率为x,根据题意列方程,则下列方程正确的是( )
A.2 500x2=3 600
B.2 500(1+x)2=3 600
C.2 500(1+x%)2=3 600
D.2 500(1+x)+2 500(1+x)2=3 600
解析设该县投入教育经费的年平均增长率为x,根据题意,可列方程:2 500(1+x)2=3 600.故选B.
答案B
10.若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-12ax的解集为( )
A.{x|-21}
C.{x|x<0或x>3} D.{x|0解析因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-12ax整理得a(x2-3x)>0,因为a<0,所以x2-3x<0,所以0答案D
11.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边长求三角形面积的公式:设三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦—秦九韶公式,现有一个三角形的边长满足a=6,b+c=8,则此三角形面积的最大值为( )
A.37 B.8 C.47 D.93
解析由题意p=7,S=7(7-a)(7-b)(7-c)=7(7-b)(7-c)≤7×7-b+7-c2=37,当且仅当7-b=7-c,即b=c=4时,等号成立,∴此三角形面积的最大值为37,故选A.
答案A
12.设a>0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是( )
A.(a+b)1a+1b≥4
B.a3+b3≥2ab2
C.a2+b2+2≥2a+2b
D.|a-b|≥a?b
解析∵a>0,b>0,∴(a+b)1a+1b≥2ab·21a·1b=4,故A恒成立;
∵a3+b3-2ab2=a3-ab2+b3-ab2=(a-b)(a2+ab-b2),无法确定正负,故B不恒成立;
a2+b2+2-(2a+2b)=(a-1)2+(b-1)2≥0,故C恒成立;
若a答案B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.关于x的一元二次不等式x2-x-2<0的解集是 .?
解析结合二次函数的图像的性质,一元二次不等式x2-x-2<0,等价于(x-2)(x+1)<0?-1答案(-1,2)
14.若关于x的不等式x+4x-a≥5在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为 .?
解析关于x的不等式x+4x-a≥5在x∈(a,+∞)上恒成立,即为x-a+4x-a≥5-a在x∈(a,+∞)上恒成立,由x>a,可得x-a>0,则x-a+4x-a≥2(x-a)·4x-a=4,当且仅当x-a=2即x=a+2时,x-a+4x-a取得最小值4,则5-a≤4,可得a≥1,可得a的最小值为1.
答案1
15.若正实数a、b、c满足ab=a+2b,abc=a+2b+c,则c的最大值为 .?
解析由abc=a+2b+c,ab=a+2b,
解得c=a+2bab-1=a+2ba+2b-1=1+1a+2b-1,
∵ab=a+2b,∴1b+2a=1,
a+2b=(a+2b)1b+2a=4+ab+4ba
≥4+2ab·4ba=4+4=8,∴c≤87.
答案87
16.已知a,b,c,d均为实数,有下列命题:①若ab>0,bc-ad>0,则ca?db>0;②若ab>0,ca?db>0,则bc-ad>0;③若bc-ad>0,ca?db>0,则ab>0.其中正确的命题是 .?
解析对于①,若ab>0,bc-ad>0,不等式两边同时除以ab得ca?db>0,所以①正确;对于②,若ab>0,ca?db>0,不等式两边同时乘以ab得bc-ad>0,所以②正确;对于③,若ca?db>0,当两边同时乘以ab时可得bc-ad>0,所以ab>0,所以③正确.综上,正确的命题是①②③.
答案①②③
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)解下列不等式:
(1)x2-4x+3≤0;(2)x+22x-3≥0.
解(1)x2-4x+3≤0,即(x-3)(x-1)≤0,解得1≤x≤3,
所以不等式的解集为{x|1≤x≤3}.
(2)x+22x-3≥0等价于(x+2)(2x-3)≥0,2x-3≠0,解得x≤-2或x>32,
所以不等式的解集为x|x≤-2或x>32.
18.(12分)关于x的方程kx2+(k+1)x+14k=0有两个不等实根.
(1)求k的取值范围;
(2)是否存在实数k,使方程的两实根的倒数和为0?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
解(1)Δ=(k+1)2-4k·14k=k2+2k+1-k2=2k+1>0,∴k>-12,∵k≠0,故k>-12且k≠0;
(2)设方程的两根分别是x1和x2,则x1+x2=-k+1k,x1·x2=14,1x1+1x2=x1+x2x1x2=-4(k+1)k=0,
∴k+1=0,即k=-1,
∵k>-12,∴k=-1(舍去).
所以不存在.
19.(12分)已知x,y∈R,求证:x2+2y2≥2xy+2y-1.
证明由题意x2+2y2-(2xy+2y-1)=x2-2xy+y2+y2-2y+1=(x-y)2+(y-1)2≥0,∴x2+2y2≥2xy+2y-1成立.
20.(12分)已知正实数a,b满足a+b=4,求1a+1+1b+3的最小值.
解∵a+b=4,∴a+1+b+3=8,
∴1a+1+1b+3
=18[(a+1)+(b+3)]1a+1+1b+3
=182+b+3a+1+a+1b+3≥18(2+2)=12,
当且仅当a+1=b+3,即a=3,b=1时取等号,
∴1a+1+1b+3的最小值为12.
21.(12分)国家为了加强对烟酒生产的管理,实行征收附加税政策.现在某种酒每瓶70元,不征收附加税时,每年大约产销100万瓶;若政府征收附加税,每销售100元征收R元(叫做税率为R%),则每年产销量将减少10R万瓶.要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元,R应怎样确定?
解设产销量为每年x万瓶,则销售收入为每年70x万元,从中征收附加税为70x·R%万元,并且x=100-10R,由题意,得70(100-10R)·R%≥112,即R2-10R+16≤0,解得2≤R≤8,∴税率定在2%~8%(包括2%和8%)时,可使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元.
22.(12分)设实数x,y满足2x+y=1.
(1)若|2y-1|-2|x|<3,求x的取值范围;
(2)若x>0,y>0,求证:1x+2y?2xy≥152.
解(1)由2x+y=1,得y=1-2x,所以不等式|2y-1|-2|x|<3,即为|4x-1|-2|x|<3,
所以有x<0,1-4x+2x<3,或0≤x≤14,1-4x-2x<3,或x>14,4x-1-2x<3,
解得-1所以x的取值范围为(-1,2).
(2)∵x>0,y>0,2x+y=1,
所以1x+2y=1x+2y(2x+y)=4+yx+4xy≥4+4=8,
当且仅当yx=4xy,即2x=y=12时取等号.
又-2xy≥-2x+y2=-12,当且仅当2x=y=12时取等号,
所以1x+2y?2xy≥152,当且仅当2x=y=12时取等号.
