习题课——函数单调性与奇偶性的综合应用
课后篇巩固提升
/夯实基础
1.若f(x)满足f(-x)=f(x),且在(-∞,-1]上是增函数,则( )
A.f
-
3
2
B.f(-1)-
3
2
C.f(2)-
3
2
D.f(2)-
3
2
解析∵f(-x)=f(x),
∴f(2)=f(-2).
∵-2<-
3
2
<-1,
又∵f(x)在(-∞,-1]上是增函数,
∴f(-2)-
3
2
答案D
2.若f(x)是偶函数,其定义域为(-∞,+∞),且在[0,+∞)内是减函数,则f
-
3
2
与f
??
2
+2??+
5
2
的大小关系可以是( )
A.f
-
3
2
>f
??
2
+2??+
5
2
B.f
-
3
2
??
2
+2??+
5
2
C.f
-
3
2
≥f
??
2
+2??+
5
2
D.f
-
3
2
≤f
??
2
+2??+
5
2
解析因为a2+2a+
5
2
=(a+1)2+
3
2
≥
3
2
,f(x)为偶函数,且在[0,+∞)内是减函数,
所以f
-
3
2
=f
3
2
≥f
??
2
+2??+
5
2
.
答案C
3.若函数f(x)=kx2+(k-1)x+2是偶函数,则f(x)的递减区间是( )
A.(-∞,0] B.(-∞,-1)
C.[0,+∞) D.(1,+∞)
解析∵函数f(x)=kx2+(k-1)x+2为偶函数,
∴f(-x)=f(x),
即f(-x)=kx2-(k-1)x+2=kx2+(k-1)x+2,
∴-(k-1)=k-1,即k-1=0,解得k=1.
此时f(x)=x2+2,对称轴为x=0,
∴f(x)的递减区间是(-∞,0].
答案A
4.(多选)已知定义域为R的函数f(x)在(8,+∞)内为减函数,且函数y=f(x+8)为偶函数,则( )
A.f(6)>f(5) B.f(6)=f(10)
C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10)
解析∵y=f(x+8)为偶函数,∴f(x+8)=f(-x+8),即y=f(x)关于直线x=8对称.
又f(x)在(8,+∞)内为减函数,
∴在(-∞,8)上为增函数,由函数f(x)的大致图像可知选项A、B、D正确.
答案ABD
5.(2019浙江东阳中学期中)已知定义在R上的偶函数y=f(x)+x,满足f(1)=3,则f(-1)=( )
A.6 B.5 C.4 D.3
解析∵y=f(x)+x是定义在R上的偶函数,且f(1)=3,∴f(-1)-1=f(1)+1,即f(-1)-1=3+1,∴f(-1)=5.
答案B
6.函数f(x)在R上为奇函数,且x>0时,f(x)=
??
+1,则当x<0时,f(x)= ,在R上f(x)= .?
解析∵f(x)为奇函数,x>0时,f(x)=
??
+1,
∴当x<0时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-(
-??
+1),
即x<0时,f(x)=-(
-??
+1)=-
-??
-1;
∴f(x)=
-
-??
-1,??<0,
0,??=0,
??
+1,??>0.
答案-
-??
-1
-
-??
-1,??<0,
0,??=0,
??
+1,??>0
7.函数y=f(x)是定义在(-1,1)内的减函数,其图像关于原点对称,且f(1-a)+f(1-2a)<0,求实数a的取值范围.
解∵函数y=f(x)定义域为(-1,1),且其图像关于原点对称,∴函数f(x)是奇函数.
∵f(1-a)+f(1-2a)<0,
∴f(1-a)<-f(1-2a)=f(2a-1).
又y=f(x)是定义在(-1,1)内的减函数,
∴1>1-a>2a-1>-1,解得02
3
.
∴a的取值范围是
0,
2
3
.
/能力提升
1.若f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且f(x)-g(x)=x2+3x+2,则f(x)+g(x)= .?
解析∵f(x)-g(x)=x2+3x+2,
∴f(-x)-g(-x)=x2-3x+2,
又f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,
∴-f(x)-g(x)=x2-3x+2,
∴f(x)+g(x)=-x2+3x-2.
答案-x2+3x-2
2.已知y=f(x)+2x2为奇函数,且g(x)=f(x)+1.若f(2)=2,则g(-2)=/.
解析∵y=f(x)+2x2为奇函数,且f(2)=2,
所以f(2)+2×22+f(-2)+2×(-2)2=0,
解得f(-2)=-18.
∵g(x)=f(x)+1,
∴g(-2)=f(-2)+1=-18+1=-17.
答案-17
3.已知奇函数f(x)=
-
??
2
+2??(??>0),
0(??=0),
??
2
+????(??<0).
(1)画出y=f(x)的图像,并求实数m的值;
(2)若函数f(x)在区间[2a+1,a+1]上单调递增,试确定a的取值范围.
解(1)当x<0时,-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.
又f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-x2-2x,
∴f(x)=x2+2x,∴m=2.
y=f(x)的图像如下所示.
/
(2)由(1)知f(x)=
-
??
2
+2??(??>0),
0(??=0),
??
2
+2??(??<0),
由图像可知,f(x)在[-1,1]上单调递增,要使f(x)在[2a+1,a+1]上单调递增,只需
??+1>2??+1,
??+1≤1,
2??+1≥-1,
解得-1≤a<0,即a的取值范围是[-1,0).
课件19张PPT。习题课——函数单调性与奇偶性的综合应用
知识点、函数的单调性与奇偶性
1.填空.
(1)函数的奇偶性是函数定义域上的概念,而函数的单调性是区间上的概念,因此在判定函数的单调性的时候,一定要指出函数的单调区间.
(2)在定义域关于原点对称的前提下,f(x)=x2n-1(n∈Z)型函数都是奇函数;f(x)=x2n(n∈Z)型函数及常数函数都是偶函数.
(3)设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,则它们在公共定义域上,满足奇+奇=奇,偶+偶=偶,奇×奇=偶,奇×偶=奇,偶×偶=偶.(4)若f(x)为奇函数,且在区间[a,b](a(5)若f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0;若f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x)=f(|x|).2.做一做
(1)若函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函数,则f(x)( )
A.在[1,7]上是增函数
B.在[-7,2]上是增函数
C.在[-5,-3]上是增函数
D.在[-3,3]上是增函数
(2)若奇函数f(x)满足f(3)A.f(-1)f(1)
C.f(-2)(3)定义在R上的偶函数f(x),对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),都有
<0,则f(3),f(-2),f(1)按从小到大的顺序排列为 .?解析:(1)因为函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函数,所以m=1.
所以f(x)=-x2+2,结合函数f(x)可知选C.
(2)因为f(x)是奇函数,
所以f(3)=-f(-3),f(1)=-f(-1).
又f(3)所以f(-3)>f(-1).
(3)由已知条件可知f(x)在[0,+∞)内单调递减,
∴f(3)再由偶函数性质得f(3)答案:(1)C (2)A (3)f(3)例1 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,求:
(1)f(0);
(2)当x<0时,f(x)的解析式;
(3)f(x)在R上的解析式.
分析:(1)利用奇函数的定义求f(0);探究一探究二思想方法解:(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-0)=-f(0),
即f(0)=0.
(2)当x<0时,-x>0,f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于f(x)是奇函数,故f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1,x<0.
(3)函数f(x)在R上的解析式为反思感悟利用函数奇偶性求解析式的注意事项
1.在哪个区间求解析式,就把“x”设在哪个区间;
2.利用已知区间的解析式进行代入;
3.利用f(x)的奇偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x),从而解出f(x);
4.定义域为R的奇函数满足f(0)=0.探究一探究二思想方法变式训练1本例中若把“奇函数”换成“偶函数”,求x<0时f(x)的解析式.
解:设x<0,则-x>0,
∴f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1
=-2x2-3x+1.
∵f(x)是偶函数,
∴f(-x)=f(x).
∴f(x)=-2x2-3x+1,x<0.探究一探究二思想方法应用函数的单调性与奇偶性判定函数值的大小
例2设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是( )
A.f(π)>f(-3)>f(-2)
B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)D.f(π)解析:∵f(x)在R上是偶函数,
∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).
而2<3<π,且f(x)在[0,+∞)内为增函数,
∴f(2)∴f(-2)答案:A探究一探究二思想方法反思感悟利用函数性质比较大小的常用方法
在应用函数的单调性与奇偶性判定函数值的大小时,先利用函数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上,再根据函数的单调性对函数值的大小作出比较.探究一探究二思想方法变式训练2若将本例中的“增函数”改为“减函数”,其他条件不变,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系如何?
解:因为当x∈[0,+∞)时,f(x)是减函数,所以有f(2)>f(3)>f(π).
又f(x)是R上的偶函数,故f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),
从而有f(-2)>f(-3)>f(π).探究一探究二思想方法化归思想在解抽象不等式中的应用
典例 已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件:①f(x)为奇函数;②f(x)在定义域上单调递减;③f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围.
思路点拨:要由不等式f(1-a)+f(1-a2)<0求实数a的取值范围,应利用函数f(x)的奇偶性与单调性去掉“f”,建立关于a的不等式组求解.
解:∵f(x)是奇函数,
∴f(1-a2)=-f(a2-1).
∴f(1-a)+f(1-a2)<0?f(1-a)<-f(1-a2)?f(1-a)∵f(x)在定义域(-1,1)内是单调递减的,∴a的取值范围为(0,1). 探究一探究二思想方法方法点睛1.本题的解答充分体现了化归思想的作用,将抽象不等式借助函数的性质转化成为具体不等式,问题从而解决.
2.当然本题中还要注意以下化归与计算等细节易错问题:
(1)由函数f(x)为奇函数,将不等式f(1-a)+f(1-a2)<0等价变形时出错;
(2)利用函数f(x)单调递减去掉“f”,建立关于a的不等式组时,因忽略函数f(x)的定义域出错;
(3)解错不等式(组)或表示a的取值范围出错.探究一探究二思想方法变式训练设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间(-∞,0)内是减函数,实数a满足不等式f(3a2+a-3)解:∵f(x)在区间(-∞,0)内是减函数,
∴f(x)的图像在y轴左侧递减.
又∵f(x)是奇函数,
∴f(x)的图像关于原点中心对称,则在y轴右侧同样递减.
又f(-0)=-f(0),解得f(0)=0,
∴f(x)的图像在R上递减.
∵f(3a2+a-3)∴3a2+a-3>3a2-2a,解得a>1,
即实数a的取值范围为(1,+∞).1.设f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且f(4)>f(1),则下列各式一定成立的是( )
A.f(0)f(3)
C.f(2)>f(0) D.f(-1)解析:∵f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,
∴f(-1)=f(1).
又f(4)>f(1),
∴f(4)>f(-1).
答案:D2.已知x>0时,f(x)=x-2 019,且知f(x)在定义域R上是奇函数,则当x<0时,f(x)的解析式是( )
A.f(x)=x+2 019
B.f(x)=-x+2 019
C.f(x)=-x-2 019
D.f(x)=x-2 019
解析:设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-x-2 019.
又因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x+2 019.故选A.
答案:A3.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,那么f(2)= .
解析:∵f(-2)=(-2)5+a·(-2)3+b·(-2)-8=10,
∴25+a·23+2b=-18.
∴f(2)=25+a·23+2b-8=-26.
答案:-265.已知奇函数f(x)在R上是减函数,且f(3a-10)+f(4-2a)<0,求a的取值范围.
解:∵f(3a-10)+f(4-2a)<0,
∴f(3a-10)<-f(4-2a).
∵f(x)为奇函数,
∴-f(4-2a)=f(2a-4).
∴f(3a-10)又f(x)在R上是减函数,∴3a-10>2a-4.
∴a>6,即a的取值范围为(6,+∞).课件13张PPT。章末整合题型一题型二题型三题型一、分段函数的应用
(1)求实数m的值;
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.
解:(1)设x<0,则-x>0,
∴f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.
又f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).
∴当x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,∴m=2.
(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合f(x)的图像(图像略)知题型一题型二题型三方法技巧已知函数的奇偶性求参数值,可利用定义或特殊值来求解,本题也可用f(-1)=-f(1)求出m的值,再检验即可.另外,分段函数的各段的单调性可分别判断,但对于跨段的单调性问题要注意在分段端点处的衔接.题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型二、函数单调性、奇偶性的综合应用
例2已知函数f(x)=ax+ (x≠0,常数a∈R).
(1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若函数f(x)在x∈[3,+∞)上为增函数,求a的取值范围.题型一题型二题型三方法技巧(1)函数奇偶性的判断要严格按定义来处理,一般情况下,含参数的要注意对参数进行分类讨论.(2)本题中利用单调性定义确定参数a的范围时,用到了 的确定,用到了x1、x2临界取值,即都取最小值时所求得的结果.题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型三、二次函数的最值(值域)
例3已知函数f(x)=x2+2ax+2.
(1)当a=-1时,求函数f(x)在区间[-5,5]上的最大值和最小值;
(2)用a表示出函数f(x)在区间[-5,5]上的最值.
分析:将原函数先配方,对于第(2)问还要结合图像进行分类讨论.题型一题型二题型三解:(1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
因为1∈[-5,5],故当x=1时,f(x)取得最小值,f(x)min=f(1)=1;
当x=-5时,f(x)取得最大值,f(x)max=f(-5)=(-5-1)2+1=37.
(2)函数f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2-a2的图像开口向上,对称轴为x=-a.
当-a≤-5,即a≥5时,函数在区间[-5,5]上是增函数,所以f(x)max=f(5)=27+10a,f(x)min=f(-5)=27-10a;
当-5<-a≤0,即0≤a<5时,函数图像如图①所示,由图像可得f(x)min=f(-a)=2-a2,f(x)max=f(5)=27+10a;
当0<-a<5,即-5综上可得,当a≥5时,f(x)在区间[-5,5]上的最大值为27+10a,最小值为27-10a;
当0≤a<5时,f(x)在区间[-5,5]上的最大值为27+10a,最小值为2-a2;
当-5当a≤-5时,f(x)在区间[-5,5]上的最大值为27-10a,最小值为27+10a.题型一题型二题型三方法技巧对于二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的最值问题,首先应采用配方法,化为y=a(x-h)2+k的形式.
(1)求二次函数在定义域R上的最值;
(2)求二次函数在闭区间上的最值共有三种类型:
①顶点固定,区间也固定.
此种类型是较为简单的一种,只要找到对称轴,画出图像,将区间标出,最值一目了然.
②顶点变动,区间固定.
这种类型是比较重要的,在高考题中多次出现,主要是讨论顶点横坐标即对称轴在区间左侧、在区间内部以及在区间右侧等情况,然后根据不同情况写出最值.
③顶点固定,区间变动.
此种情况用的较少,在区间里含有参数,根据区间分别在对称轴的左侧、包含对称轴以及在对称轴右侧进行讨论.题型一题型二题型三变式训练 3设f(x)=x2-4x-4,x∈[t,t+1](t∈R),求函数f(x)的最小值g(t)的解析式.
分析:本题属于轴定区间动的情形,分三种情况讨论f(x)的最小值.
解:∵f(x)=(x-2)2-8,x∈[t,t+1],
∴当2∈[t,t+1],
即1≤t≤2时,g(t)=f(2)=-8.
当t+1<2,即t<1时,f(x)在[t,t+1]上是减函数,
∴g(t)=f(t+1)=t2-2t-7.
当t>2时,f(x)在[t,t+1]上是增函数,
∴g(t)=f(t)=t2-4t-4.第三章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.下列函数与函数y=x相同的是( )
A.y=x2 B.y=
3
t
3
C.y=
x
2
D.y=
x
2
x
解析y=
3
??
3
=t,t∈R.
答案B
2.函数f(x)=
??
|??|
的图像是( )
/
解析由于f(x)=
??
|??|
=
1,??>0,
-1,??<0,
所以其图像为C.
答案C
3.函数f(x)=
??+1
+
1
2-??
的定义域为( )
A.[-1,2)∪(2,+∞) B.(-1,+∞)
C.[-1,2) D.[-1,+∞)
解析由
??+1≥0,
2-??≠0,
解得x≥-1,且x≠2.
答案A
4.函数f(x)=
??+1
,-12??,??≥0,
若实数a满足f(a)=f(a-1),则f/
1
??
/=( )
A.4 B.6 C.-6 D.8
解析由分段函数的定义可知其定义域为(-1,+∞),∴a>0.①当0??
,解得a=
1
4
,f/
1
??
/=f(4)=8;②当a≥1时,f(a)=f(a-1),即2a=2(a-1),不成立,故选D.
答案D
5.函数f(x)=
1-
??
2
,??≤1,
??
2
-??-3,??>1,
则f(f(2))的值为( )
A.-1 B.-3 C.0 D.-8
解析f(2)=22-2-3=-1,f(f(2))=f(-1)=1-(-1)2=0.
答案C
6.已知二次函数f(x)=m2x2+2mx-3,则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)有最大值-4 B.函数f(x)有最小值-4
C.函数f(x)有最大值-3 D.函数f(x)有最小值-3
解析由题知,m2>0,所以f(x)的图像开口向上,函数有最小值f(x)min=
4
??
2
(-3)-4
??
2
4
??
2
=-4,故选B.
答案B
7.若函数f(x)(x∈R)是奇函数,则( )
A.函数f(x2)是奇函数
B.函数[f(x)]2是奇函数
C.函数f(x)·x2是奇函数
D.函数f(x)+x2是奇函数
解析f((-x)2)=f(x2),则函数f(x2)是偶函数,故A错误;[f(-x)]2=[-f(x)]2,则函数[f(x)]2是偶函数,故B错误;函数f(-x)·(-x)2=-f(x)·x2,则函数f(x)·x2是奇函数,故C正确;f(-x)+(-x)2≠f(x)+x2,且f(-x)+(-x)2≠-f(x)-x2,则函数f(x)+x2是奇函数错误,故D错误.故选C.
答案C
8.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,则满足f(2x-1)1
3
的x的取值范围是( )
A.
1
3
,
2
3
B.
1
3
,
2
3
C.
1
2
,
2
3
D.
1
2
,
2
3
解析∵函数f(x)是偶函数,∴f(2x-1)1
3
等价于f(|2x-1|)1
3
.
又f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,
∴|2x-1|<
1
3
,解得
1
3
2
3
.
答案A
9.函数f(x)=
????
2??+3
??≠-
3
2
满足f(f(x))=x,则常数c等于( )
A.3 B.-3 C.3或-3 D.5或-3
解析f(f(x))=
??
????
2??+3
2
????
2??+3
+3
=
??
2
??
2????+6??+9
=x,
即x[(2c+6)x+9-c2]=0,
所以
2??+6=0,
9-
??
2
=0,
解得c=-3.故选B.
答案B
10.已知函数f(x)=ax3+bx+7(其中a,b为常数),若f(-7)=-17,则f(7)的值为( )
A.31 B.17 C.-17 D.15
解析令g(x)=ax3+bx,则g(x)为奇函数,因为f(-7)=g(-7)+7=-17,所以g(-7)=-17-7=-24,g(7)=24,f(7)=g(7)+7=31.
答案A
11.f(x)=
(3??-1)??+4??(??<1),
-????(??≥1)
是定义在(-∞,+∞)内的减函数,则a的取值范围是( )
A.
1
8
,
1
3
B.
1
8
,
1
3
C.
0,
1
3
D.
-∞,
1
3
解析由题意可得
3??-1<0,
-??<0,
-??≤3??-1+4??,
解得
1
8
≤a<
1
3
,故选A.
答案A
12.若函数y=f(x)为偶函数,且在(0,+∞)内是减函数,又f(3)=0,则
??(??)+??(-??)
2??
<0的解集为( )
A.(-3,3)
B.(-∞,-3)∪(3,+∞)
C.(-∞,-3)∪(0,3)
D.(-3,0)∪(3,+∞)
解析∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),
∴
??(??)+??(-??)
2??
=
2??(??)
2??
=
??(??)
??
<0,
即
??(??)<0,
??>0
或
??(??)>0,
??<0.
∵f(x)为偶函数且在(0,+∞)内为减函数,
∴f(x)在(-∞,0)内是增函数.
由f(3)=0知f(-3)=0,
∴
??(??)<0,
??>0
可化为
??(??)??>0,
∴x>3;
??(??)>0,
??<0
可化为
??(??)>??(-3),
??<0,
∴-3综上,
??(??)+??(-??)
2??
<0的解集为(-3,0)∪(3,+∞).
答案D
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.函数f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x2+ax,且f(2)=12,则a= .?
解析函数f(x)为奇函数,且f(2)=12,∴f(-2)=-f(2)=-12.又由当x<0时,f(x)=x2+ax,则f(-2)=4-2a=-12,解得a=8.
答案8
14.若函数f(x)=
????+1
??+2
在x∈(-2,+∞)内单调递减,则实数a的取值范围是 .?
解析f(x)=
????+1
??+2
=a+
1-2??
??+2
.
∵y=
1
??+2
在x∈(-2,+∞)内是减函数,
∴1-2a>0,∴a<
1
2
.
答案a<
1
2
15.对任意两个实数x1,x2,定义max{x1,x2}=
??
1
,
??
1
≥
??
2
,
??
2
,
??
1
<
??
2
,
若f(x)=x2-2,g(x)=-x,则max{f(x),g(x)}的最小值为 .?
解析f(x)-g(x)=x2-2-(-x)=x2+x-2,
当x2-2-(-x)=x2+x-2≥0时,x≥1或x≤-2,此时,f(x)≥g(x),
当-2-??,-2??
2
-2,??≥1或??≤-2,
可结合分段函数的图像得最小值为f(1)=-1.
答案-1
16.函数f(x)同时满足:①对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0;②对于定义域上的任意x1,x2,当x1≠x2,恒有
??(
??
1
)-??(
??
2
)
??
1
-
??
2
<0.则称函数f(x)为“理想函数”,则下列三个函数中:(1)f(x)=
1
??
,(2)f(x)=x2,(3)f(x)=
-
??
2
,??≥0,
??
2
,??<0,
称为“理想函数”的有 (填序号).?
解析由题意知“理想函数”为定义域上的奇函数且在定义域上单调递减.
函数f(x)=
1
??
是奇函数,其虽然在区间(-∞,0)和(0,+∞)内是减函数,但不能说其在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)内是减函数,所以f(x)=
1
??
不是“理想函数”;函数f(x)=x2是偶函数,且其在定义域R上先减后增,也不是“理想函数”;函数f(x)=
-
??
2
,??≥0,
??
2
,??<0
是“理想函数”.
答案(3)
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-2x+1,求f(x)在x∈R上的表达式.
解因为f(x)是定义域在R上的奇函数,所以f(0)=0,当x<0时,-x>0,由已知得,f(-x)=(-x)2-2(-x)+1=x2+2x+1=-f(x),
所以f(x)=-x2-2x-1,
所以f(x)=
??
2
-2??+1,??>0,
0,??=0,
-
??
2
-2??-1,??<0.
18.(12分)已知f(x)=
1
??-1
,x∈[2,6].
(1)证明:f(x)是定义域上的减函数;
(2)求f(x)的最大值和最小值.
解(1)设2≤x1=
1
??
1
-1
?
1
??
2
-1
=
??
2
-
??
1
(
??
1
-1)(
??
2
-1)
.
因为x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
所以f(x)是定义域上的减函数.
(2)由(1)的结论可得,f(x)min=f(6)=
1
5
,f(x)max=f(2)=1.
19.(12分)已知函数f(x)=mx+
1
????
+
1
2
(m,n是常数),且f(1)=2,f(2)=
11
4
.
(1)求m,n的值;
(2)当x∈[1,+∞)时,判断f(x)的单调性并证明;
(3)若不等式f(1+2x2)>f(x2-2x+4)成立,求实数x的取值范围.
解(1)∵f(1)=m+
1
??
+
1
2
=2,f(2)=2m+
1
2??
+
1
2
=
11
4
,∴
??=1,
??=2.
(2)设1≤x11
2
??
1
+
1
2
?
??
2
+
1
2
??
2
+
1
2
=(x1-x2)
1-
1
2
??
1
??
2
=(x1-x2)
2
??
1
??
2
-1
2
??
1
??
2
.
∵1≤x11,∴2x1x2>1,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴f(x)在[1,+∞)内单调递增.
(3)∵1+2x2≥1,x2-2x+4=(x-1)2+3≥3,
需要1+2x2>x2-2x+4,∴x2+2x-3>0,
∴x<-3或x>1.
20.(12分)某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出;当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时,能租出多少辆车?
(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?
解(1)当每辆车的月租金定为3 600元时,未租出的车辆数为
3 600-3 000
50
=12,所以这时租出了88辆车.
(2)设每辆车的月租金定为x元,则租赁公司的月收益为f(x)=
100-
??-3 000
50
(x-150)-
??-3 000
50
×50,整理,得f(x)=-
??
2
50
+162x-21 000=-
1
50
(x-4 050)2+307 050.
所以当x=4 050时,f(x)最大,最大值为f(4 050)=307 050元,
即当每辆车的月租金定为4 050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为307 050元.
21.(12分)已知f(x)对任意的实数m,n都有:f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且当x>0时,有f(x)>1.
(1)求f(0);
(2)求证:f(x)在R上为增函数;
(3)若f(1)=2,且关于x的不等式f(ax-2)+f(x-x2)<3对任意的x∈[1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.
(1)解令m=n=0,则f(0)=2f(0)-1,∴f(0)=1.
(2)证明任取x1,x2∈R且x1∴x2-x1>0,f(x2-x1)>1.
∵f(m+n)=f(m)+f(n)-1,
∴f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1>1+f(x1)-1=f(x1),
∴f(x2)>f(x1),
∴f(x)在R上为增函数.
(3)解∵f(ax-2)+f(x-x2)<3,即f(ax-2)+f(x-x2)-1<2,
∴f(ax-2+x-x2)<2.
∵f(1)=2,∴f(ax-2+x-x2)又∵f(x)在R上为增函数,
∴ax-2+x-x2<1,
∴x2-(a+1)x+3>0对任意的x∈[1,+∞)恒成立.
令g(x)=x2-(a+1)x+3,
当
??+1
2
≤1时,g(1)>0,得a<3,
∴a≤1;当
??+1
2
>1时,Δ<0,
即(a+1)2-3×4<0,
∴-2
3
-13
-1,∴13
-1.
综上,实数a的取值范围为(-∞,2
3
-1).
22.(12分)已知二次函数f(x)的图像过点(0,4),对任意x满足f(3-x)=f(x),且有最小值是
7
4
.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求函数h(x)=f(x)-(2t-3)x在区间[0,1]上的最小值,其中t∈R;
(3)在区间[-1,3]上,y=f(x)的图像恒在函数y=2x+m的图像上方,试确定实数m的范围.
解(1)由题知二次函数图像的对称轴为x=
3
2
,又最小值是
7
4
,则可设f(x)=a
??-
3
2
2
+
7
4
(a≠0).
又图像过点(0,4),
则a
0-
3
2
2
+
7
4
=4,解得a=1,
∴f(x)=
??-
3
2
2
+
7
4
=x2-3x+4.
(2)h(x)=f(x)-(2t-3)x=x2-2tx+4=(x-t)2+4-t2,其对称轴x=t.
①t≤0时,函数h(x)在[0,1]上单调递增,最小值为h(0)=4;
②当0③当t≥1时,函数h(x)在[0,1]上单调递减,最小值为h(1)=5-2t,
所以h(x)min=
4,??≤0,
4-
??
2
,05-2??,??≥1.
(3)由已知:f(x)>2x+m对x∈[-1,3]恒成立,
∴m∴m<(x2-5x+4)min(x∈[-1,3]).
∵g(x)=x2-5x+4在x∈[-1,3]上的最小值为-
9
4
,∴m<-
9
4
.
