第一章集合与常用逻辑用语
1.1 集合
1.1.1 集合及其表示方法
第1课时 集合
课后篇巩固提升
夯实基础
1.(多选)下列语句不能确定一个集合的是( )
A.充分小的负数全体
B.爱好飞机的一些人
C.某班本学期视力较差的同学
D.某校某班某一天的所有课程
答案ABC
2.已知集合A为大于5的数构成的集合,则下列说法正确的是( )
A.2∈A,且3∈A
B.2∈A,且3?A
C.2?A,且3∈A
D.2?A,且3?A
答案C
3.以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素构成集合M,则M中元素的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析对于涉及集合元素的问题,首先应想到其确定性、互异性、无序性.由集合元素的互异性可知两个相同的对象算作集合中的一个元素.方程x2-5x+6=0的解为x=2或x=3;方程x2-x-2=0的解为x=-1或x=2.所以M中有3个元素,分别是-1,2,3.故选C.
答案C
4.已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素构成的集合,且2∈A,则实数m为( )
A.2 B.3
C.0或3 D.0或2或3
解析由题意,知m=2或m2-3m+2=2,解得m=2或m=0或m=3.
经检验,当m=0或m=2时,不满足集合A中元素的互异性;当m=3时,满足题意.综上可知,m=3.
答案B
5.如果具有下述性质的x都是集合M中的元素,其中x=a+b2(a,b为有理数),那么下列元素中,不属于集合M中的元素有( )
①x=0;②x=2;③x=3-22π;④x=13-22;⑤x=6-42+6+42.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析①0=0+0×2;②2=0+1×2;③2π不是有理数;④13-22=3+22;⑤6-42+6+42=(2-2)+(2+2)=4+0×2.
答案A
6.对于由元素2,4,6构成的集合A,若a∈A,则6-a∈A.其中a的值是 .?
解析当a=2时,6-a=4∈A;当a=4时,6-a=2∈A;当a=6时,6-a=0?A.因此a的值为2或4.
答案2或4
7.设a,b是非零实数,则|a|a+|b|b可能取的值构成的集合中的元素有 ,所有元素的和为 .?
解析按a与b的正负分类讨论求解,有四种情况:
当a>0,b<0时,原式=0;
当a>0,b>0时,原式=2;
当a<0,b>0时,原式=0;
当a<0,b<0时,原式=-2.
答案-2,0,2 0
8.判断下列语句是否正确,并说明理由.
(1)某学校高一(8)班比较漂亮的女生能构成一个集合;
(2)由1,32,64,-12,0.5构成的集合有5个元素;
(3)将小于100的自然数,按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到两个不同的集合.
解(1)错误.因为“漂亮”是个模糊的概念,因此不满足集合中元素的确定性.
(2)错误.因为32=64,-12=0.5,根据集合中元素的互异性知,由1,32,64,-12,0.5构成的集合只有3个元素:1,32,0.5.
(3)错误.根据集合中元素的无序性可知,小于100的自然数无论按什么顺序排列,构成的集合都是同一个集合.
能力提升
1.设P,Q为两个集合,P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,则P+Q中元素的个数是多少?
解当a=0时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为1,2,6;
当a=2时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为3,4,8;
当a=5时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为6,7,11.
由集合元素的互异性知P+Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11,共8个.
2.已知关于x的方程ax2-2x+1=0的实数解构成集合A,若集合A中仅有一个元素,求实数a的值.
分析A中仅有一个元素,则关于x的方程ax2-2x+1=0仅有一个实数解,这样转化为讨论关于x的方程ax2-2x+1=0的实数解的个数问题.要对实数a是否为0分类讨论.
解当a=0时,方程化为-2x+1=0,
解得x=12,则a=0符合题意;
当a≠0时,关于x的方程ax2-2x+1=0是一元二次方程,由于集合A中仅有一个元素,
所以一元二次方程ax2-2x+1=0仅有一个实数根,所以Δ=4-4a=0,解得a=1.
综上所得,a=1或a=0.
课件22张PPT。第1课时 集合一二三四知识点一、集合的概念
1.思考
(1)你能具体说出你所在班级中头脑比较聪明的同学的姓名吗?你能具体说出你所在班级中所有女生的姓名吗?
提示:比较聪明的同学的姓名不能具体说出来,因为聪明与否没有明确的标准;而所在班级中女生的姓名是明确的.
(2)你认为将要研究的“集合”是由什么构成的呢?
提示:今天我们研究的“集合”这一新概念,是必须由一些确定的对象构成的.也就是说上述所说的聪明的同学是不能构成集合的.因为聪明是没有明确划分标准的.一二三2.填空
(1)集合:把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象组成的集合(有时简称为集).集合通常用英文大写字母A,B,C,…来表示.
(2)元素:组成集合的每个对象叫做这个集合的元素.集合中的元素通常用英文小写字母a,b,c,…来表示.
3.做一做:下列各组对象能构成集合的有( )
①2019年1月1日之前,在腾讯微博注册的会员;②不超过10的非负奇数;③立方接近零的正数;④高一年级视力比较好的同学.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
答案:B四一二三四知识点二、元素与集合的关系
1.思考
设集合M表示“1~10之间的所有质数”.请问3和8与集合M有何关系?
提示:3是集合M中的元素,即3属于集合M,记作3∈M;8不是集合M中的元素,即8不属于集合M,记作8?M.
2.填写下表:一二三四名师点拨 一二三四3.做一做集合M是由大于-2,且小于1的实数构成的,则下列关系式正确的是( )答案:D 一二三四知识点三、集合的分类及相等集合
1.思考
方程x2+1=0在实数范围内的解能构成集合吗?若能构成集合,集合中元素个数为多少?
提示:该方程的实数解能构成一个集合,该集合中不含任何元素,因此集合中元素个数为0.
2.填空.
(1)有限集:含有有限个元素的集合.
(2)无限集:含有无限个元素的集合.
(3)一般地,我们把不含任何元素的集合称为空集.空集可以看作是包含0个元素的集合.
(4)给定两个集合A和B,如果组成它们的元素完全相同,就称这两个集合相等,记作A=B.一二三四知识点四、常用数集及其表示
1.思考
我们曾经学习了哪些常见的数集?
提示:我们都学习过自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集.
2.填写下表:3.做一做
用符号“∈”或“?”填空. 探究一探究二探究三集合中元素的确定性
例1判断下列各组对象能否构成一个集合:
(1)2019年9月召开的本校秋季运动会所有的男队员;
(2)方程x2-1=0的所有实根;
(3) 的近似值的全体;
(4)大于0的所有整数.
解:(1)能,因为男队员是确定的.
(2)能,因为x2-1=0的所有实根为-1,1,满足集合中元素的确定性.
(3)不能,“近似值”无明确标准,故构不成集合.
(4)能,因为大于0的整数是确定的.思维辨析当堂检测探究一探究二探究三反思感悟集合的判定方法集合中的元素是确定的,即对任何一个对象我们都能判断它是或不是某个集合中的元素,并且两者必居其一,因此它是判断一组对象能否构成集合的一个标准.若这组对象是明确的、具体的,则它们可以构成一个集合;若是模棱两可的,则不能构成一个集合.思维辨析当堂检测探究一探究二探究三集合中元素的互异性
例2 若集合中的三个元素分别为2,x,x2-x,则元素x应满足的条件是 .?
解析:由元素的互异性可知x≠2,且x2-x≠2,且x2-x≠x,答案:x≠2,且x≠-1,且x≠0
反思感悟集合中元素的特征性质集合中的元素是互不相同的,即集合中的任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时,只能写一次,算作集合中的一个元素.思维辨析当堂检测探究一探究二探究三延伸探究 若集合A中含有两个元素a-3和2a-1,已知-3是A中的元素,如何求a的值?
解:∵-3是A中的元素,
∴-3=a-3或-3=2a-1.
若-3=a-3,则a=0.
此时集合中含有两个元素-3,-1,符合要求;
若-3=2a-1,则a=-1,
此时集合中含有两个元素-4,-3,符合要求.
综上所述:满足题意的实数a的值为0或-1.思维辨析当堂检测探究一探究二探究三元素与集合的关系
例3已知-3是由x-2,2x2+5x,12三个元素构成的集合中的元素,求x的值.
分析:-3是集合中的元素说明x-2=-3或2x2+5x=-3,可分类讨论求解.
解:由题意可知,x-2=-3或2x2+5x=-3.
当x-2=-3时,x=-1,
把x=-1代入2x2+5x,得集合的三个元素分别为-3,-3,12,不满足集合中元素的互异性;思维辨析当堂检测探究一探究二探究三反思感悟解决此类问题的通法是:根据元素的确定性建立分类讨论的标准,求得参数的值,然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性.思维辨析当堂检测探究一探究二探究三变式训练用符号“∈”和“?”填空. 答案:(1)∈ (2)∈ (3)? 思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析分类讨论思想的应用
分类讨论是一种重要的数学思想,它适用于从整体上难以解决的数学问题.运用分类讨论来解决问题时,把问题进行科学地划分十分必要,必须遵循不重不漏和最简的原则.
分类讨论思想在集合中有重要的应用,在本节中,分类讨论思想常应用于元素与集合的关系方面.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析典例 已知集合A中含有三个元素0,1,x.若x2∈A,求实数x的值.
解:(1)当x2=0时,得x=0,此时集合A中有两个相同的元素,舍去.
(2)当x2=1时,得x=±1.
若x=1,此时集合A中有两个相同的元素,舍去;
若x=-1,此时集合A中有三个元素0,1,-1,符合题意.
(3)当x2=x时,得x=0或x=1,由上可知都不符合题意.
综上可知,符合题意的x的值为-1.
方法点睛 x2是集合中的元素,则它既可能是1,也可能是0,或者是x,需对其进行分类讨论.当堂检测1.(多选)下列对象能构成集合的是( )
A.所有的正数 B.等于2的数
C.接近0的数 D.不等于0的偶数
答案:ABD
2.若a是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以是( )
答案:D探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.用符号∈或?填空. (3)设集合C是满足方程x=n2+1(其中n为正整数)的实数x构成的集合,则3 C,5 C;?
(4)设集合D是满足方程y=x2的有序实数对(x,y)构成的集合,
则-1 D,(-1,1) D.?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解析:(1)依次应填?,?,∈. (3)由于n是正整数,所以n2+1≠3.
而当n=2时,n2+1=5,所以依次应填?,∈.
(4)由于集合D中的元素是有序实数对(x,y),
而-1是数,所以-1?D.
又(-1)2=1,所以依次应填?,∈.
答案:(1)? ? ∈ (2)? ∈ (3)? ∈ (4)? ∈探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.下列对象构成的集合是空集的是 .(填序号)?
①小于1的自然数;②2米高的人;③方程x2-x+1=0的解集.
解析:因为方程x2-x+1=0的判别式Δ=1-4<0,所以方程无解,即解集为空集.而小于1的自然数为0,2米高的人也存在,所以①②都不是空集.
答案:③5.设A表示由a2+2a-3,2,3构成的集合,B表示由2,|a+3|构成的集合,已知5∈A,且5?B,求a的值.
解:∵5∈A,∴a2+2a-3=5,解得a=2或a=-4.
当a=2时,|a+3|=5;当a=-4时,|a+3|=1.
又5?B,∴a=-4.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测第2课时 集合的表示方法
课后篇巩固提升
夯实基础
1.由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是( )
A.{x|-3
B.{x|-3C.{x|-3D.{x|-3答案D
2.下列语句正确的是( )
①0与{0}表示同一集合;
②方程(x-1)2(x-2)=0的所有解构成的集合可表示为{1,1,2};
③集合{x|4
A.①③ B.②③
C.② D.都不对
解析①中0不是集合,②中方程(x-1)2(x-2)=0的所有解构成的集合可表示为{1,2},③中集合的元素不能一一列举出来,不能用列举法表示.
答案D
3.集合{x|x为一条边长为2,一个内角为30°的等腰三角形}中元素的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析当2为底边长时,30°角可以是顶角或底角两种情形;当2为腰长时,30°角也可以是顶角或底角两种情形.故集合中有4个元素.
答案D
4.下列集合中,不同于另外三个集合的是( )
A.{x|x=2 019} B.{y|(y-2 019)2=0}
C.{x=2 019} D.{2 019}
解析选项A,B,D中都只有一个元素“2 019”,故它们都是相同的集合,而选项C中虽然只有一个元素,但元素是等式x=2 019,而不是实数2 019,故此集合与其他三个集合不同.
答案C
5.已知集合A={x|2x+a>0},且1?A,则实数a的取值范围是 .(用区间表示)?
解析由题意知A=xx>-a2,
∵1?A,∴1≤-a2,即a≤-2.
答案(-∞,-2]
6.用描述法表示集合-12,23,-34,45,…为 .?
答案x|x=(-1)n·nn+1,n∈N+
7.规定??与??是两个运算符号,其运算法则如下:对任意实数a,b有a??b=ab,a??b=b(a2+b2+1).若-2解析由-2x=2(a??b)+a⊕bb=2ab+a2+b2+1=(a+b)2+1,(*)
将a=-1,b=0代入(*)式,得x=2;
将a=0,b=1代入(*)式,得x=2;
将a=-1,b=1代入(*)式,得x=1,
故A={1,2}.
答案{1,2}
8.用适当的方法表示下列对象构成的集合:
(1)绝对值不大于2的所有整数;
(2)直线y=x+1与y轴的交点坐标构成的集合;
(3)函数y=1x图像上的所有点.
解(1)由于|x|≤2,且x∈Z,所以x的值为-2,-1,0,1,2.所以绝对值不大于2的所有整数构成的集合,用列举法可表示为{-2,-1,0,1,2},用描述法可表示为{x||x|≤2,x∈Z}.
(2)解方程组x+y=1,x-y=-1,得x=0,y=1.
所以用列举法表示方程组x+y=1,x-y=-1的解集为{(0,1)}.
(3)函数y=1x图像上的点可以用坐标(x,y)表示,其满足的条件是y=1x,所以用描述法可表示为(x,y)y=1x.
10.已知A={x|x2+px+q=x},B={x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+1},当A={2}时,求集合B.
解由A={2},得方程x2+px+q=x有两个相等的实根,且x=2.
从而有4+2p+q=2,(p-1)2-4q=0,解得p=-3,q=4.
从而B={x|(x-1)2-3(x-1)+4=x+1}.
解方程(x-1)2-3(x-1)+4=x+1,得x=3±2.
故B={3-2,3+2}.
能力提升
1.(多选)已知x,y为非零实数,则集合M=mm=x|x|+y|y|+xy|xy|中的元素可以为( )
A.0 B.-1
C.1 D.3
解析当x>0,y>0时,m=3;
当x<0,y<0时,m=-1;
当x>0,y<0时,m=-1;
当x<0,y>0时,m=-1.
故M中元素可以为-1,3.
答案BD
2.(多选)集合A={y|y=x2+1},集合B={(x,y)|y=x2+1}(A,B中x∈R,y∈R).关于元素与集合关系的判断不正确的是( )
A.2∈A,且2∈B
B.(1,2)∈A,且(1,2)∈B
C.2∈A,且(3,10)∈B
D.(3,10)∈A,且2∈B
解析集合A中元素y是实数,不是点的坐标,故选项B,D不对.集合B中元素(x,y)是点的坐标,不是实数,所以选项A错.
答案ABD
3.定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设A={1,2},B={0,2},则集合A*B的所有元素之和为 ( )
A.0 B.2
C.3 D.6
解析因为z=xy,x∈A,y∈B,所以z的取值有1×0=0,1×2=2,2×0=0,2×2=4,故A*B={0,2,4},所以集合A*B的所有元素之和为0+2+4=6.
答案D
4.集合A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},如果点P(2,3)∈A,且P(2,3)?B,则m,n满足的条件应为 .?
解析∵点P(2,3)∈A,且P(2,3)?B,A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},
∴有2×2-3+m>0成立,且2+3-n≤0不成立,即m>-1成立,且n≥5不成立,∴m>-1,且n<5.
答案m>-1,且n<5
5.设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,若k-1?A,且k+1?A,则称k是A的一个“孤立元”.给定集合S={1,2,3,4,5,6,7,8},在由S的三个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合个数为 .?
解析题目中的“孤立元”的含义是任意两个元素不相邻,所以由三个元素构成的不含“孤立元”的集合中的元素必是连续的三个数,有{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8}这6个.
答案6
6.集合A={x|x2+ax-2≥0,a∈Z},若-4∈A,2∈A,求满足条件的a组成的集合.
解由题意知16-4a-2≥0,4+2a-2≥0,
解得-1≤a≤72.
∵a∈Z,
∴满足条件的a组成的集合为{-1,0,1,2,3}.
7.定义集合A,B的一种运算:A*B={x|x=x1+x2,其中x1∈A,x2∈B}.若A={1,2,3},B={1,2},则A*B中的所有元素之和为多少?
解∵x1∈A,x2∈B,A*B={x|x=x1+x2},
x1+x2的和如下表所示:
x1+x2 x1
x2
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
∴A*B={2,3,4,5},故所有元素之和为2+3+4+5=14.
8.已知集合A={x|ax2-3x+2=0,a∈R}.
(1)若A是空集,求a的取值范围;(用区间表示)
(2)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来;
(3)若A中至多只有一个元素,求a的值或取值范围.
解(1)若A是空集,则方程无解,即方程为一元二次方程,对应判别式Δ=9-8a<0,解得a>98,即98,+∞.
(2)若集合A中只有一个元素,
当a=0时,方程为一元一次方程-3x+2=0,只有唯一解x=23;
当a≠0时,方程为一元二次方程,有两个相等的解,判别式Δ=0,解得a=98,集合中元素为43.
∴当a=0时,集合中元素为23;
当a=98时,集合中元素为43.
(3)若A中至多只有一个元素,则A是空集或A中只有一个元素.
由(1)(2)得a=0或a≥98.
课件28张PPT。第2课时 集合的表示方法一二知识点一、列举法
1.思考
用列举法可以表示无限集吗?
提示:可以.但构成集合的元素必须具有明显的规律,并且表示时要把元素间的规律呈现清楚,如正整数集N+可表示为{1,2,3,4,5,6,…}.
2.填空.
把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔),并写在大括号内,以此来表示集合的方法称为列举法.
3.做一做
用列举法表示集合{x∈N|-1≤x≤ }为{0,1,2}.三一二知识点二、描述法
1.思考
用列举法与描述法表示集合的区别是什么?
提示:三一二2.填空
一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有这个性质,则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质.此时,集合A可以用它的性质p(x)表示为{x|p(x)},这种表示集合的方法称为特征性质描述法,简称描述法.
3.做一做
不等式5x<2 018在实数范围内的解集可表示为 。三一二三知识点三、区间的概念
1.思考
(1)如图,如何把满足数轴上的数的集合表示出来?
提示:A={x|-3(2)能否用更为简洁的符号表示A={x|-3提示:可以用区间表示为(-3,2].
(3)区间与数集有何关系?
提示:(1)联系:区间实际上是一类特殊的数集(连续的)的符号表示,是集合的另一种表达形式;
(2)区别:不连续的数集不能用区间表示,如整数集、自然数集等;
(3)区间与区间之间可以用集合的运算符号连接起来,表示两个集合之间的运算.一二三2.填写下表 一二三一二三名师点拨 1.区间表示了一个数集,主要用来表示函数的定义域、值域、不等式的解集等.
2.若[a,b]是一个确定的区间,则隐含条件为a3.在数轴上表示区间时,属于这个区间端点的实数,用实心点表示,不属于这个区间端点的实数,用空心圆圈表示.
4.区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“,”隔开.
5.用+∞,-∞表示区间的端点时不能写成闭区间的形式.一二三3.做一做
把下列集合用区间表示出来.
(1){x|2(2){x|x≤2};
(3){x|2(4){x|x≠0};
(5){x|2≤x<3}.
答案:(1)(2,3);(2)(-∞,2];(3)(2,4)∪(5,9);(4)(-∞,0)∪(0,+∞);(5)[2,3).探究一探究二探究三思维辨析用列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合:
(1)36与60的公约数构成的集合;
(2)方程(x-4)2(x-2)=0的根构成的集合;
(3)一次函数y=x-1与 的图像的交点构成的集合.
分析:(1)要明确公约数的含义;(2)注意4是重根;(3)要写成点集形式.
解:(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12,所求集合可表示为{1,2,3,4,6,12};
(2)方程(x-4)2(x-2)=0的根是4,2,所求集合可表示为{2,4};当堂检测探究一探究二探究三思维辨析反思感悟列举法应用的解题策略
1.一般地,当集合中元素的个数较少时,可采用列举法;当集合中元素较多或无限,且有一定规律时,也可用列举法表示,但必须把元素间的规律呈现清楚,才能用省略号.
2.要弄清楚集合中的元素是什么,是数还是点,还是其他的元素,从而用相应的形式写出元素表示集合.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析变式训练1试用列举法表示下列集合:
(1)满足-3≤x≤0,且x∈Z;
(2)倒数等于其本身数的集合;
(3)满足x+y=3,且x∈N,y∈N的有序数对;
(4)方程x2-4x+4=0的解.
解:(1)∵-3≤x≤0,且x∈Z,∴x=-3,-2,-1,0.
故满足条件的集合为{-3,-2,-1,0}.
(2)∵x= ,∴x=±1.
∴满足条件的集合为{-1,1}.
(3)∵x+y=3,且x∈N,y∈N,
∴当x=0时,y=3;当x=1时,y=2;当x=2时,y=1;当x=3时,y=0.
∴满足条件的集合为{(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)}.
(4)∵方程x2-4x+4=0的解为x=2,
∴满足条件的集合为{2}.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析用描述法表示集合
例2 用描述法表示以下集合:
(1)所有不小于2,且不大于20的实数组成的集合;
(2)平面直角坐标系内第二象限内的点组成的集合;
(3)使 有意义的实数x组成的集合;
(4)200以内的正奇数组成的集合;
(5)方程x2-5x-6=0的解组成的集合.
分析:用描述法表示集合时,关键要先弄清元素的属性是什么,再给出其满足的性质,注意不要漏掉类似“x∈N”等条件.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析解:(1)集合可表示为{x∈R|2≤x≤20}.
(2)第二象限内的点(x,y)满足x<0,且y>0,
故集合可表示为{(x,y)|x<0,y>0}.解得x≤2,且x≠0.故此集合可表示为{x|x≤2,且x≠0}.
(4){x|x=2k+1,x<200,k∈N}.
(5){x|x2-5x-6=0}.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析反思感悟用描述法表示集合应注意的问题
1.写清楚该集合中的代表元素,即弄清代表元素是数、点还是其他形式;
2.准确说明集合中元素所满足的特征;
3.所有描述的内容都要写在集合符号内,并且不能出现未被说明的符号;
4.用于描述的语句力求简明、准确,多层描述时,应准确使用“且”“或”等表示描述语句之间的关系.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析变式训练2给出下列说法:
①在平面直角坐标平面内,第一、三象限内的点组成的集合为{(x,y)|xy>0};
②所有奇数组成的集合为{x|x=2n+1};
③集合{(x,y)|y=1-x}与{x|y=1-x}是同一集合.
其中正确的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.0个
答案:A当堂检测探究一探究二探究三思维辨析含参数问题
例3已知集合M={x|(x-a)(x2-ax+a-1)=0}中各元素之和等于3,求实数a的值,并用列举法表示集合M.
解:根据集合中元素的互异性知,当方程(x-a)(x2-ax+a-1)=0有重根时,重根只能算作集合的一个元素,又M={x|(x-a)(x-1)[x-(a-1)]=0}.
当a=1时,M={1,0},不符合题意;
当a-1=1,即a=2时,M={1,2},符合题意;当堂检测探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.对于集合的表示方法中的含参数问题不仅要注意弄清集合的含义,也要清楚参数在集合中的地位.
2.含参数问题常用分类讨论思想来解决,在讨论参数时要做到不重不漏.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析延伸探究若将本例中的“各元素之和等于3”改为“各元素之和等于1”,则a的值又如何?
解:a的值为1或 .当堂检测探究一探究二探究三思维辨析元素分析法
解决集合问题,应对集合的概念有深刻理解,解题时能不能把集合转化为相关的数学知识是解决问题的关键,而集合离不开元素,所以分析元素是解决问题的核心.元素分析法就是抓住元素进行分析,即元素是什么?具备哪些性质?是否满足元素的三个特征?(即确定性、互异性、无序性)
典例 下列四个集合:
①{x|y=x2+1};②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y=x2+1};④{y=x2+1}.
(1)它们各自的含义是什么?
(2)它们是不是相同的集合?
分析:在解答用描述法表示的集合的问题时,不能只关注条件中的关系式,而不注意“代表元素”的含义.元素是集合的基本组成部分.看到一个集合,先要关注元素是什么,再关注元素的基本特征.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析解:(1)①{x|y=x2+1}中的代表元素是x(二次函数y=x2+1中的自变量),表示的是该函数自变量的取值范围.显然x∈R,该集合表示实数集R.
②{y|y=x2+1}中的代表元素是y(二次函数y=x2+1中的因变量),表示的是该函数的函数值构成的集合.由图易知(图略),y≥1,该集合就是{y|y≥1}.
③{(x,y)|y=x2+1}中的代表元素是(x,y),该集合可以理解为是满足y=x2+1的有序实数对(x,y)的集合,也可以认为是坐标平面内满足y=x2+1的点(x,y)构成的集合.
④集合{y=x2+1}表示的是以方程y=x2+1(或函数解析式y=x2+1)为元素的集合.
(2)由(1)知,集合①是实数集,集合②是不小于1的实数集,集合③是抛物线上的点构成的点集,集合④是单元素集.故它们是互不相同的集合.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析方法点睛 元素分析法是解决集合问题时常用的基本方法.本题的分析始终关注集合中代表元素及其满足的条件.集合①是后面要学到的函数定义域,集合②是函数的值域.当堂检测1.集合{x∈N+|2x-1<9}的另一种表示方法是( )
A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}
答案:B
2.下列各组中的M,P表示同一集合的是( )
A.M={3,-1},P={(3,-1)}
B.M={(3,1)},P={(1,3)}
C.M={y|y=x2-1,x∈R},P={x|x=t2-1,t∈R}
D.M={y|y=x2-1,x∈R},P={(x,y)|y=x2-1,x∈R}
解析:选项A中,M是由3,-1两个元素构成的集合,而集合P是由点(3,-1)构成的集合;选项B中,(3,1)与(1,3)表示不同的点,故M≠P;选项D中,M是二次函数y=x2-1,x∈R的所有因变量构成的集合,而集合P是二次函数y=x2-1,x∈R图像上所有点构成的集合.
答案:C探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.用列举法表示集合A={y|y=x2-1,-2≤x≤2,且x∈Z}是 .
解析:∵x=-2,-1,0,1,2,
∴对应的函数值y=3,0,-1,0,3,
∴集合A用列举法可表示为{-1,0,3}.
答案:{-1,0,3}探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.若A={2,3,4},B={x|x=n-m,m,n∈A,m≠n},则集合B中的元素个数为 .?
解析:当n=2,m=3时,n-m=-1;
当n=2,m=4时,n-m=-2;
当n=3,m=4时,n-m=-1;
当n=3,m=2时,n-m=1;
当n=4,m=2时,n-m=2;
当n=4,m=3时,n-m=1.
所以集合B中的元素共4个:-2,-1,1,2.
答案:4探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.用列举法表示下列集合. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测6.用描述法表示下列集合:
(1){2,4,6,8,10,12};
(3)被5除余1的正整数集合;
(4)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合.
解:(1){x|x=2n,n∈N+,n≤6}.
(3){x|x=5n+1,n∈N}.
(4){(x,y)|xy<0}.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测